Une nouvelle

Médiat_Suprème · January 2022

babsgueye a dit :

Mais le nombre qu'il exhibe en travaillant sur l'énumération $B_p$, rien ne prouve qu'il n'est pas dans l'énumération $B_q$.

Ce qui n'est pas gênant, le problème n'est pas qu'un nombre $x$ ne se retrouve dans aucune énumération, mais que dans chaque énumération, il manque un $x$ (possiblement différent pour chaque énumération).

Dom · January 2022

Médiat_Suprème,
Ok, hélas, c'est moi qui ne peut plus suivre

PetitLutinMalicieux,
Je réponds tout de même car si c'est une plaisanterie, si quelqu'un veut vraiment savoir, il se trouve qu'il lui faut la réponse.
La réponse est que l'on crée une écriture décimale mais qui n'est pas l'écriture d'un nombre entier.
Le nombre possède un nombre infini de chiffres dans sa partie entière (devant la virgule dans son écriture décimale).
C'est intéressant, car cela met en perspective la nécessité d'être certain que l'on crée bien un objet dans le bon ensemble.
C'est d'ailleurs l'objet de l'intervention de Médiat_Suprème.

Pour la question à GaBuZoMeu, moi je prétends que l'argument diagonal permet de le démontrer.
Mais il aura une réponse bien plus experte que la mienne, le connaissant.

Rescassol · January 2022

Bonjour,

> On suppose les entiers dénombrables

Non, on ne le suppose pas, on le sait parce que la définition de "dénombrable" est "équipotent à $\mathbb{N}$".

Ensuite, l'argument diagonal ne fonctionne pas sur les entiers, car alors tu construis un entier ayant une infinité de chiffres, ce qui n'existe pas.

Enfin, $2^\mathbb N$ est l'ensemble des applications de $\mathbb N$ vers $\{0;1\}$ qui est équipotent à l'ensemble des parties de $\mathbb N$ et on sait que l'ensemble des parties d'un ensemble est strictement plus grand que cet ensemble.

Cordialement,
Rescassol

raoul.S · January 2022

@Dom babsgueye n'a pas compris tes arguments. La preuve ICI. Il pense qu'il peut modifier $t_{(k+1)}$ à sa guise... 🙄

Dom · January 2022

Oui, j’attendais pour commenter cela…
Ma bonté naïve allait parler d’une erreur de notation.

J’attends ses objections, puis je repars au charbon pour voir ce qu’il y a à dire sur ses propositions.

babsgueye · January 2022

@Dom, la différence que je signale sur les mots ''existence'' et ''donnée'' et ce qui suit sur les deux énumérations de la même liste de nombre est que il ne travaille pas intrinsèquement sur l'existence de e, mais plutôt sur la manière d'écrire e. Il ne fait nulle part appel à un problème d'ordre et je ne vois alors pas pourquoi tu n'arrives pas à saisir mon inquiétude quant à la rigueur de cette méthode ? J'apprécie tes tentatives de me convaincre, mais je pas encore longt te fatiguer pour ça. Du moment que personne ne trouve à redire sur ça, j'ai peut-être un problème avec un concept mathematiques. Je saurais m'en sortir tout seul.
Encore merci

Dom · January 2022

Ok.
Non, ce n'est pas la manière d'écrire $e$.
Si bien sûr, l'énumération est bien quelque chose d'ordonné (c'est la définition d'une suite qui contient un premier terme, puis un second, etc.).
Le réel construit est bien construit chiffre par chiffre.

En effet, tu fais un blocage. Tu n'as pas compris ce qu'était une énumération. Comme c'est une suite, c'est ordonné.
C'est le théorème que tu ne comprends pas.

Répétons : deux énumérations distinctes peuvent amener à créer deux réels distincts. Mais il n'y a aucun problème.
Si les deux énumérations sont "de la même liste", alors les deux réels créés respectivement pour chaque énumération ont les mêmes chiffres ordonnés dans un ordre différent. Le mot "intrinsèque", je ne sais pas s'il est bien utilisé dans ta phrase.

GaBuZoMeu · January 2022

Bonjour,

On suppose les entiers dénombrables. On peut donc en faire une liste. Nous inventons alors un entier, différent du premier de la liste sur les unités, différent du second sur les dizaines, différent du troisième sur les centaines, etc. Il n'est donc pas dans la liste. Nous venons de démontrer par l'absurde que les entiers ne sont pas dénombrables.

