L'intégrale de Kurzweil-Henstock
Réponses
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Bonjour.
Je profite de la présence des balaises de l'intégration pour poser ma question.
J'ai une fonction $f$ dérivable à droite sur un intervalle $[a,b[$. Est-ce que $f^\prime_d$ est KH-intégrable sur $[a,c]$ avec $a<c<b$ ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je relance.
Peut-on démontrer de façon simple/élémentaire, que si \( g \) est une fonction convexe sur \( ]a,b[ \),
\[ \forall (x,y) \in\, ]a,b[^2, \qquad \int_x^y g^\prime_d(t) \, \mathrm dt = \int_x^y g^\prime_g(t) \, \mathrm dt = g(y) - g(x) \quad?
\] Il va de soi que \( g^\prime_d \) et \( g^\prime_g \) sont croissantes donc intégrables et qu'elles diffèrent sur un ensemble au plus dénombrable, ce qui assure l'égalité des deux intégrales.
Que le paraclet soit profitable aux personnes concernées.
e.v.
[ Chez moi il apporte la flotte. ]Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonjour ev, il semble que tu veux rédiger un document sur KH avec pleins de propriétés, c'est ça ?Le 😄 Farceur
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Bonjour Gebrane.
Je cherche des exemples où K et H font mieux de Riemann. (Normal, à deux contre un).
Le mieux : des exemples comme le premier que j'ai proposé (bon, le tuyau était un pneu crevé) où l'intégrale n'apparait pas dans l'énoncé.
Amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Têtu, moi ?
Dans l'excellent "Une année de colles en Math Sup MPSI" de l'excellent Eric on trouve l'exercice 23.7 page 575 (24.9 page 577 de la première édition).
Soit \( f \in \mathcal C_{[0,1]}^1 \). Montrer que
\[ \lim _{n \rightarrow+\infty} n\Big(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\big(\frac{i}{n}\big)-\int_{0}^{1} f(x) d x\Big)=\frac{f(1)-f(0)}{2}.
\] Peut-on affaiblir l'hypothèse avec \( f \) dérivable sur \( [0,1] \) ?
Amicalement,
e.v.
[ C'est pas d'la pub, ça ? (...) Un lien, tu veux un lien ??? ]Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je te remercie e.v. pour le compliment.
Comme le remarque Masayoshi Hata (Problems and solutions in real analysis, 1st ed., ex 5.7), on ne peut pas se contenter de la seule continuité (la fonction de Takagi donne un contre-exemple). De plus, la solution qu'il donne de l'exercice utilise l'uniforme continuité de $f'$ sur $[0,1]$, d'où l'hypothèse $C^1$ sur $f$. Peut-on ne pas utiliser l'uniforme continuité de $f'$ ? -
Bonsoir Eric.
Ah, ça y est, je l'ai !
Avec tes notations :
\[ m_{i} :=\inf \left\{f^{\prime}(x): x \in\left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right]\right\}
\] et
\[ M_{i} :=\sup \left\{f^{\prime}(x): x \in\left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right]\right\}.
\] La fonction \( f^{\prime} \) est KH-intégrable sur \( [0,1] \), donc les
\[ \frac1{2n}\sum_{i=1}^{n} m_{i} \; \text{ et } \; \frac1{2n}\sum_{i=1}^{n} M_{i}
\] sont bien des sommes de Riemann qui convergent vers \( \displaystyle \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f^{\prime}(x) d x
=\frac{f(1)-f(0)}{2} \), ...
Sauf qu'au départ, l'existence des \( m_{i} \) et \( M_{i} \) n'est pas assurée pour une fonction banalement dérivable.
Encorre rraté.
Bonne nuit,
Général Alcazar.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
ev tu peux supposer de plus que f' est bornéLe 😄 Farceur
-
Bon, il est temps de faire chauffer la babasse.
Je considère une fonction \( g \) définie sur \( ]0,1] \) par \( g(x) = x^7\sin\left( \dfrac\pi{x^4} \right) \) et \( g(0) = 0 \).
