Intégrale nulle hivernale

gebrane · January 2022

Bonjour

Je cherche à démontrer que $\ \displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx=0\ $ en utilisant les séries comme dans l'intégrale de FDP. C'est-à-dire se ramener à deux séries convergentes opposées (sans calculer leurs sommes)

Fin de partie · January 2022

$0<\sin x<1$ pour $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ donc on peut développer $\ln(1-\sin x)$ en fonction de "$\sin x$". Le $\sin x$ au dénominateur ne va pas être une gêne. Le problème est qu'il va falloir calculer des intégrales du type $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin^n x dx$ ou bien, ce qui serait magique, est qu'il faudrait montrer que le terme général d'une des séries obtenue est égal au terme général de l'autre série (l'intégrale initiale est une différence évidente de deux intégrales).

Math Coss · January 2022

Qu'est-ce que ça donne de faire une IPP dans l'intégrale de Wallis en intégrant $1$ et en dérivant le reste ?

Fin de partie · January 2022

Si on a de la chance, on n'a peut-être pas besoin de calculer réellement ces intégrales.

PS:

Je parlais de ces intégrales: $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin^n x dx$

gebrane · January 2022

On peut calculer séparément les deux intégrales $\ \displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}x\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx$

et $\ \displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx$, mais ce n'est pas le but

Fin de partie · January 2022

@Gebrane: Dans l'autre fil, sauf erreur, on a réussi à démontrer que deux intégrales étaient égales car on a pu trouver pour chacune un développement en série avec le même terme général. Cela se trouve, dans le cas d'espèce, on peut faire la même chose si on a un peu de chance.

gebrane · January 2022

C'est exactement ce que je cherche aussi

Fin de partie · January 2022

\begin{align}\displaystyle\frac{\pi}{3} \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx&=-\frac{\pi}{3}\int_0^\frac{\pi}{2} \left(\sum_{n=1}^\infty \sin^{n-1} t\right)dt\\ &=-\sum_{n=1}^\infty\left( \frac{\pi}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1} t dt \right)\\ \displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{x\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx&=-\sum_{n=1}^\infty\left( \int_0^\frac{\pi}{2}t\sin^{n-1} t dt \right)\\ \end{align} On n'a pas égalité des termes généraux $\displaystyle A_n=\frac{\pi}{3}\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-1} t dt$ et $\displaystyle B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}t\sin^{n-1} t dt$ (par exemple pour $n=1$)

Intégrale nulle hivernale

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