Morphisme naturels et représentations

nimajneb · January 2022

Bonjour,

si j'ai un morphisme "naturel" entre deux espaces vectoriels, et que les deux sont munis d'une représentation, alors j'ai envie de dire que c'est un morphisme de représentations.

Par exemple, les isomorphismes $V^* \otimes W \to \mathrm{Hom}(V,W)$ et $\mathrm{Hom}(V,V^*) \to \mathrm{Bil}(V ; \mathbf C)$ sont naturels, et sont des morphismes de représentations.

Y a-t-il une justification derrière ces termes de "naturalité", qui me permettrait d'éviter la vérification, parfois pénible, du fait que ces isomorphismes passent aux représentations ?

GaBuZoMeu · January 2022

Bonjour

Que veut dire qu'un morphisme est naturel (sans guillemet) ? Il y a une définition technique (voir du côté fonctoriel).

nimajneb · January 2022

Après avoir un peu regardé la page wikipédia de la définition d'une transformation naturelle, je peux reformuler ma question ainsi :

Soit $\mathcal C$ la catégorie des $\mathbf C$-espaces vectoriels de dimension-finie, et $\mathcal D$ celle des représentations de $G$ sur $\mathbf C$ (i.e. : les $\mathbf C[G]$ modules de type fini). J'ai un foncteur d'oubli $\mathcal D \to \mathcal C$.

Si je regarde $F(V)= \mathrm{Hom(V,V^*)}$ (qui va de $\mathcal C$ dans elle-même), et $G(V) = \mathrm{Bil}(V;\mathbf C)$ (pareil), alors $F$ et $G$ sont des foncteurs, et le fait de dire que les morphismes sont «naturels» revient à dire que $\eta_V : F(V) \to G(V)$ est une transformation naturelle (dans la catégorie $\mathcal C$).

Mais j'ai aussi $\widetilde F$ et $\widetilde G$ des foncteurs associés dans $\mathcal D$, qui donnent, par oubli, $F$ et $G$. Sous quelles hypothèses la naturalité de $\eta$ dans $\mathcal C$ implique l'existence d'un $\widetilde{\eta}$ dans $\mathcal D$ le relevant ?

GaBuZoMeu · January 2022

Je ne suis pas sûr que tu prennes les choses par le bon bout.

On a deux bifoncteurs $(V,W)\mapsto \mathrm{Hom}(V, W^*)$ et $(V,W)\mapsto \mathrm{Bil}(V,W;\C)$, contravariants en les deux arguments, et un isomorphisme naturel $\varphi$ entre ces deux bifoncteurs. Regarde ce que ça veut dire pour $g\in G$, si on a une représentation $\rho:G\to \mathrm{GL}(V)$ et une autre $\sigma : G\to\mathrm{GL}(V)$.

Je te laisse dessiner un beau carré commutatif.

nimajneb · January 2022

Merci !

En fait on montre même que si $F$ (resp $G$) sont des $n$-foncteurs de la catégorie des $\mathbf C$-espaces vectoriels, alors toute transformation naturelle de $F$ vers $G$ induit un morphisme de représentations $F(V_1, \ldots, V_n) \to G(V_1, \ldots, V_n)$ associées. C'est finalement assez simple...

Maxtimax · January 2022

Tout à fait. D'ailleurs, rien à voir avec les espaces vectoriels : si tu as un foncteur entre deux catégories $F: C\to D$ et un objet $x\in C$ muni d'une représentation $G\to Aut_C(x)$, tu obtiens canoniquement une représentation $G\to Aut_D(F(x))$.

Pour un truc encore plus structuré, tu peux observer la chose suivante: la catégorie des $G$-actions dans $C$ (avec une définition "naïve" que je te laisse deviner) est équivalente à la catégorie des foncteurs $BG\to C$ (notée $Fun(BG,C)$), où $BG$ est une catégorie dont je te laisse deviner les détails (elle n'a qu'un objet, et ses endomorphismes sont $G$).

En particulier, ce "canoniquement" que j'ai écrit plutôt peut se reformuler en : post-composer par $F$ induit un foncteur $Fun(BG,C)\to Fun(BG,D)$. Donc c'est pas seulement "canonique", c'est un foncteur.

ça peut paraître beaucoup de mots pour pas grand chose, mais le voir comme ça permet de généraliser sans se casser la tête (remplacer $BG$ par n'importe quelle catégorie par exemple :-D ) - et aussi en n'ayant finalement vraiment rien à prouver

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