Connexité de l'ensemble des matrices d'ordre fini
dans Topologie
Je me demande si l'ensemble des matrices d'ordre fini U est connexe dans l'espace M_n(K). Il n'est déjà pas connexe par arcs (corrigez-moi si je me trompe). J'avais une idée par exemple : il est connu que Adh(U) est l'ensemble des matrices à valeurs propres unitaires, donc si U était connexe, Adh(U) le serait. Mais de toute façon je ne trouve pas d'argument pour la non-connexité que j'ai intuitée.
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Réponses
Si on ne cherche pas à dénombrer les composantes connexes, c'est facile parce qu'on peut ne se souvenir que du dernier coefficient du polynôme caractéristique, à savoir le déterminant, qui dans notre cas, tombe dans $\mathbb U_{n!}$, qui est discret, et certainement ce n'est pas une application constante
Si on veut être plus précis et compter les composantes connexes, je pense qu'il faut commencer à parler de continuité des racines, ce qui n'est pas trooop compliqué, mais il faudra demander :-D
(Le cas réel ne doit pas être trop différent, mais il y a un peu plus de choses à regarder quand même)