Autre angle : On note $E$ l’ensemble des réels positifs strictement inférieurs à $1$ tels que le développement décimal ne contient que des 3 et des 4 (à partir du rang $1$).
S’il en existe une énumération alors le procédé diagonal de Cantor propose un réel qui n’est pas dans $E$, qui est positif, strictement inférieur à $1$ et dont le développement décimal ne contient que des 3 et des 4. 😏
Et qu'est-ce qui empêche d'ajouter à la liste (infinie) le nombre que Cantor se prépare à exhiber. Ça peut bien être pris comme une démonstration pas rigoureuse.
Babsgueye exhibe ici une des raisons de sa publication systématique de "démonstrations" fausses (plusieurs dizaines ces dernières années). Un manque de sérieux dans la réflexion.
Ici, il veut changer la situation après la conclusion "c'est faux". C'est une pure tricherie.
Tant que le nombre qu'il exhibe est de mème nature que les nombres de la liste infinie, je trouve qu'il est trop facile de dire qu'il y a une contradiction. @gerard0 ma preuve de la conjecture de Riemann est plus rigoureuse que ça, et pourtant j'ai du accepter qu'elle n'est pas rigoureuse. Une dizaine !... tu exagères M. Gerard.
Il y a contradiction parce qu'il est différent de tous les éléments de la liste, par construction, donc il n'y est pas, donc la liste est incomplète. Quand à ta "preuve" de HR, essaie d'être un peu sérieux.
On a une liste (la qualifier d’infinie est trop vague, précisons infinie dénombrable) de réels et on exhibe un nombre réel qui n’est pas dedans.
On en conclut une contradiction : on ne peut pas avoir une liste dénombrables de TOUS les réels.
On peut évidemment avoir une liste dénombrable de plusieurs réels.
On peut dire par exemple : quelle que soit la liste dénombrable de réels, il en existe un qui n’est pas dans la liste.
Tu peux d’ailleurs essayer d’ajouter le réel construit $0,334443444333343…$ par le procédé diagonal (on met $3$ si le chiffre n’est pas $3$ sinon on met $4$).
Tu pourras créer un autre réel, encore.
Et on démontre que ces nombres là (voir un de mes messages plus haut) ne peuvent pas être listés de manière dénombrable.
Babsgueye ne voit pas que c'est trop tard pour rajouter un nombre, puisque la preuve est finie. Donc il n'a pas compris la preuve !
Mais le plus drôle, c'est qu'il ne dit pas comment "rajouter ce nombre"; Si c'est au début, ou à la n-ième place, c'est idiot, c'est seulement changer la suite, mais justement, la preuve marchait déjà pour cette suite-là puisque au départ, c'est n'importe quelle suite. Donc il faut le rajouter "à la fin". Mais alors, ce n'est plus une suite.
Babsgueye, si tu allais jouer ailleurs ? On est las de tes interventions idiotes.
Il a juste dit M. Cantor que ''si tu essaies d'écrire le développement décimal de tous les nombres positifs inférieurs à 1, je vais t'en sortir un qui n'y est pas''. Il se trouve qu'on ne peut pas l'écrire. Il dit ''tu l'as écrit là, hop voilà un, qui n'y est pas'' C'est pas rigoureux. Mais c'est parce que ça vient de Cantor qu'@gerard0 n'a pas son esprit de discernement. Heureusement qu'on a d'autres preuves de ce qu'on voulait démontrer, mais celle-là, c'est pas que je ne la comprends pas (c'est pas le plus difficile !), mais je pense qu'elle n'est du tout rigoureuse et tu ne peux rien y changer @gerard0... Je suis désolé.
Babsgueye se permet de dire qu'une démonstration admise et reconnue par la communauté mathématique internationale n'est pas rigoureuse. Il est trop fort, Hector !!
@Dom lis ce qui est mis en gras. Il dit ''si tu l'écris je fais comme ça''. Il se base sur une possibilité de quelque chose qui est impossible pour étaler sa contradiction. C'est logiquement pas rigoureux.
