Intégrale nulle hivernale
Bonjour
Je cherche à démontrer que $\ \displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx=0\ $ en utilisant les séries comme dans l'intégrale de FDP. C'est-à-dire se ramener à deux séries convergentes opposées (sans calculer leurs sommes)
Le 😄 Farceur
Réponses
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$0<\sin x<1$ pour $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ donc on peut développer $\ln(1-\sin x)$ en fonction de "$\sin x$". Le $\sin x$ au dénominateur ne va pas être une gêne. Le problème est qu'il va falloir calculer des intégrales du type $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin^n x dx$ ou bien, ce qui serait magique, est qu'il faudrait montrer que le terme général d'une des séries obtenue est égal au terme général de l'autre série (l'intégrale initiale est une différence évidente de deux intégrales).
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Qu'est-ce que ça donne de faire une IPP dans l'intégrale de Wallis en intégrant $1$ et en dérivant le reste ?
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Si on a de la chance, on n'a peut-être pas besoin de calculer réellement ces intégrales.PS:Je parlais de ces intégrales: $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin^n x dx$
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On peut calculer séparément les deux intégrales $\ \displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}x\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx$et $\ \displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx$, mais ce n'est pas le but
Le 😄 Farceur -
@Gebrane: Dans l'autre fil, sauf erreur, on a réussi à démontrer que deux intégrales étaient égales car on a pu trouver pour chacune un développement en série avec le même terme général. Cela se trouve, dans le cas d'espèce, on peut faire la même chose si on a un peu de chance.
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C'est exactement ce que je cherche aussi
Le 😄 Farceur -
\begin{align}\displaystyle\frac{\pi}{3} \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx&=-\frac{\pi}{3}\int_0^\frac{\pi}{2} \left(\sum_{n=1}^\infty \sin^{n-1} t\right)dt\\ &=-\sum_{n=1}^\infty\left( \frac{\pi}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1} t dt \right)\\ \displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{x\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx&=-\sum_{n=1}^\infty\left( \int_0^\frac{\pi}{2}t\sin^{n-1} t dt \right)\\ \end{align} On n'a pas égalité des termes généraux $\displaystyle A_n=\frac{\pi}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1} t dt$ et $\displaystyle B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}t\sin^{n-1} t dt$ (par exemple pour $n=1$)
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Bonjour!
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