N'importe quoi. Ce n'est pas un entier qui est construit

GaBuZoMeu a dit :

Dom. Oui, $2^{\mathbb N}$ n'est pas dénombrable.

Peux-tu le prouver ? (Ou alors définir $2^{\mathbb N}$ )

Oui bien sûr. C'est déjà fait dans ce fil.

Georges Abitbol · January 2022

Rescassol : ce ne sont pas les personnes qui parlent qui supposent des choses, mais leur discours. Quand on dit, dans une démonstration, « je suppose l’axiome du choix », c’est que l’axiome du choix est une hypothèse de la démonstration, pas vraiment que la personne le suppose, le croit, ou veuille sciemment le mettre en doute. De plus, pourquoi ne pourrait-on pas supposer des choses vraies ?

Il y a des démonstrations qui supposent l’hypothèse de Riemann, et celle-ci est peut-être vraie.

Dans ta phrase, j’ai l’impression que tu dis qu’une personne qui suppose quelque chose de vrai est forcément mal informée, et je pense que tu te trompes.

Rescassol · January 2022

Bonjour,

Ce n'est pas ce que j'ai voulu dire, bien sûr qu'on peut supposer l'axiome du choix, ou son contraire, de même pour HR.
Ici, c'est une question de définition.
Dire "je suppose que $\mathbb N$ est dénombrable", c'est comme dire "je suppose que le blanc est blanc", puisque par définition "dénombrable" signifie "équipotent à $\mathbb N$.
Pourquoi ne pas dire aussi "Soit $f$ une bijection, je suppose qu'elle est bijective" ?
Maintenant, si tu veux baser un raisonnement sur "je suppose que le blanc est noir", pourquoi pas, mais je le sens fumeux dès le départ.

Cordialement,
Rescassol

Georges Abitbol · January 2022

Ben... Supposer des choses fausses, toutes les démonstrations par l'absurde le font ! Un raisonnement n'est pas fumeux parce qu'il fait des hypothèses fausses.

Rien ne t'empêche d'écrire "soit $f$ une bijection, je suppose qu'elle est bijective" ; et d'ailleurs, rien ne t'empêche d'écrire aussi "soit $f$ une bijection, je suppose qu'elle n'est pas bijective".

Ce que fait un raisonnement, c'est guider les sceptiques de la conclusion vers les hypothèses qu'ils ou elles devraient rejeter. Toi, quand tu dis

Maintenant, si tu veux baser un raisonnement sur "je suppose que le blanc est noir", pourquoi pas, mais je le sens fumeux dès le départ.

c'est que tu affirmes qu'étant un peu rodé en maths, si la conclusion d'un tel raisonnement te semble suspecte, tu sais directement quelle hypothèse rejeter, sans même avoir besoin de regarder le reste du raisonnement. Ce faisant, tu n'es pas en train de mettre en doute le raisonnement mais de court-circuiter le chemin qu'il allait te faire prendre : tu vas direct à l"hypothèse que tu as repérée comme étant fausse.

Rescassol · January 2022

Bonjour,

Oui, bon, si tu veux.
Mais si je dis "soit $f$ une bijection, je suppose qu'elle n'est pas bijective", je sais à l'avance que je vais pouvoir démontrer n'importe quoi et son contraire, je ne vais pas m'embarquer là dedans, et je ne vois pas qui serait assez sceptique pour croire qu'une bijection pourrait ne pas être bijective.
Bon tout ça est assez capillotracté, je ne vais pas me battre pour ça.

Cordialement,
Rescassol

Foys · January 2022

@Rescassol

Une preuve n'est jamais qu'un fichier informatique vérifiant certains critères purement syntaxiques et qui (si les critères en questions étaient communiqués au public) ne provoquerait pas plus d'émotions que ça.

Etant donné un ensemble d'énoncés $H$, une démonstration avec axiomes dans $H$ est une suite finie $X_1,\ldots,X_m$ d'énoncés tels que pour tout $p\in\{1,\ldots,n\}$,

$X_p$ appartient à $H$, ou alors il existe $q,r$ entiers strictement inférieurs à $p$ tels que $X_r = X_p \Rightarrow X_q$

(EDIT: il faut lire "tels que $X_r = X_q \Rightarrow X_p$". J'ai totalement confiance en la sagacité de mes lecteurs mais je tiens tout de même à les remercier pour leur patience 😳).