@babsgueye Faudrait peut-être retourner dans Shtam...
L'argument diagonal de Cantor est rigoureux. Il dit : supposons que $f:n\mapsto x_n$ est une bijection entre $\N$ et $\R$ alors il existe un $x \in \R$ (construit à l'aide de l'argument diagonal) tel que pour tout $n\in \N, x\neq x_n$. Donc $f$ n'est pas une bijection, contradiction.
Edit : Je ne me suis pas rendu compte qu'on y est déjà dans Shtam
tu ne devrais pas parler de ce que tu ne connais pas, de ce que tu ne comprends pas, tu te ridiculises à chaque fois ! Sans comprendre pourquoi c'est ridicule puisque tu ne comprends rien.
@raoul.S c'est justement la construction de ce $x$ qui pose problème. Je pense que tant que tu ne peux pas prouver que $x$ n'est pas de la mème nature que les éléments de cette liste infinie, la démonstration n'est pas rigoureuse.
@Dom justement, il n'a fait que répéter en décorant ce qu'on savait. Que c'est impossible. Personne n'a jamais douté que A est impossible. Il vient pour démontrer que A est impossible ( A:= écrire .....). C'est pas la peine de vouloir faire savant sur ça parce que il y a Cantor derrière.
La construction de ce $x$ ne pose un problème qu'à toi on dirait... $x$ est de la même nature que les autres éléments de la liste dans le sens que c'est un nombre réel, il est parfaitement défini par l'argument diagonal.
Tu peux reprocher à Gérard ce que tu veux mais pas de « valider une preuve juste parce qu’elle serait de Cantor ». Les mathématiciens (si tu sais ce que cela signifie) lisent des preuves. Il n’est pas question de réputation.
Cette démonstration est courte.
Ton histoire de « même nature » est étrange.
Que veux-tu dire par là ? Dans ce contexte, la nature des nombres est « entier, décimal, rationnel, irrationnel, réel ».
Ton objection est hors sujet. Il faut que tu précises vraiment le problème qui te gêne.
La preuve est faite pour convaincre tout le monde qui accepte les règles des maths.
Dis-nous vraiment où est ton objection.
Commence aussi par mettre ton arrogance et ta fierté de côté. Ça ne sert à rien, quand on parle de maths.
" justement, il n'a fait que répéter en décorant ce qu'on savait. Que c'est impossible. "
Tout de suite, B. saute sur un autre sujet, car il sait qu'il ne connaît rien à la preuve de Cantor, et qu'il s'est, encore une fois, engagé sur un terrain où il est battu d'avance.
La preuve de Cantor, n'importe quel étudiant de L1 qui veut réfléchir peut la refaire seul et la vérifier complétement. On peut, comme le pp, contester son résultat au nom de "je ne veux pas y croire", ou baratiner à son sujet sans l'avoir regardée comme B., mais ça n'est pas des mathématiques.
@raoul.S, je ne reproche rien à ton $x$, sauf qu'il est comme tu dis, de la mème nature que les nombres de la liste que je suis en train d'écrire (et que je ne peux pas finir d'écrire). Exhiber un $x$ et dire qu'il ne sera pas dans la liste ; c'est n'importe quoi sauf une preuve rigoureuse.
@Dom ça m'étonne un peu que tu n'aies pas encore pigé mon objection, afin de m'expliquer clairement ce que tu défends.
@gerard0 tu n'essaies jamais d'éclaircir la lanterne à quelqu'un (peut-être que tu en es en fait incapable) je reconnais en toi l'habitude de parler dans le vent, toujours à coté du sujet. Je sais aussi que je ne peux rien y changer, continue de palabrer si tu t'occupes bien comme ça, mais en plus de ta lecture ce serait bien que tu apprennes à penser avec un esprit plus critique.
je continuerai à écrire, suite à tes interventions absurdes que tu n'y connais rien. Pour éviter que des visiteurs soient abusés. Et quand tu feras sérieusement des maths, je n'interviendrai pas, ou seulement pour faire des maths. Par exemple je ne suis pas intervenu dans Problème du second voisinage où tu fais des maths (essentiellement des présentations de contre-exemples, tous faux).
