Une construction du triangle équilatéral
Bonjour,
J'ai cassé mon compas en voulant construire un triangle équilatéral, je n'ai pu tracer qu'un arc de cercle.
Heureusement que j'avais ma règle !
J'ai cassé mon compas en voulant construire un triangle équilatéral, je n'ai pu tracer qu'un arc de cercle.
Heureusement que j'avais ma règle !
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Réponses
Je n'ai pas trouvé d'autres constructions sur le net, il faut dire que c'est quand même un peu spécial de chercher ces constructions, car leur existence est surtout un résultat théorique. Sait-on par exemple combien de droites au minimum faut-il pour le carré (je dirais $9$) ? Le triangle équilatéral ? Le pentagone régulier ?
Amicalement,
Ludwig
Je n'ai pu qu'admirer tes belles figures car je n'ai rien compris à ce que tu as fait et je ne dois pas être le seul!
Peux-tu nous dire quelles sont exactement les données de départ et à défaut de rentrer dans tous les détails, nous donner au moins les grandes étapes de ta construction!
Amicalement
pappus
Je commence par le carré, qui m'a ensuite permis d'obtenir le triangle équilatéral.
$D$ est sur le cercle de centre $A$ et de diamètre $BC$ (n'importe où, mais pas en $B$ ni en $C$).
$E$ est sur $CD$, distinct de $C$ et de $D$. $AE$ coupe $BD$ en $F$, $BE$ coupe $CF$ en $G$.
$DG$ est parallèle à $BC$ car $A$ est le milieu de $BC$.
$CD$ coupe $BH$ en $I$ et on a $AI$ perpendiculaire à $BC$ : les diagonales d'un carré sont obtenues avec $9$ droites.
Pour obtenir le triangle équilatéral je vais construire la médiatrice de $AJ$.
$CD$ coupe $BJ$ en $L$ et $BK$ en $M$.
$AB$ coupe $MJ$ en $N$, $CJ$ coupe $NL$ en $O$ et $BO$ coupe $AJ$ en $P$.
$CP$ coupe $BJ$ en $Q$ et $OQ$ est la droite recherchée.
Je te laisse la démonstration en exercice.
En ce qui concerne ma question postée hier, je précise : on pourra bien sûr faire des démonstrations en utilisant les coordonnées, barycentriques ou cartésiennes. Se passer des théorèmes déjà connus revient donc je crois à se passer de la construction d'une parallèle, d'une perpendiculaire ou d'un milieu. Et il s'agit-là d'une contrainte, pas le droit de les utiliser sinon il serait alors possible de "raccrocher" la construction aux propriétés classiques. Il ne faut pas non plus que par exemple un milieu surgisse, involontairement, dans la construction. On trace des droites, on prend des intersections, on trace d'autres droites.. et paf ! On a le triangle équilatéral.
La question est donc : peut-on construire l'image d'un point du cercle par la rotation d'angle $120°$ autour du centre, en respectant ces contraintes ? Je crois que non.
Amicalement,
Ludwig
Maintenant on peut discuter!
Tu n'as toujours pas dit clairement quelles étaient les données!
A part cela, ce que tu fais n'a rien d'étonnant en vertu du théorème de Poncelet-Steiner (1833) que tu as cité mais dont je rappelle l'énoncé:
Tout point constructible à la règle et au compas peut être construit à l'aide de la règle seule à condition que soit tracé dans le plan un cercle avec son centre.
Amicalement
pappus
Quant au problème avec contraintes je le précise encore en le simplifiant : construire un triangle équilatéral avec la règle non graduée seule, à partir d'un cercle donné sans son centre. Car se donner le centre c'est se donner des milieux.. Et construire ce triangle sans le centre du cercle ne contredit pas le fait qu'on ne peut pas construire ce centre à la règle seule.
David Hilbert (1862-1943) lui-même, excusez du peu, s'est intéressé à ce problème.
Il reprit le problème de Poncelet lorsque le cercle est donné sans son centre et il montra que l'on obtenait pas ainsi tous les points constructibles à la règle et au compas.
Amicalement
pappus
Amicalement,
Ludwig
Essaye déjà de construire le centre du cercle donné avec la règle seule.
Ce serait pas mal pour commencer!
Amicalement
pappus
Je n'en sais rien!
Je n'ai pas lu cet article de Hilbert.
Mais avoue qu'avoir pour but d'exhiber cet ensemble de points non constructibles de Hilbert est quand même plus palpitant que de construire des polygones réguliers!
Amicalement
pappus
Par contre j'ai déniché un article concernant la démonstration de Hilbert sur l'impossibilité de construire le centre d'un cercle avec la règle, où l'on peut lire qu'il y aurait une erreur dans sa preuve.
Bon après-midi,
Ludwig