Le "théorème prouvé" par une telle démonstration est alors son dernier terme $X_n$.

L'idée est la suivante, à partir du moment où (étant donné un moyen de donner un sens aux formules) il est établi que pour tous énoncés $X,Y$ tels que $X$ et $X\Rightarrow Y$ sont vrais, alors $Y$ est également vrai, alors si tous les axiomes (éléments de $H$) sont vrais, tous les énoncés ayant une démonstration avec axiomes dans $H$ sont alors vrais.

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Quand il parle de suppositions visibles dans une preuve, Georges Abitbol fait référence à un algorithme évoqué plusieurs fois par Christophe sur le forum.

Soit $(A_k)_{1\leq k \leq n}$ une liste finie quelconque d'énoncés (des suites de caractères, pouvant faire apparaître un symbole dédié "$\Rightarrow$" et étant mettons parenthésées correctement).

L'algo produit une sous suite $(B_1,\ldots,B_p)$ de $(A_1,\ldots,A_n)$ telle que $B_1 \Rightarrow B_2 \Rightarrow B_3 \Rightarrow\cdots \Rightarrow B_p \Rightarrow A_n$ est une tautologie propositionnelle (on convient que la règle d'élimination des parenthèses pour $\Rightarrow$ est l’associativité à droite : $X \Rightarrow Y \Rightarrow Z$ désigne systématiquement $X \Rightarrow (Y \Rightarrow Z)$, et non pas $(X \Rightarrow Y) \Rightarrow Z$).

L'algo procède comme suit : on pose $B_1:=A_1$, puis pour tout $k\leq n$, si $L_k:=(B_1,\ldots,B_q)$ est construite :

(1°) soit il n'existe aucun couple $(i,j)$ d'entiers strictement inférieurs à $k$ tels que $A_j = A_i \Rightarrow A_k$ et alors on pose

$L_{k+1} := L_k+ A_k$ (la suite obtenue en ajoutant $A_k$ à $L_k$) ;

(2°) soit il existe un tel couple d'entiers $(i,j)$ et alors on pose $L_{k+1}:=L_k$.

Au final la liste $(A_k)_{1\leq k \leq n}$ est une démonstration avec axiomes pris dans $B_1,\ldots,B_p$.

GaBuZoMeu · January 2022

Foys a dit :

Etant donné un ensemble d'énoncés $H$, une démonstration avec axiomes dans $H$ est une suite finie $X_1,\ldots,X_m$ d'énoncés tels que pour tout $p\in\{1,\ldots,n\}$,
$X_p$ appartient à $H$, ou alors il existe $q,r$ entiers strictement inférieurs à $p$ tels que $X_r = X_p \Rightarrow X_q$.

Hum hum ... si on compte sur la sagacité des lecteurs pour corriger les coquilles, il vaut mieux ne pas tenir un discours aussi formel !

Médiat_Suprème · January 2022

Sans compter les expressions comme "si tous les axiomes sont vrais,", la question de la véracité des axiomes est au mieux une question philosophique, mais pas mathématique et n'a clairement aucun rapport avec la théorie de la démonstration.

GaBuZoMeu · January 2022

Pas d'accord non plus avec Mediat. La véracité n'est pas une question philosophique, c'est une question sémantique (de théorie des modèles) : si tous les axiomes d'une théorie sont vrais dans une structure (autrement dit, si cette structure est un modèle de la théorie), alors tous les théorèmes de la théorie sont vrais dans ce modèle.

Médiat_Suprème · January 2022

Je suis d'accord de parler de la véracité d'une formule dans un modèle, mais le cadre évoqué dans la phrase qui ne me plait pas n'a rien à voir avec les modèles, mais avec la théorie définie par les axiomes (et la théorie de la démonstration) il s'agit donc de syntaxe et non de sémantique.

C'est un peu comme Woodin se demandant si HR est vraie ou fausse (c'est donc bien plus philosophique que mathématique)

GaBuZoMeu · January 2022

Mediat, je pense toujours que tu te goures complètement sur le sens à donner à cette phrase de Foys.

Il y est bien écrit "étant donné un moyen de donner un sens aux formules".

Bon, vu qu'il a modifié son message, cette phrase n'y était peut être pas au départ.

Quoi qu'il en soit, il n'a pas corrigé sa coquille qui perturbe complètement sa description formelle d'une démonstration (que je n'aime pas trop par ailleurs).