Ici, tu es au niveau zéro de la preuve, puisque une fois qu'elle est faite, tu rajoutes "oui mais" sans rien nier de la preuve. Si tu as une critique à faire, c'est dans le cours de la preuve qu'il faut la faire. On ne refait pas la course après l'arrivée (sauf tricherie).
Alors étudie la "preuve de Cantor" et vois si tu trouves une étape fausse ...
NB : "tu n'essaies jamais d'éclaircir la lanterne à quelqu'un". Si, y compris un certain nombre de fois à toi. Et dans ce message encore, bien que ce soit une répétition. Mais tu ne lis pas pour comprendre. "peut-être que tu en es en fait incapable". En général non, mais comment faire boire un âne qui n'a pas soif ?
Non, babsgueye, tu n'es pas explicite, c'est pourquoi je veux bien des éclaircissements.
Je te cite, par exemple : a) " [...] la liste que je suis en train d'écrire (et que je ne peux pas finir d'écrire)." b) "Exhiber un $x$ et dire qu'il ne sera pas dans la liste ; c'est n'importe quoi sauf une preuve rigoureuse"
C'est la preuve que tu n'as pas compris du tout la preuve.
Dans le "a)" par exemple, on n'est pas entrain d'écrire et on ne parle pas de "finir d'écrire".
Tu sais, je crois, ce qu'est une suite. Dis-moi à quel endroit il y a un problème dans le texte suivant.
L1 : soit $r_1$ un réel dans $[0;1[$, je note $t_1$ son écriture décimale où pour quel que soit l'entier naturel $k$, je note $t_{1_k}$ le $k$-ème chiffre dans son écriture décimale propre, derrière la virgule. Remarque : $t_{1_0}=0$ (c'est la partie entière du nombre, dans notre cas).
L2: soit $r_2$ un deuxième réel (disons, un autre) toujours dans $[0;1[$, je note $t_2$ son écriture décimale où pour quel que soit l'entier naturel $k$, je note $t_{2_k}$ le $k$-ème chiffre dans son écriture décimale propre, derrière la virgule.
Est-ce [que] déjà, là, tu vois un problème de rigueur ? par exemple dans la ligne "L1" de mon message ?
Ici, tu constates bien qu'il n'est pas question de "pouvoir écrire" ou "d'être entrain décrire".
Dans le "b)" par exemple, tu utilises le futur.
Cela m'arrive parfois, c'est une manière de parler mais c'est abusif. Dans cette preuve, on propose un réel $x$ qui n'est pas dans la liste. Ce n'est pas un nombre "qui n'y sera pas" mais un nombre "qui n'y est pas".
@Dom, à l'étape $n+1$ je prends les chiffres qu'il a écrit et j'ajoute un autre chiffre. Je sais qu'il va remplacer ce nouveau chiffre par un autre pour construire son nombre. A l'étape $n+2$ je fais comme à l'étape $n+1$. Il va encore s'adonner à son jeu favori. Il va jamais s'arrêter dans la construction de son nombre (je suis bien d'accord que c'est un nombre). Il construit son nombre à la suite de ma construction d'une suite, mais déjà qu'est ce qui m'empêche de construire une suite à la suite de la construction de son nombre. C'est le problème qu'on a avec $\infty$ qui n'est pas levée. Il n'a rien démontré, sinon que ''tu ne peux pas écrire tous ces nombres'', alors que moi j'ai jamais dit que je pouvais écrire tous ces nombres. et @gerard0 dit qu'il a gagné. Je me suis lassé d'écrire et j'ai perdu ; pourquoi lui il ne se lasse pas d'écrire et il perd. Je ne dis pas que c'est faux, mais c'est pas rigoureux. En maths il y a des démonstrations qu'on doit mettre dans le box des ''pas rigoureux'', cela expliquerait certainement certains paradoxes notés ça et là.
