Ensemble algébrique ?

Julia Paule · January 2022

Bonjour,

Je m'interroge sur l'exercice suivant. L'ensemble $V=\{(t, \sin t) \in \mathbb A_2( \mathbb R) \mid t \in \mathbb R \}$ est-il algébrique ?

Voici ma solution.

$I(V)=\{P \in \mathbb R [X,Y] \mid P(t, \sin t)=0,\ \forall t \in \mathbb R \}$. On peut écrire $P=P_1+P_2$, avec $P_1 \in \mathbb R [X]$ et $P_2=Y Q_2$ avec $Q_2 \in \mathbb R [X,Y]$.

On a : $\forall t=k \pi,\ k \in \mathbb Z,\ 0=P(t, \sin t)=P_1(t)$, donc $P_1$ a une infinité de racines, donc $P_1=0$. Alors $I(V) \subset (Y)$.

Donc $V(Y) \subset V(I(V))$. Or $V(Y) \not \subset V$ (car par exemple $(1,0) \in V(Y)$ mais $\notin V$), donc $V(I(V) \ne V$, donc $V$ n'est pas algébrique.

Mes questions.

1) N'y a-t-il pas une solution plus simple, algébrique ou analytique ?

2) Par ailleurs, il me semble assez évident que $I(V)=0$, et qu'on peut le montrer de manière analytique, en faisant tendre $t$ vers $\infty$ par exemple (je suis un peu rouillée de ce côté-là).

Merci d'avance.

Math Coss · January 2022

L'adhérence de Zariski de $\Z$ dans $\R$ est $\R$. Ne pourrait-on pas l'utiliser pour montrer que $V$ contient les droites $\R\times\{s\}$ pour tout $s$ de $[-1,1]$ ?

Foys · January 2022

@Julia Paule et pour ton 2): considère un polynôme non nul $P(X,Y)\in \R[X,Y]$ tel que $\forall t\in \R,P\left (t,\sin(t) \right)=0$ et de degré minimal en $Y$, puis applique le même raisonnement qu'au début de ta solution.

Julia Paule · January 2022

Math Coss, je ne comprends pas que $V$ contienne les droites $\mathbb R \times \{s \}$. En effet, l'équation $\sin t =s$ en $t$, ne contient pas la droite réelle de solutions ?

Foys, super ça marche, merci.

GaBuZoMeu · January 2022

Bonjour

Même question avec $\{(t,\exp(t))\mid t\in \mathbb R\}$ ?

Math Coss · January 2022

En effet, je me suis mal exprimé, il aurait fallu écrire « si $V$ était algébrique, il contiendrait les droites $\R\times\{s\}$ » ou « l'adhérence de Zariski de $V$ contient les droites $\R\times\{s\}$ ».

Je note $\mathscr{I}(V)$ l'idéal de définition d'une partie $V\subset\R^2$ et $\mathscr{V}(I)$ le lieu des zéros d'un idéal $I$ de $\R[x,y]$. Je prends « algébrique » au sens de « lieu des zéros d'un idéal de $\R[x,y]$ ».

Fixons $s$ dans $[-1,1]$ et $t_0$ réel tel que $\sin t_0=s$, de sorte que $(t_0+2k\pi,s)\in V$ pour tout $k$ entier. (En aparté, le plongement de $\R$ dans $\R\times\{s\}$ correspond au morphisme d'anneaux $\R[x,y]\to\R[x]$, $P\mapsto P(x,s)$.) Si $P\in I(V)$, alors le polynôme $P(x,s)\in\R[x]$ a une infinité de zéros (les $t_0+2k\pi$ pour $k\in\Z$) donc c'est le polynôme nul, de sorte que $P$ s'annule sur la droite $\R\times\{s\}$. Si on note $W=\overline{V}$, c'est-à-dire que $W=\mathcal{V}(\mathcal{I}(V))$, alors $W$ contient donc $\R\times[-1,1]$.

À présent, soit $t_0$ un réel. Comme $P(t_0,s)$ s'annule pour tout $s\in[-1,1]$, c'est le polynôme nul, de sorte que $P(t_0,s)=0$ pour tout $(t_0,s)\in\R^2$. On en déduit que $W$ contient $\R^2$.

Julia Paule · January 2022

GaBuZoMeu, on procède de la même façon avec $P=P_1+YQ_2$, et on fait tendre $t$ vers $-\infty$. Alors $YQ_2$ tend vers $0$ (car la fonction puissance est négligeable devant la fonction exponentielle à tous degrés), donc $P_1$ tend vers $0$. Ceci n'est possible que si $P_1=0$.

Puis de la même façon $exp(t)Q_2(t, exp(t))=0, \forall t \Rightarrow Q_2=0$ (car la fonction exponentielle ne s'annule pas, puis par abaissement de degré, ou encore selon la technique de Foys). Donc $I(V)=0$ et $V$ n'est pas algébrique comme on pouvait s'y attendre.

Julia Paule · January 2022

Math Coss, ah d'accord. Si $V$ était algébrique ..., alors ce serait un fermé pour la topologie de Zariski donc égal à son adhérence, et comme il contient les points $(t, \sin(t)), \forall t$, il contient les points $(\arcsin (s), s), \forall s \in [-1, 1]$, donc tous les $k \pi, k \in \mathbb Z$ (pour $s=0$), et comme l'adhérence de $\mathbb Z$ est $\mathbb R$ (le plus petit ensemble algébrique qui contient une infinité de points en dimension $1$), donc il contiendrait $\mathbb R \times \{s \}, \forall s \in [-1, 1]$. Alors si $P \in I(V)$, en fixant $s$, il a une infinité de zéros, donc $P=0$.

J'ai du mal à suivre, mais je vois grosso modo.

MrJ · January 2022

Une remarque mineure : l’idéal $I(V)$ est nul si et seulement si la famille $(t\mapsto t^m\sin^n(t))$ avec $(m,n)\in\N^2$ est libre.

Julia Paule · January 2022

C'est beaucoup plus simple que ça ? Si $V$ était algébrique, il contiendrait $\mathbb R \times \{ 0 \}$ (par exemple $(\dfrac{\pi}{2},0))$, ce qui est faux.

Il s'agit donc de montrer rigoureusement que l'adhérence de $V$ contiendrait $\mathbb R \times \{ 0 \}$ :

$W=\{(k \pi, 0)\mid k \in \mathbb Z \} \subset V$. Or, $W$ est homéomorphe à $\mathbb Z$ dont l'adhérence est $\mathbb R$. D'où le résultat ?

GaBuZoMeu · January 2022

Julia Paule a dit :

Puis de la même façon $exp(t)Q_2(t)=0, \forall t \Rightarrow Q_2=0$ (car la fonction exponentielle ne s'annule pas, puis par abaissement de degré, ou encore selon la technique de Foys).

Plutôt $Q_2\big(t,\exp(t)\big)=0$.