La fonction \( g \) est dérivable sur \( [0,1] \) et
\( f(x) := g'(x) = 7x^6\sin\left( \dfrac\pi{x^4} \right) - 4\pi x^2 \cos\left( \dfrac\pi{x^4} \right) \).
On a donc \( f \) dérivable sur \( [0,1] \) mais \( f' \) n'est pas continue en zéro.
De plus \( \displaystyle\int_0^1 f(t) \, \mathrm dt = \int_0^1 g'(t) \, \mathrm dt = g(1) - g(0) = 0 \).
Montrer que
\[ \lim_{n \rightarrow+\infty} n\Big(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\big(\frac{i}{n}\big)-\int_{0}^{1} f(x) d x\Big)=\frac{f(1)-f(0)}{2} \] c'est montrer que
\[ \lim_{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} f\big(\frac{i}{n}\big) =\frac{f(1)-f(0)}{2} = 2\pi. \]
Je programme le calcul de la somme \( \displaystyle\sum_{k=1}^{2^n} f\big(\frac{k}{2^n}\big) \) :1 9.42477796076938 2 14.226450595563698 3 7.350862740000039 4 6.019044902834182 5 1.8439427218585056 6 2.810064602302168 7 9.932561699721935 8 14.554581778577052 9 8.900509033264624 10 5.283809207430888 11 7.242564057308822 12 13.335558623246783 13 1.0669089862686523 14 -1.1034015167778097 15 9.709071639906298 16 -3.7289133813154667 17 -7.8552827799027884 18 -4.487584324587491 19 5.283524333171092 20 8.388453305749046 21 -4.110394428691853 22 -6.473644277517529 23 -9.739125996295423 24 -9.338914315543567 25 -7.381176851526913
On voit que ce n'est pas un algorithme performant pour calculer \( 2\pi \).
Amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
La question se pose de savoir si la suite est erratique ou si c'est le programme qui n'est pas assez robuste.
Le même programme avec \(\quad g(x) = x^5\sin\left( \dfrac\pi{x} \right) \) et \( g(0) = 0 \).
La fonction \( g \) est dérivable sur \( [0,1] \) et
\( f(x) := g'(x) = 5x^4\sin\left( \dfrac\pi{x} \right) - \pi x^3 \cos\left( \dfrac\pi{x} \right) \).
On a donc \( f \) dérivable sur \( [0,1] \) et \( f' \) est continue en zéro cette fois.
On est dans les clous de l'exercice d'Eric.
On a toujours \(\quad \displaystyle\int_0^1 f(t) \, \mathrm dt = \int_0^1 g'(t) \, \mathrm dt = g(1) - g(0) = 0 \).
Montrer que \[ \lim_{n \rightarrow+\infty} n\Big(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\big(\frac{i}{n}\big)-\int_{0}^{1}
f(x) d x\Big)=\frac{f(1)-f(0)}{2} \] c'est montrer que
\[ \lim_{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} f\big(\frac{i}{n}\big) =\frac{f(1)-f(0)}{2} = \frac \pi2.
\] Le programme de calcul de la somme \(\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{2^n} f\big(\frac{k}{2^n}\big) \) donne :1 2.7488935718910694 2 1.992406634964477 3 1.8166491899836257 4 1.684491140957376 5 1.633187854071759 6 1.6066405167840734 7 1.586102159137793 8 1.5788455952321492 9 1.574775892133999 10 1.572923205725059 11 1.5717870189388443 12 1.5713164468044547 13 1.5710445270814772 14 1.5709214943285335 15 1.5708591340540443 16 1.5708278257050523 17 1.5708120660119538 18 1.5708042688790544 19 1.5708002900960398 20 1.5707983276866053 21 1.5707973241639022 22 1.5707968388080995 23 1.5707965811938833 24 1.570796562029134 25 1.5707966063577015
Ce n'est pas flamboyant comme convergence, mais on retrouve \( \frac \pi2 \).
Amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Un exercice (classique ?)Soit \( f \) une fonction dérivable de \( \R \) dans \( \R \).On suppose que \( \lim\limits_{x\to+\infty} (f'(x)+f(x)) = \ell \in \R \).Démontrer que \( \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell \).Amicalement,e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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L'exercice est bien classique (il est récurrent en taupe sauf erreur). Pour les inégalités (lorsque on a une fonction dérivable, même si l'intégration de Lebesgue ne s'applique plus), l'intégrale de HK n'apporte pas plus que l'inégalité des accroissements finis (même si elle guide les calculs). La difficulté de cet exercice est surtout de penser à la bonne fonction auxiliaire.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Je passe par l'édude de la fonction $x\mapsto e^{-x} g'(x)$ où $g(x)=e^xf(x)$ pour tout $x\in \R$. Je me demande s'il est possible d'éviter cette astuce.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Attention Gebrane, pour intégrer il faut que la dérivée soit intégrable, disons que la fonction soit $\mathcal C^1$.
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Tout dépend du type d'intégrale. Pour KH, toutes les dérivées sont intégrables, mais ce n'est pas (encore ?) dans les programmes d'enseignement.
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Je vais essayer de montrer que la fonction auxiliaire apparaît naturellement.On commence par supposer que \( \ell = 0 \). On pose \( \varepsilon(x) := f'(x)+f(x) \).
La fonction \( f \) est solution de l'équation différentielle
\[ y' + y = \varepsilon(x). \]
On résout l'équation homogène : \( y(x) = k \mathrm e^{-x} \).
On résout l'équation par la méthode de la variation de la constante :
\[ \begin{array}{lrcl}
&y'(x) &=& k'(x)\mathrm e^{-x} - k(x)\mathrm e^{-x}\\
\text{donc} & k'(x)\mathrm e^{-x}&=& \varepsilon(x)\\
\text{soit} & k'(x)&=& \varepsilon(x)\mathrm e^{x}.
\end{array} \]
Or on a \[ \forall x \in \R, \; \varepsilon(x)\mathrm e^{x} = \left( f'(x)+f(x) \right)\mathrm e^{x} = \dfrac{d}{dx} \left( f(x) \mathrm e^{x}\right). \]
La fonction \( k' : x \longmapsto \varepsilon(x)\mathrm e^{x} \) est une dérivée, elle est donc intégrable (KH) sur tout segment \( [x_0~,~x] \) et on a
\[ k(x) - k(x_0) = \int_{x_0}^x \varepsilon(t)\mathrm e^{t} \, \mathrm dt. \]
Il est temps de se souvenir que \( \lim\limits_{x\to+\infty} \varepsilon(x) = 0 \).
Soit \( \varepsilon > 0 \). Il existe \( A \in \R \) tel que \( \forall x \geqslant A \), on a \( \left \vert \varepsilon(x) \right\vert \leqslant \varepsilon \). On en déduit qu'en prenant \( x \geqslant A \),
\[ \left \vert k(x) - k(A) \right\vert \leqslant \int_{x_0}^x \mathrm e^t \varepsilon \, \mathrm dt \leqslant \varepsilon \left( \mathrm e^x - \mathrm e^A \right) \leqslant\varepsilon \mathrm e^x. \]
On en déduit que \( \lim\limits_{x\to+\infty} \left( k(x) - k(A) \right)\mathrm e^{-x} = 0 \).