Foys · January 2022

Bonjour à tous. Je viens d'éditer mon message.

Médiat_Suprème · January 2022

A la relecture j'ai toujours l'impression qu'il n'est question que de démonstration. Mais ce n'est guère important.

Personnellement j'essaye de n'utiliser le vocabulaire vrai/faux, que dans des phrases du genre "vrai dans tel modèle", "vrai dans tous les modèles", mais si le mot modèle n'apparaît pas, je l'évite.

Foys · January 2022

GaBuZoMeu a dit :Hum hum ... si on compte sur la sagacité des lecteurs pour corriger les coquilles, il vaut mieux ne pas tenir un discours aussi formel !

Mes problèmes de coquilles ne vont pas en s'arrangeant. Avant c'était une par paragraphe mais ça va être une par ligne un jour.

Il y a méprise je pense. Je ne fais pas ça pour me mettre en valeur mais parce que c'est le SEUL moyen de transmettre ce type d'information.

L'explication de la nature du raisonnement mathématique NE PASSE PAS par le handwaving (*) ou pire par l'idée que "toi tu es un débutant, laisse le formalisme exact aux pros et fais du vague intuitif (**)".

(*) et (**) est pourtant ce qui est voulu, prôné et pratiqué par 99% du monde académique (en expiation des maths modernes peut-être) et le triste résultat vous le voyez sous vos yeux : des générations d'élèves puis de profs de maths n'y arrivent plus et vont jusqu'à dire par exemple "je ne suppose jamais rien de faux, même s'il est possible de le faire c'est du tirage de cheveux logicien" alors même qu'ils utilisent raisonnements par contraposition et par l'absurde sur une base quotidienne...

Les maths formelles bas niveau sont plus faciles à comprendre (au moins pour moi !!) que les maths non formelles et combien de problèmes qui sont en fait des pertes de temps pourraient être tués dans l’œuf si on favorisait cette pratique ("qu'est-ce qu'une variable"; "qui est x"; "pourquoi on peut écrire $x\in \emptyset \rightarrow ZZZ$ alors que $\emptyset$ est vide" "quelle est la définition de l'ensemble de définition d'une fonction"; "un texte mathématique peut-il contenir des affirmations fausses"; "peut-on écrire 0/0" et j'en passe ...).

Foys · January 2022

Médiat_Suprème a dit :

Sans compter les expressions comme "si tous les axiomes sont vrais,", la question de la véracité des axiomes est au mieux une question philosophique, mais pas mathématique et n'a clairement aucun rapport avec la théorie de la démonstration.

Dans le paragraphe incriminé je parle "d'axiomes vrais" mais ne précise pas de quoi il s'agit. Cette question est le problème du destinataire du message. Parmi les sémantiques (moyens entre autres de répondre à ladite question) que je connais, toutes satisfont à la règle "si A est vrai et (A implique B ) est vrai, alors B est vrai" qui est en fait le seul véritable admis dudit message (avec la capacité d'employer convenablement des indices mais on va faire comme si c'était acquis).

Médiat_Suprème · January 2022

Foys a dit :
Dans le paragraphe incriminé je parle "d'axiomes vrais" mais ne précise pas de quoi il s'agit.

C'est bien là qu'est le problème !

Georges Abitbol · January 2022

@Foys : J'ai eu à enseigner une UE qui avait la vocation de présenter les bases de la logique et du langage mathématique aux personnes arrivant en L1 ; alors que je tenais à être super formel, un collègue logicien m'a dit : "mais pourquoi tout le monde veut transformer les étudiants en compilateurs ?". Je n'ai jamais compris son positionnement ; j'ai moi-même perdu énormément de complexes psychologiques quand j'ai compris que si les maths étaient écrites de de manière parfaitement formelle, ce n'est pas le talent (ou la bosse des maths) qui me manquerait pour les "comprendre", mais seulement le temps.

Dom · January 2022

Je pense qu’il existe un curseur quoique l’on en dise même si je suis penche davantage du côté formel que du côté « vulgarisation » (pour tenter un terme antonyme).

Foys · January 2022

Médiat_Suprème a dit :

Foys a dit :
Dans le paragraphe incriminé je parle "d'axiomes vrais" mais ne précise pas de quoi il s'agit.

C'est bien là qu'est le problème !

Non justement, c'est pour permettre une plus grande liberté d'interprétation à ce "vrai".

Empruntons un peu le langage ensembliste.

