Théorème de Cantor - Bernstein

PierreCap
PierreCap
Modifié (January 2022) dans Fondements et Logique
Bonjour à tous.
Je pense que ce sujet revient régulièrement, je n'ai pas vraiment de question à poser, j'ouvre ce fil juste pour dire que j'ai trouvé une autre démonstration. C'est une variante de la démonstration classique, qui me paraît plus facile à comprendre car plus intuitive. J'aimerais bien avoir votre avis, et aussi être sûr que je n'ai pas fait d'erreur dans la démonstration. Merci d'avance à celui ou celle qui aura le courage de la lire.
Bonne journée, Pierre
Théorème de Cantor - Bernstein

Réponses

  • Heuristique
    Heuristique
    Oui ta preuve est assez classique, c'est la première que j'avais vu personnellement.
    J'ai juste remarqué une petite typo dans la preuve de $X \neq A$ page 1. La conclusion de la preuve est $X \neq A$ et non $E \neq A$.
    Je préfère la preuve par Tarski personnellement. Elle est peut-être moins constructiviste mais a le mérite de la concision : question d'affinités !
  • Renart
    Renart
    Modifié (January 2022)
    Sur la page wikipédia du théorème on trouve 3 démonstrations. Je crois que PierreCap adapte la première et que celle de Tarski préférée par heuristique est la deuxième. Personnellement c'est la troisième qui a ma préférence, et de loin. Je me souviens avoir été assez émerveillé par la simplicité et la beauté de l'argument la première fois que je l'ai lue.
    Tous les goûts sont dans la nature parait-il !
  • PierreCap
    PierreCap
    Modifié (January 2022)
    Heuristique a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2337051/#Comment_2337051
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Merci Heuristique pour ta relecture et pour avoir noté cette coquille.  Je ne connais pas la preuve de Tarski, je vais essayer de la regarder. Si je suis au niveau ;o)
  • PierreCap
    PierreCap
    Modifié (January 2022)
    Renart a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2337194/#Comment_2337194
    Merci Renart pour ton commentaire. Je vais essayer de la comprendre, elle paraît être assez constructive. Bonne journée à tous les deux.
    Pierrre
  • Heuristique
    Heuristique
    Merci Renart pour ta preuve, je ne la connaissais pas et je la trouve très sympa !
  • Renart
    Renart
    Modifié (January 2022)
    PierreCap : En effet, on peut parfois l'utiliser directement pour construire des bijections si l'on est en manque d'inspiration.
    Exercice illustratif : si l'on se donne $f  : [0;1[ \to  [0;1]$ l'injection qu'est l'identité et $g : [0;1] \to [0;1[ $ définie par $g : x \mapsto x/2$ déterminer une bijection à l'aide de la démonstration 3 du théorème de Cantor-Bernstein.
  • raoul.S
    raoul.S
    Je ne la connaissais pas la démonstration 3 de Cantor-Bernstein. C'est peut-être la plus simple à retenir.
  • PierreCap
    PierreCap
    Modifié (January 2022)
    Je n'ai pas encore regardé la démonstration dont tu m'as parlé (celle de Julius König selon Wikipédia). Je vais le faire, j'attends juste d'avoir assez de temps à y consacrer car ça risque de pas être facile pour moi. Mais j'ai fait ton exercice en utilisant ma démonstration du lemme, que je connais mieux forcément ;o) Si j'ai bien compris, il faut fabriquer une bijection $h : [ \![ 0 ; 1] \!] \rightarrow [ \![ 0 ; 1[ \![$ utilisant l'injection $g : x \mapsto x/2$ et l'application identité. Voilà ce que j'ai trouvé :
        posons  $ X = \{ \frac{1}{2^n} | n \in \N \}$
        pour   $x \in X$   on fait   $h(x) = g(x)$
        pour   $x \in [ \![ 0 ; 1] \!] \setminus X $   on fait   $ h(x) = x$
        




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