Histoires de logarithmes [Lycée]
Bonjour à tous.
Il y a plusieurs façons de définir les logarithmes.
* comme étant des primitives des fonctions $x\in]0;{+\infty}[\mapsto \frac ax$, ce qui requiert un théorème d'existence de primitives de fonctions continues.
* comme étant des bijections réciproques de fonctions exponentielles, ce qui requiert de construire ces fonctions exponentielles.
Ce qui suit propose une troisième possibilité, détaillée sous forme de problème.
Tout d'abord, j'appellerai logarithme tout procédé permettant de remplacer un calcul de produit par une addition.
Les tables de quarts de carrés fournissent un logarithme.
Il est aussi possible de bricoler un logarithme à l'aide d'une table trigonométrique.
Prérequis.
Principe de récurrence.
Théorème : Toute suite croissante et majorée de réels est convergente.
Continuité et dérivabilité des fonctions numériques d'une variable réelle.
Tabous : fonctions logarithmes et exponentielles.
Objet d'étude. Soit \( x \in \R_+^* \). On considère les suites \( (u_n)_n \) et \( (v_n)_n \) définies par \[ u_0 = x, \quad \forall n\in \N, \quad u_{n+1} := \sqrt{u_n\vphantom{d}}, \quad v_n := 2^n(u_n - 1). \] On note \( \ell(x) \) la limite de \( (v_n)_n \) lorsqu'elle existe.
Bien entendu, en enfreignant un tabou, il n'est pas difficile de déterminer la limite \( \ell(x) \).
On commence en douceur par une question facile.
Q1 : Soit \( x \in \R_+^* \). Démontrer que \( \lim\limits_{n\to\infty} u_n = 1 \).
Il y a plusieurs façons de définir les logarithmes.
* comme étant des primitives des fonctions $x\in]0;{+\infty}[\mapsto \frac ax$, ce qui requiert un théorème d'existence de primitives de fonctions continues.
* comme étant des bijections réciproques de fonctions exponentielles, ce qui requiert de construire ces fonctions exponentielles.
Ce qui suit propose une troisième possibilité, détaillée sous forme de problème.
Tout d'abord, j'appellerai logarithme tout procédé permettant de remplacer un calcul de produit par une addition.
Les tables de quarts de carrés fournissent un logarithme.
Il est aussi possible de bricoler un logarithme à l'aide d'une table trigonométrique.
Prérequis.
Principe de récurrence.
Théorème : Toute suite croissante et majorée de réels est convergente.
Continuité et dérivabilité des fonctions numériques d'une variable réelle.
Tabous : fonctions logarithmes et exponentielles.
Objet d'étude. Soit \( x \in \R_+^* \). On considère les suites \( (u_n)_n \) et \( (v_n)_n \) définies par \[ u_0 = x, \quad \forall n\in \N, \quad u_{n+1} := \sqrt{u_n\vphantom{d}}, \quad v_n := 2^n(u_n - 1). \] On note \( \ell(x) \) la limite de \( (v_n)_n \) lorsqu'elle existe.
Bien entendu, en enfreignant un tabou, il n'est pas difficile de déterminer la limite \( \ell(x) \).
On commence en douceur par une question facile.
Q1 : Soit \( x \in \R_+^* \). Démontrer que \( \lim\limits_{n\to\infty} u_n = 1 \).
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Je ne pense pas. Briggs calculait des logarithmes décimaux.
Briggs n'utilisait pas cet algorithme pour des raisons évidentes. J'y reviendrai si le fil réussit à avancer. Ce dont je commence à douter.
Ton lien est une preuve supplémentaire, s'il en fallait, qu'il est dangereux de confier des recherches historiques à des enseignants de mathématiques ou de didactique. Cela dit, il est possible que l'appellation " algorithme dit de Briggs" soit consacrée à son corps défendant.
Je ne suis pas historien, j'évite comme la peste les affirmations historiques. Pour autant il ne faut pas me raconter n'importe quoi.
Sinon pourquoi "John Neper" et pas "John Napier" ? Encore un mystère.
Bonne soirée,
Paco.