Dans tout ce qui suit, $P$ est un ensemble, $\multimap: P \to P \to P$ une loi de composition interne et $V$ un sous-ensemble de $P$ tel que pour tous $x,y\in P$, si $x\in V$ et $x\multimap y \in V$ alors $y\in V$ $(\dagger)$.

On note:

$B:= \{(y \multimap z) \multimap ((x \multimap y) \multimap (x \multimap z))\mid x,y,z\in P\}$

$C:= \{(x \multimap (y \multimap z)) \multimap (y \multimap (x \multimap z)) \mid x,y,z\in P\} $

$I:= \{x \multimap x \mid x \in P\}$

$W:= \{(x \multimap (x \multimap y)) \multimap (x \multimap y) \mid x,y\in P\}$

$K:=\{ x \multimap (y\multimap x)\mid x,y\in P\}$
$A:= \{((x \multimap y) \multimap x) \multimap x \mid x,y \in P\}$

Exemples.

1°) On suppose que $P=\Z/2 \Z$, que $\multimap $ est la soustraction et que $V=\{0\}$. Alors $V$ satisfait $(\dagger)$.

$V$ contient $B,C,I$ mais pas $W,K$ ni $A$. Ce résultat se généralise à des groupes abéliens quelconques non nuls et on peut prendre pour $V$ des sous-groupes stricts.

2°) Soit $P:=\{0,1,2\}$. On pose $x \multimap y:= 2$ si $x\leq y$ et $x \multimap y:=y$ si $x>y$. On pose $V:=\{2\}$.

Alors $V$ contient $B,C,I,W,K$ mais pas $A$ (car $((1 \multimap 0) \multimap 1) \multimap 1 = 1$).

(NB: $P,\inf (\cdot,\cdot),\sup(\cdot,\cdot)$ est une algèbre de Heyting isomorphe à la topologie de l'ordre sur $\{0,1\}$).

3°) Soit $R$ une algèbre de Boole; $x\multimap y:= \neg x \vee y$, $t\in R$ et $V:=\{x \in R \mid x \geq t\}$. Alors on a à nouveau un exemple de $(\dagger)$ (puisque $B\cup C \cup I \cup W \cup K \cup A = \{\max (R)\}$)

4°) Construire des exemples avec $B \cup C \cup I \cup K \subseteq V$ mais $W\not \subset V$, et $B \cup C \cup I \cup W \subseteq V$ mais $K\not \subset V$ (le logiciel "mace4" peut en produire mais ils ne sont pas "naturels" disons).

Médiat_Suprème · January 2022

En quoi cette logorrhée répond-elle à la question ?

Foys · January 2022

Médiat_Suprème a dit :

En quoi cette logorrhée répond-elle à la question ?

On peut remplacer dans mon message plus haut "vrai" par "$V$ vérifiant $(\dagger)$" de mon dernier message et tout est encore valide.

Pas besoin de théorie des modèles pour parler de "vrai".

Georges Abitbol · January 2022

@Foys : $P\times P \rightarrow P$ plutôt que $P\rightarrow P \rightarrow P$ (enfin, c'est pas une erreur à curry/décurry près) ?

Foys · January 2022

@Georges Abitbol ça c'est ce qui arrive quand on passe trop de temps sur COQ

La Curryfication est une bonne chose à mon avis (si ça dérange vraiment du monde je mets $P\times P \to P$).

Sneg · January 2022

Avant que ce fil ne vienne à être fermé pour cause de manque de courtoisie entre les intervenants, je m’empresse d’écrire ce dernier message.

Médiat_Suprême a posté ce message-ci https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2336658/#Comment_2336658 . Pourtant, je n’ai jamais écrit nulle part que tous les ensembles infinis étaient dénombrables. Mystère !

Quant à Dom, il a écrit ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2336959/#Comment_2336959 en parlant de moi :

« Ou plutôt, il ne comprend pas ce passage. Il le gère mal alors il l’occulte. »

Et encore :

« Je pense qu’il essaye d’appliquer le procédé diagonal mais qu’il n’y arrive pas. »

Le vrai problème, c’est que Mediat_Suprème et Dom semblent persuadés que je ne comprends pas la théorie, alors que le problème n’est pas là du tout. Sans chercher à créer la polémique, je dirais plutôt que c’est eux qui ne comprennent pas la démarche - atypique, il est vrai - d’Alice, que je réexplique une dernière fois ci-dessous.

