Une partie entière toujours paire
Bonjour
L’énoncé consiste à prouver que $\ \Big[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \Big]\ $ est toujours paire. Sachant que $[x]$ désigne la partie entière de $x$.
L’énoncé consiste à prouver que $\ \Big[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \Big]\ $ est toujours paire. Sachant que $[x]$ désigne la partie entière de $x$.
J’ai essayé la récurrence mais je suis restée bloquée au milieu . Merci de m’aider.
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Réponses
Si $n=p$ est premier :
(i) vérifier que le nombre $N := \dfrac{(p-1)!}{p+1}$ est un entier pair ;
(ii) vérifier que $p$ divise $N+1$ (théorème de Wilson), et donc que $\dfrac{N+1}{p}$ est un entier impair et conclure.
Dans le cas où $n+1=p$ est premier, même argument en remplaçant $N$ par $M := \dfrac{(p-2)!}{p-1}$.
Faut pas toujours voir du négatif là où il n'y en a pas.