@gerard0 si ce je dis n'est pas des maths, c'est que les maths ont eu un problème à résoudre et ils sont passés dessus en donnant une réponse indigne des sciences exactes.
Ha ok. Je te remercie. Donc le problème n’est pas là.
Alors je continue.
L3 : Je suppose qu’une énumération des réels de $[0;1[$ existe et je vais démontrer que cela conduit à une contradiction.
L4 : Je vais déduire de L3 qu’alors il n’existe pas d’énumération des réels de $[0;1[$.
L5 : Soit $(r_n)_n$ une telle énumération de tous les réels de $[0;1[$. Pour tout entier $n$, je note $(t_n)_n$ l’écriture décimale propre de $r_n$ et pour tout $n$ et pour tout $k$ je note $t_{n_k}$ le $k$-ème chiffre dans l’écriture décimale de $r_n$.
Je veux bien que tu me dises si là encore, L3, ou L4 ou L5 pose un problème.
Je tire définitivement un trait sur L1 et L2 : il n’y a aucun problème d’après toi.
Ok. Alors comme ils y sont tous, si je démontre qu’un réel n’y est pas, on aura bien une contradiction.
Je construis le réel $x$ avec son écriture décimale $t_x$.
Je pose $t_{x_0}=0$ (sa partie entière) et pour tout entier naturel non nul $k$ je note $t_{x_k}$ son $k$-ème chiffre derrière la virgule dans son écriture décimale propre. Passons à la construction de ce $x$. RAPPEL : normalement il est dans l’énumération puisque j’ai supposé que cette énumération contenait tous les réels. (L3).
L6 : la construction proprement dite Soit $k$ un entier non nul.
Je pose : $t_{x_k}=3$ si $t_{k_k}\neq 3$
$t_{x_k}=4$ si $t_{k_k}=3$
Cela donne bien l’écriture d’un réel $x$. On a la partie entière qui vaut $0$ et ses chiffres derrière la virgule (de l’écriture décimale) ne contiennent que des $3$ ou des $4$ de sorte qu’il est bien strictement inférieur à $1$ (on a évité par exemple « le nombre $0,999…$ » qui est $1$).
"Cela donne bien l’écriture d’un réel $x$" mériterait une explication plus poussée (à partir d'une définition de $\mathbb R$, une règle L0 par exemple).
Je précise qu'en ce qui me concerne j'ai assimilé l'argument diagonal il y a 50 ans (quand j'ai commencé l'étude de ZF(C) et de la logique en général) et que j'admire votre patience, je n'interviens que pour éviter de futures objections.
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui Médiat_Suprème, je vais casser trois pattes au canard.
J’avais eu l’idée de commencer par un truc du genre «J’admets sans scrupule qu’il y a une bijection entre les réels de $[0;1[$ et les écritures décimales composées du $0$ devant la virgule et derrière la virgule des suites de chiffres excepté celles qui sont constantes égales à $9$ à partir d’un certain rang. »
Je me suis dit que babsgueye savait et acceptait cela.
Je pense que tu fais référence à la complétude ou à la propriété de la borne supérieure de sorte que quel que soit l’élément $(a_k)_k$ de $\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}^{\mathbb N^*}$ la série $\displaystyle \sum_{k \in \mathbb N^*} \dfrac{a_k}{10^k}$ converge dans $\mathbb R$ (car la suite de ses sommes partielles est croissante et majorée).
babsgueye, je te promets de regarder ce que tu produits, après… si tu n’as pas d’objection, alors il suffit de démontrer que mon $x$ ainsi construit n’est pas dans l’énumération. Et ça, tu sais le faire.
Merci @Dom t'as été gentil, mais mon objection sur cette méthode reste entière. Ce qui me gène c'est qu'il ne se base pas seulement sur l'existence d'une énumération, mais plutôt sur sa donnée. En plus, cette énumération, on peut la donner d'une infinité de manières chacune contenant les mêmes nombres. Mais le nombre qu'il exhibe en travaillant sur l'énumération $B_p$, rien ne prouve qu'il n'est pas dans l'énumération $B_q$.