Q1. Soit \( x \in \R_+^* \). Démontrer que \( \lim\limits_{n\to\infty} u_n = 1 \).
R1. Si \( x \geqslant 1 \) alors la suite \( (u_n)_n \) est décroissante. Comme elle est minorée par \( 1 \), elle converge vers une limite \( L \) qui vérifie \( L = \sqrt L \). Comme \( L \geqslant 1 \) on a \( L = 1 \). Si \( x \in\, ]0,1[ \) alors la suite \( (u_n)_n \) est croissante. Comme elle est majorée par \( 1 \), elle converge vers une limite \( L \) qui vérifie \( L = \sqrt L \). Comme \( L \geqslant x > 0 \) on a \( L = 1 \).
Q2. Soit \( x \in \R_+^* \). Démontrer que la suite \( (v_n)_n \) est décroissante.
C'est très habile ! Il reste quelques trous à combler. Par exemple démontrer qu'on obtient bien un logarithme. Rien de difficile toutefois.
Comme je n'ai pas ta virtuosité en calcul, je continue mon problème.
R 2 : Soit \( n \in \N \). On a \begin{align*} v_{n+1} - v_n &= 2^{n+1}(\sqrt{u_n} - 1) - 2^n(u_n - 1)\\ &= 2^n \left( 2\sqrt{u_n} - 2 - u_n + 1 \right)\\ &= -2^n \left( u_n - 2\sqrt{u_n} + 1 \right)\\ &= -2^n \left( \sqrt{u_n} - 1 \right)^2 \leqslant 0, \end{align*} ce qui permet de conclure.
Q 3 : Soit \( x \geqslant 1 \). Démontrer que \( \ell(x) \) existe et que \( \ell(x) \geqslant 0 \).
Q 4 : Soit \( x \in ]0,1[ \). Démontrer que \( \ell(x) \) existe et que \( \ell(x) = - \ell\left(\frac1x\right) \).
R4 : Soit \( x \in ]0,1[ \). On définit \( u^\prime_0 = \dfrac1x \) et \( \forall n \in \N \), \( u^\prime_{n+1} = \sqrt{u^\prime_n} \). Une récurrence sans malice montre que \( \forall n \in \N \), \( u^\prime_{n+1} = \dfrac{1}{u_n} \). Comme \( \dfrac1x \geqslant 1 \), \( \ell\left(\frac1x\right) \) existe d'après la question Q3. De plus \[ \forall n\in \N, \, v_n = 2^n(u_n - 1) = -2^n\left(\dfrac{1}{u_n} - 1\right)\times u_n = -2^n(u^\prime_n - 1)\times u_n. \] Or on a \( \lim\limits_{n\to\infty} u_n = 1 \) d'après la question Q1 et \( \lim\limits_{n\to\infty} 2^n(u^\prime_n - 1) = \ell\left(\frac1x\right) \) ce qui permet de conclure.
On pose pour tout \( t > 0 \), \( u_0(t) = t \) et \( \forall n\in \N, \, u_{n+1}(t) = \sqrt{u_n(t)} \).
Q5 : Démontrer que \( \forall (x,y)\in (\R_+^*)^2, \; \ell(xy) = \ell(x) + \ell(y) \).
Q6 : Démontrer que \( \forall (x,y)\in ([1~,~{+\infty}[)^2, \; \vert \ell(x) - \ell(y) \vert \leqslant \vert x - y \vert \). En déduire que la fonction \( \ell \colon x\in \R_+^* \longmapsto \ell(x) \) est continue sur \( \R_+^* \).
Q7 : Démontrer que \( \forall x > 0, \; \forall n \in \N, \; u_n^\prime(x) = \dfrac{1}{2^n}\, \dfrac{u_n(x)}{x} \). En déduire que la fonction \( \ell \) est dérivable sur \( \R_+^* \) et calculer sa dérivée.
(On pourra penser au théorème des accroissements finis). Le théorème des accroissements finis n'est pas au programme des lycées, du moins des lycées français. C'est un point de plus pour la solution d'Audéo. Il va donc falloir bricoler.
Briggs semble avoir utilisé plusieurs techniques. Ceci peut expliquer les confusions.