Fractions continues

Cidrolin
Cidrolin
Modifié (January 2022) dans Arithmétique
Soit $a$ un entier strictement positif. On désigne par  $Y_n$ le rationnel dont la fraction continue est $[a,a,\dots,a]$ (avec $n$ fois le $a$).
Quelle est la fraction continue de la moyenne harmonique de $Y_n$ et $Y_{n+1}$ ?

Réponses

  • jandri
    jandri
    Merci à Cidrolin pour ce joli exercice.

    J'ai commencé par chercher les cas $n=1$ et $n=2$. J'ai alors deviné une jolie formule générale pour la fraction continue de la moyenne harmonique (je ne la donne pas pour laisser aux autres le plaisir de la trouver).

    Une fois la formule obtenue elle assez rapidement démontrée quand on connait les relations vérifiées par les fractions continues.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Modifié (January 2022)
    Merci jandri.
    1) Calcul de la moyenne harmonique
    En posant $Y_n=\dfrac{u_n}{v_n}$, pour $n \geq 1$, on arrive à considérer la suite définie par
    $u_0=1$; $u_1=a$ et $u_{n+2}=a.u_{n+1}+u_{n}$, et finalement $Y_n=\dfrac{u_n}{u_{n-1}}$.
    On a $\quad \dfrac{2}{\dfrac{1}{Y_n}+\dfrac{1}{Y{n+1}}}=\dfrac{2u_n u_{n+1}}{u_n^2+u_{n-1} u_{n+1}}$.

    2) Exemple avec $a=5$ et $n=2$
    Ici $u_0=1$; $u_1=5$; $u_2=26$ et $u_3=135$.
    La fraction continue de $\dfrac{2\times 26\times 135}{26^2+5\times 135}$ est $[5,5,10,5,5]$.
    Ce qui nous conduit à subodorer que la fraction continue demandée est : $[a,a,\dots,a,2a,a,a,\dots,a]$,
    avec $n$ fois le $a$, puis $2a$, et encore $n$ fois le $a$.
    (à suivre)
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Modifié (January 2022)
    3) Que vaut $X_n=[a,\dots,a,2a,a,\dots,a]$ ?
    Posons $A=\begin{pmatrix} a&1 \\1&0 \end{pmatrix}$, alors $A^n=\begin{pmatrix} u_n&u_{n-1} \\u_{n-1} &u_{n-2} \end{pmatrix}$.
    On a $A^n \begin{pmatrix} 2a&1 \\1&0 \end{pmatrix} A^n=\begin{pmatrix}2a u_n^2+2u_n u_{n-1}& \dots  \\2 a u_n u_{n-1}+u_n u_{n-2}+u_{n-1}^2& \dots\end{pmatrix}$.
    On en déduit $X_n=\dfrac{2a u_n^2+2u_n u_{n-1}}{2 a u_n u_{n-1}+u_n u_{n-2}+u_{n-1}^2}=\dfrac{2u_n u_{n+1}}{u_n^2+u_{n-1}u_{n+1}}$
    Nous retrouvons la moyenne harmonique de $Y_n$ et $Y_{n+1}$.
  • jandri
    jandri
    Merci encore Cidrolin pour ce joli exercice

    Pour le 1) j'ai fait comme toi. 

    Pour le 3) je n'ai pas utilisé de matrice mais cela revient au même, j'ai montré par récurrence (c'est facile) que $[\underbrace{a,\dots,a}_{n fois},x]=\dfrac{x u_n+u_{n-1}}{x u_{n-1}+u_{n-2}}$ ; ensuite j'ai écrit $X_n=[\underbrace{a,\dots,a}_{n fois},2a+\frac1{Y_n}]$ pour retrouver $X_n=\dfrac{2u_n u_{n+1}}{u_n^2+u_{n-1}u_{n+1}}$.
  • Boécien
    Boécien
    Modifié (January 2022)
    Effectivement c'est très joli. Cidrolin tu as trouvé ça dans un recueil?
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Bonjour Boécien, j'ai inventé cet exercice en modifiant un peu l'énoncé du problème $1186$ du " The college mathematics journal ", vol $52$, n° $5$, november $2021$. On y demandait une forme close pour $[1,1,\dots,1,3,1,\dots,1]$, avec $n$ fois $1$ de chaque côté du $3$.
  • Boécien
    Boécien
    @Cidrolin merci
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