À propos des réels appartenant à l’intervalle $[0, 1[ et écrits sous forme de développement décimal illimité, la théorie envisage chacun de ces nombres comme étant un objet mathématique parfaitement défini (déterminé) et possiblement distinct de tous les autres.

Alice, elle, ne fait de cela qu’une supposition, car elle n’arrive à voir dans chacun de ces nombres qu’une suite infinie de décimales qu’elle ne peut pas et ne pourra jamais écrire en entier et se demande si ces nombres, à jamais incomplets à ses yeux, sont « déterminés et bien distincts les uns des autres ».

Au fond, c’est peut-être la différence entre, d’une part, « Les nombres tels que l’esprit humain peut en théorie les appréhender » et, d’autre part, « Les nombres tels que la main humaine peut les écrire ».

Quoi qu’il en soit, voilà une première différence d’approche entre Alice et la théorie. On y adhère ou on n’y adhère pas, mais on ne mélange pas les deux approches.

Autre différence entre la théorie et Alice : Cette dernière fait reposer son raisonnement sur un postulat, inexistant dans la théorie, qu’elle appelle « Le postulat des guirlandes de Noël identiques ». Ce postulat dit ceci :

Si les nombres considérés sont tous « déterminés et bien distincts les uns des autres », alors je pourrai les dénombrer, tout comme on peut dénombrer des guirlandes de Noël identiques quand chacune d’elles est bien rangée dans sa boîte.

Encore une fois, on adhère à ce postulat ou pas.

L’argument diagonal prouve que les nombres considérés ne peuvent pas être dénombrés. Et le postulat d’Alice - plus précisément sa contraposée - conduit à la conclusion que ces mêmes nombres ne sont pas tous « déterminés et bien distincts les uns des autres ». Ils ne sont donc pas de même nature que les éléments de $\mathbb{N}$. Ce résultat, ignoré de la théorie officielle, en entraîne d’autres, comme on peut le lire dans la nouvelle qui fait l’objet de ce fil.

Que vous nous fustigiez, ma petite histoire et moi, ne m’étonne pas le moins du monde, car je garde en mémoire le conseil que Tchekhov a donné aux jeunes auteur(e)s et qui dit :

« Quand tu as fini d’écrire, signe. Si tu ne poursuis pas la renommée et si tu as peur des coups, utilise un pseudonyme. »

Il avait déjà tout compris.

Et j’ai suivi son conseil.

Snégourotchka.

Médiat_Suprème · January 2022

Sneg a dit :
Le vrai problème, c’est que Mediat_Suprème et Dom semblent persuadés que je ne comprends pas la théorie, alors que le problème n’est pas là du tout.

Prouvez-le en nous fournissant langage et axiomes alors que cela fait la 3ième fois que je vous le demande et que vous vous défilez ...

Médiat_Suprème · January 2022

Sneg a dit :
Médiat_Suprême a posté ce message-ci https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2336658/#Comment_2336658 . Pourtant, je n’ai jamais écrit nulle part que tous les ensembles infinis étaient dénombrables. Mystère !

C"est dommage, mais est-ce une surprise, car dans ce texte il y a une définition de ce que pourrait être un élément "parfaitement défini".

Dom · January 2022

« si ces nombres, à jamais incomplets à ses yeux, sont « déterminés et bien distincts les uns des autres ».
Peut-on lui reprocher cette approche différente ?

Elle a tort de regarder les nombres comme mon « 1) » qui suit. Mais elle a raison de dire que ce n’est « pas déterminé ».

Je tente une répétition également :

1) 0,12345… ne veut rien dire (je suis d’accord avec Alice).

2) soit $x$ dans $[0;1[$,
$x_0=0$ et pour tout $k$, $x_k$ est le $k$-ème chiffre derrière la virgule dans l’écriture décimale propre de $x$ est parfaitement clair.

C’est une suite de chiffres parfaitement déterminés.

On a de la chance car Cantor n’a jamais rédigé comme le 1) mais comme le 2).

Veux-tu répondre à cela Sneg ?
J’ai dit que LE problème était là.

Et que rédiger comme « 1) » m’apparaît peu pertinent voire dénué de sens.

Si je t’ai offensé, j’en suis désolé.

Quand je dis « tu n’as pas compris », je ne le dis pas pour blesser et ça ne devrait pas être blessant.

gerard0 · January 2022

Je vais faire comme Alice : Je prends comme postulat que 2 = 3. Et tous les théorèmes des mathématiques sont démontrés (leurs négations aussi d'ailleurs).