Ha ! Là je suis désolé mais tu remontes sur L3 que tu as validé... il faut choisir.... Ou alors c'est pour L5 ? La démonstration fonctionne quelle que soit l'énumération. Quand a "l'existence" et "la donnée", là je ne comprends pas ce que tu racontes.
Quand on dit "il existe $e \in E$", on a le droit de travailler avec n'importe quel $e$ dans $E$.
Quand tu dis "cette énumération, on peut la donner d'une infinité de manières chacune contenant les mêmes nombres", houlala tu te trompes complètement.
On dit "il existe une énumération $e$", ça signifie qu'il en existe au moins une et d'ailleurs, dans ce cas, on peut démontrer qu'il en existe une infinité (il suffit de considérer les bijections de $\mathbb N$ dans lui-même). Ensuite quand on dit "Soit une énumération $e$", non, on ne peut plus la modifier (ça en serait une autre). C'est le B.A.BA là. Tu ne peux pas "la donner d'une infinité de manière", c'est un contresens plutôt grave. Tu en choisis une : donc tu as fixé le premier réel, le second, le troisième, etc.
Une remarque : à chaque énumération $e$, la construction fournit un réel $x_e$ qui n'est pas dedans. Ce $x_e$ dépend de l'énumération.
Je n'ai pas compris ta dernière phrase sauf si je viens d'y répondre, dans ce cas, oui c'est vrai. Le réel $x_e$ construit n'est peut-être pas le même que celui d'une autre énumération. Et tu as raison, le réel $x_e$ est bien présent dans d'autres énumérations. Mais ce n'est pas contradictoire. Cela ne pose pas de problème.
Je résume : on a démontré que quelle que soit l'énumération des réels, il existe un réel qui n'est pas dans ladite énumération. C'est une contradiction.
Je pense que tu fais référence à la complétude ou à la propriété de la borne supérieure
Non je pensais à des choses plus compliquées, comme la définition de $\mathbb R$ dans un modèle de Skolem de ZFC. Le L0 que vous proposez convient très bien.
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui. Ça, c'est la question. Et la réponse, c'est quoi ?
On suppose les entiers dénombrables. On peut donc en faire une liste. Nous inventons alors un entier, différent du premier de la liste sur les unités, différent du second sur les dizaines, différent du troisième sur les centaines, etc. Il n'est donc pas dans la liste. Nous venons de démontrer par l'absurde que les entiers ne sont pas dénombrables.
Peux-tu le prouver ? (Ou alors définir $2^{\mathbb N}$ )
Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages
passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique
du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on
cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on
n'a pas besoin de recopier le message passé.
Réponses
Et avec une énumération de $\mathbb N$ ? 😀
On note $E$ l’ensemble des réels positifs strictement inférieurs à $1$ tels que le développement décimal ne contient que des 3 et des 4 (à partir du rang $1$).
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On pourra alors en exhiber un autre.
Et ne dis pas qu'il n'y a qu'à l'ajouter aussi etc..., car cela supposerait ce qui n'est pas.
Cordialement,
Rescassol
« S’il existe une énumération des réels entre 0 et 1 alors je trouve un réel (au moins) qui n’y est pas ».
Une dizaine !... tu exagères M. Gerard.
Il y a contradiction parce qu'il est différent de tous les éléments de la liste, par construction, donc il n'y est pas, donc la liste est incomplète.
Quand à ta "preuve" de HR, essaie d'être un peu sérieux.
Cordialement,
Rescassol
Mais c'est parce que ça vient de Cantor qu'@gerard0 n'a pas son esprit de discernement.
Heureusement qu'on a d'autres preuves de ce qu'on voulait démontrer, mais celle-là, c'est pas que je ne la comprends pas (c'est pas le plus difficile !), mais je pense qu'elle n'est du tout rigoureuse et tu ne peux rien y changer @gerard0... Je suis désolé.
