DL et dérivabilité

Kerphi · January 2022

Bonsoir,

Je suis tombé sur l'énoncé ci-dessous, donné à des étudiants de L1.

Je n'arrive pas bien à comprendre l'articulation des questions 3) et 4). Il m'étonne de devoir déduire la dérivabilité à partir d'un DL... Ne faut-il pas déjà savoir que la fonction $\hat{f}$ est au moins deux fois dérivable en un point pour parler de DL à l'ordre 2 en ce point ?

Merci d'avance de m'éclairer là-dessus !

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/6m/489cxyuezclv.jpeg

gebrane · January 2022

Pour ta remarque, Il m'étonne de devoir déduire la dérivabilité à partir d'un DL.

pour f continue en a, on a f est dérivable en a $\iff$ f admet un dl à l "ordre 1 en a

Non ?

Poirot · January 2022

Tu peux donner le DL par calcul, et non pas en invoquant Taylor-Young, qui nécessiterait effectivement de vérifier la double dérivabilité. Il suffit de développer le logarithme puis le $\cos$. Ensuite l'existence d'un DL d'ordre $2$ implique en particulier la dérivabilité.

gebrane · January 2022

@Poirot Ce que j'ai dit est une bêtise ?

Kerphi · January 2022

Merci pour vos réponses ! Effectivement, je pensais trop à Taylor-Young, et j'avais oublié que l'on pouvait aller dans l'autre sens.

@gebrane Je crois que si $a$ est un point de dans le domaine de définition de $f$, un DL d'ordre $0$ en $a$ équivaut à la continuité en $a$, et donc un DL d'ordre 1 équivaut à la dérivabilité, sans devoir supposer auparavant la continuité. Si $f$ n'est pas définie en $a$, alors on considère son prolongement par continuité en ce point (qui existe dès lors qu'on a un DL d'ordre $0$ si je ne m'abuse).

Poirot · January 2022

Ce que tu as dit est correct mais ne répondais pas au questionnement de Kerphi.

Au passage, l'existence d'un DL d'ordre $2$ n'implique pas la dérivabilité deux fois, donc la question "Ne faut-il pas déjà savoir que la fonction $\hat f$ est au moins deux fois dérivable en un point pour parler de DL à l'ordre 2 en ce point ?" admet une réponse négative.

gebrane · January 2022

Poirot dit "Ce que tu as dit est correct mais ne répondais pas au questionnement de Kerphi". J'ai répondu seulement à son étonnement. Il m'étonne de devoir déduire la dérivabilité à partir d'un DL.

DL et dérivabilité

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 32