Le postulat "Si les nombres considérés sont « déterminés et bien distincts les uns des autres », alors je pourrai les dénombrer," est incompatible avec les mathématiques courantes. Et l'histoire des guirlandes de Noël montre bien qu'il ne s'agit que de prolonger aux ensembles infinis ce qui est vrai pour les ensembles finis. Mais on sait depuis 2500 ans que c'est faux. Qu'avec l'infini actuel, un ensemble peut avoir autant d'éléments qu'une partie stricte (*).

Et l'analogie des guirlandes est assez spécieuse : S'il y a vraiment beaucoup de guirlandes, des dizaines de milliers (donc même pas une infinité, ni un très grand nombre), on n'arrivera pas à les dénombrer si elles ne sont pas parfaitement rangées. Les nombres, eux, sont très bien rangés.

En conclusion, encore une fois, Alice ne fait pas des maths, mais autre chose, qui ne nous regarde pas !

(*) Les anciens grecs, préférant conserver le postulat euclidien "le tout est plus grand que la partie", on refusé l'infini actuel, d'où les contorsions dans les "éléments" d'Euclide sur les irrationnels.

GaBuZoMeu · January 2022

Je constate que Sneg évite soigneusement de considérer ma petite histoire d'oracle avec des réels non discrets (pas de décision d'égalité). Normal, ça nuirait à sa petite histoire à lui. Et ma petite histoire donne une version complètement finitiste de l'argument diagonal de Cantor, qui n'a d'ailleurs jamais parlé de bijection. Simplement, à partir de toute suite de réels de $[0,1[$, Cantor fabrique un réel qui est de manière certifiée bien distinct de tous les réels de la liste. Que les réels de la liste de départ soient différents entre eux ou pas, Cantor n'en a rien à faire !

Georges Abitbol · January 2022

Voilà une première différence d’approche entre Alice et la théorie. On y adhère ou on n’y adhère pas, mais on ne mélange pas les deux approches.

Voilà, voilà ! Super ! On est d'accord : l'approche d'Alice est mène à des contradictions (et d'ailleurs ne parle pas du tout de la même chose).

Dom · January 2022

Ou plus simplement, Alice ne regarde pas le procédé diagonal de Cantor. Elle parle d’autre chose.

raoul.S · January 2022

Sneg a dit :
Au fond, c’est la différence entre, d’une part, « Les nombres tels que l’esprit humain peut en théorie les appréhender » et, d’autre part, « Les nombres tels que la main humaine peut les écrire ».

@Sneg j'avais déjà cru comprendre de quoi tu parlais réellement (voir ICI). Mais là ça se confirme.
Ce que tu cherches c'est ça : Nombre réel calculable.

Et oui, les réels calculables sont bien dénombrables. Donc Alice avait raison dans ce sens. Pour reprendre tes mots on peut dire que les réels sont divisés en deux catégories : les réels tels que la main peut écrire (ce sont les calculables, bon on ne peut pas tous les écrire à la main c'est plus subtil quand même...) et ceux que seul l'esprit peut appréhender (ce sont les autres).

Médiat_Suprème · January 2022

raoul.S

C'est ce que je suggérais là : i https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2336658/#Comment_2336658

Pas le même vocabulaire et 100 ans d'écart, mais c'est la même idée de fond

Définissable != calculable, et ici, c'est plutôt cette première notion qui est en cause (il me semble).

GG · January 2022

@Sneg, je ne sais pas si tu es conscient - je pense que non - que ton questionnement s'inscrit exactement dans le débat "mathématiques classique contre mathématiques constructives".
Je définis
A = 0.10000 ... où la première décimale vaut 1, et toutes les suivantes 0, et
B = 0.10000 ... où la n-iéme décimale vaut 0 si 2n est somme de deux nombres premiers, et 1 dans le cas contraire.

Aussi bien en maths classique que constructives, A et B sont parfaitement définis. En revanche, bien malin qui, aujourd'hui en 2022, peut dire s'ils sont distincts ou non. On peut seulement dire en maths classiques qu'ils sont soit égaux, soit différents, c'est-à-dire que $ A = B \vee A \neq B $ est un théorème. Ce n'est pas le cas en maths constructives tant que l'on n'aura pas une preuve de $A = B$ ou une preuve de $A \neq B $, autrement dit, tant que l'on n'aura pas prouvé la conjecture de Goldbach, ou donné un contre-exemple.

Pour avoir une première idée du constructivisme ("à la Bishop"), tu peux regarder l'excellent exposé de H. Lombardi :

Dom · January 2022

Je maintiens croire qu’il s’agit d’une histoire d’écriture. Le passage de $a=0,x_1x_2x_3…$ à « par exemple $a=0,167…$ » est une preuve d’incompréhension de ce que l’on sait au départ de la démonstration.

J’en veux pour preuve qu’aucune démonstration n’est rédigée « avec des chiffres ». Ainsi, on ne peut pas se dire « Mouais, Cantor va un peu vite en besogne ».

J’ose même ajouter : qui a déjà écrit « prends par exemple le nombre $0,48913…$ » ?

Autant on le fait pour $0.121212…$ ou autre $0,9999…$ mais là encore, quel papier, même grossièrement grotesque, rédige comme ça quand le nombre n’est pas rationnel ?
Alors qu’il est très courant pour des raisons de fainéantise de dire « bah tu vois, ça donne $0,x_1x_2x_3…$ ».

babsgueye · January 2022

Mais @Dom essaie d'appliquer le procédé diagonal aux nombres rationnels compris entre $0$ et $1$. Est-ce que tu ne penses pas que pour pouvoir conclure comme Cantor l'a fait, il ne faudrait pas être sûr que le $x$ qu'il exhibe n'est pas un rationnel ?

Médiat_Suprème · January 2022

Le procédé diagonal appliqué aux rationnels démontre que le nombre ainsi obtenu n'est pas rationnel

D'ailleurs que se passe-t-il si on applique ce procédé aux entiers (avec un léger arrangement), après tout on peut en faire une liste dénombrable.

Foys · January 2022

Soient $E,F$ deux ensembles, $\theta$ une application de $E$ dans $E\to F$ (édité) et $\sigma:F\to F$ une fonction telle que $\sigma(x)\neq x$ pour tout $x$.

Alors on peut construire explicitement une fonction $g:E\to F$ n'appartenant pas à l'image de $\theta$. En effet soit $g:x\in E \mapsto \sigma \left ( \theta (x) (x)\right)$. S'il existe $y\in E$ tel que $\theta (y) = g$ alors $\theta (y) (y)= g(y) = \sigma \left (\theta (y) \theta (y) \right )$ ce qui contredit les hypothèses sur $\sigma$.

Une autre façon de le dire est que quels que soient les ensembles $X$ et $Y$, s'il existe une surjection de $X$ dans $X \to Y$ (édité) alors toute fonction de $Y$ dans lui-même possède un point fixe(*). Les preuves sont intuitionnistes (le point fixe est construit explicitement avec les données du problème).

Des ensembles $Y$ satisfaisant (*), il n'y en a pas beaucoup ...

L'argument diagonal ci-dessus n'est ni un paradoxe de l'infini, ni une manifestation incongrue du raisonnement par l'absurde mais un mécanisme extrêmement général ET constructif.

babsgueye · January 2022

Non, ce que je demande c'est : est-ce que tu peux conclure (dire qu'il n'est pas dans la liste) sans t'assurer que ce n'est pas un rationnel ?

Médiat_Suprème · January 2022

Oui

babsgueye · January 2022

Ca veut dire qu'il pourrait être un rationnel qui n'est pas dans la liste... Sinon comment sais -tu que c'est pas un rationnel ?

Médiat_Suprème · January 2022

Parce que l'on a une liste exhaustive des rationnels, je sais que ce n'est pas un rationnel, car c'est ce que démontre l'argument diagonal.

GaBuZoMeu · January 2022

Foys a dit :

Soient $E,F$ deux ensembles, $\theta$ une application de $E$ dans $E\to E$ et $\sigma:F\to F$ une fonction telle que $\sigma(x)\neq x$ pour tout $x$.
Alors on peut construire explicitement une fonction $g:E\to F$ n'appartenant pas à l'image de $\theta$.

En fait $\theta$ arrive dans $E\to F$ ?

Une autre façon de le dire est que quels que soient les ensembles $X$ et $Y$, s'il existe une surjection de $X$ dans $Y$ alors toute fonction de $Y$ dans lui-même possède un point fixe(*).

De quoi ???

Foys, écris-tu pour être compris ?

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