Comme \( \lim\limits_{x\to+\infty} k(A)\mathrm e^{-x} = 0 \), on en déduit que \( \lim\limits_{x\to+\infty} k(x)\mathrm e^{-x} = 0 \), ce qui permet de conclure puisque \( k(x)\mathrm e^{-x} = f(x) \).Dans le cas général, on considère la fonction \( \tilde f := f - \ell \) et on applique la méthode du jaguar casqué.Amicalement,e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Rendons la tache ardue
Foys, je pense que tu prends $g(x)=e^x ( f(x)-l)$,Soit \( f \) une fonction n fois dérivable de \( \R \) dans \( \R \).On suppose que \( \lim\limits_{x\to+\infty} (f(x)+f'(x)+...+f^{(n)}(x)) = \ell \in \R \).Démontrer que \( \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell \).Amicalement,geb
Le 😄 Farceur -
@ev On peut simplifier ta méthode. Soit $f+f'=g$, puisque que $g$ est KH intégrable, on peut appliquer la méthode de la variation des constantes qui dit que $$\forall x\in\R,\quad f(x)=f(0)e^{-x}+e^{-x}\int_0^x e^t g(t) dt,$$$ g-l$ tend vers $0$ en $+ \infty$, donc $\forall \epsilon >0$, il existe $A>0$, $\forall x\geq A,\ |g(x)-l|<\epsilon$. On veut démontrer que $$\lim_{x\to +\infty}e^{-x}\int_0^x e^t g(t) dt=l,$$ on a $\displaystyle e^{-x}\int_0^x e^t g(t) dt= e^{-x}\int_0^x e^t (g(t)-l) dt +l(1-e^{-x})=e^{-x}\int_A^x e^t (g(t)-l) dt +e^{-x}\int_0^A e^t (g(t)-l) dt+l(1-e^{-x}).$ Il suffit de démontrer que $$\lim_{x\to +\infty}e^{-x}\int_A^x e^t (g(t)-l) dt=0.$$$\forall x>A$ on a $|e^{-x}\int_A^x e^t (g(t)-l) dt|\leq e^{-x}\int_A^x e^t \epsilon dt=(1-e^{-(x-A)})\epsilon$, donc $$\limsup_{x\to+\infty} |e^{-x}\int_A^x e^t (g(t)-l) dt| \leq \epsilon.\quad CQFD$$J'ai une preuve utilisant la deuxième formule des accroissements finis, si cela intéresse quelqu'un, je peux la rédiger pour voir si c'est juste.Le 😄 Farceur
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Dans mon raisonnement j'ai utilisé sans le prouver que si g est KH intégrable alors $e^x g$ est aussi KH intégrable. peut être j'ai commis une bêtise car je me rappelle que @Math Coss avait donné un contre de la non intégrabilité KH du produit $hg$ si $h$ est continue et $g$ KH.
Le 😄 Farceur -
Bonjour Gebrane.Je ne suis pas convaincu que ta méthode soit plus simple, ni même qu'elle soit différente...Tu as l'intégrabilité de $e^xg$ dans la mesure où $g$ est minorée -- peut-être pas à partir de zéro, mais au moins à partir de ton $A$.Amicalement,e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Bonjour Gebrane.Pour ton exercice je propose le plan suivant :1/ On démontre par récurrence sur \( n \in \N \) la proposition \( \mathcal P_n \) : pour toute fonction \( f \) , \( \; n \) fois dérivable sur \( R \), pour tout \( a_1, \ldots, a_n) \in \R_+^* \), \( \; \lim\limits_{x\to+\infty} \left( f(x) + a_1f'(x) + \ldots + a_nf^{(n)}(x) \right) = \ell \Longrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell \).2/ Pour démontrer \( \mathcal P_n \Longrightarrow \mathcal P_{n+1} \), on commence par étudier le cas des suites \( 1 < a_1 < \ldots < a_{n+1} \).Amicalement,e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Bon, je dois revoir mon propre exercice à la baisse car c'est faux pour n>3 ( Prendre n=4 et f(x)=cos(x))Je me contente donc de l'exercice suivant et je crois capable le traiter
Pourquoi je commets tant de bêtises surtout dans ce fil de @ev, mystère !Soit \( f \) une fonction 2 fois dérivable de \( \R \) dans \( \R \).On suppose que \( \lim\limits_{x\to+\infty} (f(x)+f'(x)+f''(x)) = \ell \in \R \).Démontrer que \( \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell \).Le 😄 Farceur -
Deux fois dérivable, ou bien de classe $C^2$ ?
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