Connexité de l'ensemble des matrices d'ordre fini

Démonstrator · January 2022

Je me demande si l'ensemble des matrices d'ordre fini U est connexe dans l'espace M_n(K). Il n'est déjà pas connexe par arcs (corrigez-moi si je me trompe). J'avais une idée par exemple : il est connu que Adh(U) est l'ensemble des matrices à valeurs propres unitaires, donc si U était connexe, Adh(U) le serait. Mais de toute façon je ne trouve pas d'argument pour la non-connexité que j'ai intuitée.

Georges Abitbol · January 2022

Avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ? Pourquoi n'est-il pas connexe par arcs ? La démonstration pourrait suffire, faut voir !

Maxtimax · January 2022

Si $K$ est par exemple $\mathbb C$, alors ce n'est effectivement pas connexe, comme le cas $n=1$ le suggère. Pour le prouver dans le cas général (et essayer de dénombrer les composantes connexes), il suffit d'observer que la fonction qui associe à une matrice son polynôme caractéristique est continue; et que l'image de $U$ n'est pas connexe dans $\mathbb C_n[X]$. En effet, cette image consiste exactement en les polynômes unitaires de degré $n$ dont toutes les racines sont des racines de l'unité de rang $\leq n$, et soudain on va pouvoir se ramener à $n=1$.

Si on ne cherche pas à dénombrer les composantes connexes, c'est facile parce qu'on peut ne se souvenir que du dernier coefficient du polynôme caractéristique, à savoir le déterminant, qui dans notre cas, tombe dans $\mathbb U_{n!}$, qui est discret, et certainement ce n'est pas une application constante

Si on veut être plus précis et compter les composantes connexes, je pense qu'il faut commencer à parler de continuité des racines, ce qui n'est pas trooop compliqué, mais il faudra demander :-D

(Le cas réel ne doit pas être trop différent, mais il y a un peu plus de choses à regarder quand même)