Ne dis pas que tu la comprends, car justement si tu trouves qu’elle n’est pas rigoureuse…
Quelle règle mathématique est mise en défaut ?
Babsgueye se permet de dire qu'une démonstration admise et reconnue par la communauté mathématique internationale n'est pas rigoureuse.
Il est trop fort, Hector !!
Cordialement,
Rescassol
Il dit ''si tu l'écris je fais comme ça''. Il se base sur une possibilité de quelque chose qui est impossible pour étaler sa contradiction. C'est logiquement pas rigoureux.
L'argument diagonal de Cantor est rigoureux. Il dit : supposons que $f:n\mapsto x_n$ est une bijection entre $\N$ et $\R$ alors il existe un $x \in \R$ (construit à l'aide de l'argument diagonal) tel que pour tout $n\in \N, x\neq x_n$. Donc $f$ n'est pas une bijection, contradiction.
Edit : Je ne me suis pas rendu compte qu'on y est déjà dans Shtam
C’est la définition mathématique de la négation de quelque chose.
remarque : pour savoir que quelque chose est impossible, justement on suppose qu’il est possible et on voit que ça entraîne une contradiction.
Il y a plein de nombre que l’on ne peut pas écrire en écriture décimale.
@Dom justement, il n'a fait que répéter en décorant ce qu'on savait. Que c'est impossible. Personne n'a jamais douté que A est impossible. Il vient pour démontrer que A est impossible ( A:= écrire .....). C'est pas la peine de vouloir faire savant sur ça parce que il y a Cantor derrière.
Les mathématiciens (si tu sais ce que cela signifie) lisent des preuves. Il n’est pas question de réputation.
Dans ce contexte, la nature des nombres est « entier, décimal, rationnel, irrationnel, réel ».
@Dom ça m'étonne un peu que tu n'aies pas encore pigé mon objection, afin de m'expliquer clairement ce que tu défends.
@gerard0 tu n'essaies jamais d'éclaircir la lanterne à quelqu'un (peut-être que tu en es en fait incapable) je reconnais en toi l'habitude de parler dans le vent, toujours à coté du sujet. Je sais aussi que je ne peux rien y changer, continue de palabrer si tu t'occupes bien comme ça, mais en plus de ta lecture ce serait bien que tu apprennes à penser avec un esprit plus critique.
Je te cite, par exemple :
a) " [...] la liste que je suis en train d'écrire (et que je ne peux pas finir d'écrire)."
b) "Exhiber un $x$ et dire qu'il ne sera pas dans la liste ; c'est n'importe quoi sauf une preuve rigoureuse"
C'est la preuve que tu n'as pas compris du tout la preuve.
- Dans le "a)" par exemple, on n'est pas entrain d'écrire et on ne parle pas de "finir d'écrire".
Tu sais, je crois, ce qu'est une suite.Dis-moi à quel endroit il y a un problème dans le texte suivant.
L1 : soit $r_1$ un réel dans $[0;1[$, je note $t_1$ son écriture décimale où pour quel que soit l'entier naturel $k$, je note $t_{1_k}$ le $k$-ème chiffre dans son écriture décimale propre, derrière la virgule. Remarque : $t_{1_0}=0$ (c'est la partie entière du nombre, dans notre cas).
L2: soit $r_2$ un deuxième réel (disons, un autre) toujours dans $[0;1[$, je note $t_2$ son écriture décimale où pour quel que soit l'entier naturel $k$, je note $t_{2_k}$ le $k$-ème chiffre dans son écriture décimale propre, derrière la virgule.
Est-ce [que] déjà, là, tu vois un problème de rigueur ? par exemple dans la ligne "L1" de mon message ?
Ici, tu constates bien qu'il n'est pas question de "pouvoir écrire" ou "d'être entrain décrire".
- Dans le "b)" par exemple, tu utilises le futur.
Cela m'arrive parfois, c'est une manière de parler mais c'est abusif.Dans cette preuve, on propose un réel $x$ qui n'est pas dans la liste.
