Deux relations métriques

yan2
yan2
Modifié (January 2022) dans Géométrie
Bonjour,
dans la figure ci-jointe, on souhaite montrer deux relations métriques :
$$\dfrac{KP}{PA}+\dfrac{KQ}{QB}=1\qquad\qquad\hbox{et}\qquad\qquad \dfrac{SK}{SM}+\dfrac{RK}{RM}=2.$$
Je suis arrivé à le faire grâce à une utilisation du théorème de Ménélaus. Avez-vous d'autres approches ?
Merci.

Réponses

  • Bouzar
    Bouzar
    Modifié (January 2022)
    Bonjour,
    On peut utiliser le théorème de Van Aubel.
    On l'utilise dans le triangle AKB.
    Soit $E$ le projeté orthogonale du point K sur la droite AB.
    On a : $\quad \dfrac{KF}{FE} = \dfrac{KP}{PA} + \dfrac{KQ}{QB}.$
    Il suffit alors de montrer que $KF=FE.$
    Cordialement.
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Modifié (January 2022)
    Bonsoir,
    c'est bien le théorème de Van Aubel qui est en point de mire...
    Aussi faut-il l'amener...sans calcul...
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • yan2
    yan2
    Merci messieurs !
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Bonjour,
    cette figure a attiré mon attention...pour une solution correspondant à l'idée de Bouzar, cette figure est la projection conique d'une figure mettant en jeu un triangle et de...F provenant du point de Gergonne et participant à un quaterne harmonique...

    Un autr epoint de vue :
    en utilisant une relation métrique dans un triangle rectangle, puis par deux fois le quadrilatère de Pappus, nous pouvons conclure...

    Finalement, la complexité de la rédaction, le théorème de Ménélaüs est vraiment efficace....

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • pldx1
    pldx1
    Modifié (January 2022)
    Comme d'habitude, on contemple la figure pour voir si ssassajoute ou si ssassesoustrait. Une autre méthode est d'interpréter ces relations comme:  $$\dfrac{\overrightarrow{KP}}{\overrightarrow{PA}}+\dfrac{\overrightarrow{KQ}}{\overrightarrow{QB}} -1=0\qquad\qquad\hbox{et}\qquad\qquad \dfrac{\overrightarrow{SK}}{\overrightarrow{SM}}+\dfrac{\overrightarrow{RK}}{\overrightarrow{RM}}+2=0$$
    L'objectif est-il d'apprendre à rigourer, ou d'apprendre à se gourer ?

    On fait alors quelques calculs et on trouve
    \[ \left\{ s={\frac { \left( p-r \right)  \left( p+q+r \right) }{ \left( p+r \right)  \left( p+q \right) }},t=\frac 1 2 \right\} ,
        \left\{ s={\frac { \left( p-r \right)  \left( p+q+r \right) }{ \left( p+r \right)  \left( p+q \right) }},t={\frac {p \left( p+2\,q+r \right) }{ \left( p+r \right)  \left( p+q \right) }} \right\} \]
    Bilan : si $M$ est au milieu ($t=1/2$), alors la condition (2) devient une condition sur $K$, équivalente à la condition (1).  Il reste à interpréter la deuxième valeur de $t$.
    Cordialement, Pierre.
  • c-math
    c-math
    Bonjour,

    je crois, mais je ne suis pas sûr, que j'ai une preuve qui "évite" l'utilisation des théorèmes de Van Aubel et de Ménélaüs. En se référant à la figure postée par Bouzar, on a : 
    $$
    \dfrac{KP}{PA}=\dfrac{FK}{AD}=\dfrac{KC}{DC}, \qquad\qquad \dfrac{KQ}{QB}=\dfrac{FK}{CB}=\dfrac{KD}{DC}.
    $$
    Par suite, $\dfrac{KP}{PA}+\dfrac{KQ}{QB}=\dfrac{KC+KD}{DC}=1$.

    Bonne journée.
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