Fractions continues
Soit $a$ un entier strictement positif. On désigne par $Y_n$ le rationnel dont la fraction continue est $[a,a,\dots,a]$ (avec $n$ fois le $a$).
Quelle est la fraction continue de la moyenne harmonique de $Y_n$ et $Y_{n+1}$ ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
J'ai commencé par chercher les cas $n=1$ et $n=2$. J'ai alors deviné une jolie formule générale pour la fraction continue de la moyenne harmonique (je ne la donne pas pour laisser aux autres le plaisir de la trouver).
Une fois la formule obtenue elle assez rapidement démontrée quand on connait les relations vérifiées par les fractions continues.
Pour le 1) j'ai fait comme toi.
Pour le 3) je n'ai pas utilisé de matrice mais cela revient au même, j'ai montré par récurrence (c'est facile) que $[\underbrace{a,\dots,a}_{n fois},x]=\dfrac{x u_n+u_{n-1}}{x u_{n-1}+u_{n-2}}$ ; ensuite j'ai écrit $X_n=[\underbrace{a,\dots,a}_{n fois},2a+\frac1{Y_n}]$ pour retrouver $X_n=\dfrac{2u_n u_{n+1}}{u_n^2+u_{n-1}u_{n+1}}$.