Ce n'est pas un nombre "qui n'y sera pas" mais un nombre "qui n'y est pas".
En maths il y a des démonstrations qu'on doit mettre dans le box des ''pas rigoureux'', cela expliquerait certainement certains paradoxes notés ça et là.
@gerard0 si ce je dis n'est pas des maths, c'est que les maths ont eu un problème à résoudre et ils sont passés dessus en donnant une réponse indigne des sciences exactes.
on dit que dans cette énumération sous réserve qu’elle existe tous les réels de $[0;1[$ y sont.
Alors comme ils y sont tous, si je démontre qu’un réel n’y est pas, on aura bien une contradiction.
Passons à la construction de ce $x$.
RAPPEL : normalement il est dans l’énumération puisque j’ai supposé que cette énumération contenait tous les réels. (L3).
Soit $k$ un entier non nul.
$t_{x_k}=3$ si $t_{k_k}\neq 3$
On a la partie entière qui vaut $0$ et ses chiffres derrière la virgule (de l’écriture décimale) ne contiennent que des $3$ ou des $4$ de sorte qu’il est bien strictement inférieur à $1$ (on a évité par exemple « le nombre $0,999…$ » qui est $1$).
"Cela donne bien l’écriture d’un réel $x$" mériterait une explication plus poussée (à partir d'une définition de $\mathbb R$, une règle L0 par exemple).
Je précise qu'en ce qui me concerne j'ai assimilé l'argument diagonal il y a 50 ans (quand j'ai commencé l'étude de ZF(C) et de la logique en général) et que j'admire votre patience, je n'interviens que pour éviter de futures objections.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
${t_{(k+1)}}_{k} = 3$ si ${t_{k}}_{k}\neq 3$
${t_{(k+1)}}_{k} = 4$ si ${t_{k}}_{k} = 3$.
je te promets de regarder ce que tu produits, après…
si tu n’as pas d’objection, alors il suffit de démontrer que mon $x$ ainsi construit n’est pas dans l’énumération. Et ça, tu sais le faire.
Ce qui me gène c'est qu'il ne se base pas seulement sur l'existence d'une énumération, mais plutôt sur sa donnée. En plus, cette énumération, on peut la donner d'une infinité de manières chacune contenant les mêmes nombres.
Mais le nombre qu'il exhibe en travaillant sur l'énumération $B_p$, rien ne prouve qu'il n'est pas dans l'énumération $B_q$.
Ou alors c'est pour L5 ?
La démonstration fonctionne quelle que soit l'énumération.
Quand a "l'existence" et "la donnée", là je ne comprends pas ce que tu racontes.
- Quand tu dis "cette énumération, on peut la donner d'une infinité de manières chacune contenant les mêmes nombres", houlala tu te trompes complètement.
On dit "il existe une énumération $e$", ça signifie qu'il en existe au moins une et d'ailleurs, dans ce cas, on peut démontrer qu'il en existe une infinité (il suffit de considérer les bijections de $\mathbb N$ dans lui-même).Ensuite quand on dit "Soit une énumération $e$", non, on ne peut plus la modifier (ça en serait une autre). C'est le B.A.BA là. Tu ne peux pas "la donner d'une infinité de manière", c'est un contresens plutôt grave. Tu en choisis une : donc tu as fixé le premier réel, le second, le troisième, etc.
Une remarque : à chaque énumération $e$, la construction fournit un réel $x_e$ qui n'est pas dedans. Ce $x_e$ dépend de l'énumération.
Je n'ai pas compris ta dernière phrase sauf si je viens d'y répondre, dans ce cas, oui c'est vrai. Le réel $x_e$ construit n'est peut-être pas le même que celui d'une autre énumération. Et tu as raison, le réel $x_e$ est bien présent dans d'autres énumérations.
Mais ce n'est pas contradictoire. Cela ne pose pas de problème.
Je résume : on a démontré que quelle que soit l'énumération des réels, il existe un réel qui n'est pas dans ladite énumération.
C'est une contradiction.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse