Joyeux Noël
Salut à tous
On est le 25 décembre, et je crois qu'il n'y a pas eu de message de joyeux Noël.
Avec le nouveau forum, des habitudes et des habitués se perdent...
Joyeux-Noël, portez-vous bien, dans vos corps et dans vos âmes.
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Réponses
Joyeux Noël à vous.
Joyeux Noël à tous également, et vive(nt) les Mathématiques !!
Cordialement,
Rescassol
Joyeux Noël pour tous et toutes.
Manu.
Convergence et somme pour $n\in\N^*$ de:
$$\sum_{k\geq 1} \dfrac{k \text{ mod } n}{k(k+1)}$$
S(n)&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\mod2^{2}}{k(k+1)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)(4k+2)}+\frac{2}{(4k+2)(4k+3)}+\frac{3}{(4k+3)(4k+4)}\\
&=\frac{1}{4}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1/4}-\frac{1}{k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+2/4}-\frac{1}{k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+3/4}-\frac{1}{k+1}\right)
\end{align*}
S(n)&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\mod n}{k(k+1)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(nk+1)(nk+2)}+\frac{2}{(nk+2)(nk+3)}+\cdots+\frac{n-1}{(nk+n-1)(nk+n)}\\
&=-\frac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+1/n}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2/n}+\cdots+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+(n-1)/n}\right)
\end{align*}
- pour la convergence c'est facile à cause de la majoration $\frac{k \mod n }{k(k=1)}\leq \frac{n}{k(k+1)}$.
- pour le calcul de la somme:
\begin{align*}
S(n)
&=\sum_{i=0}^{+\infty} \sum_{l=1}^{n-1} \dfrac{l}{(in+l)(in+l+1)}\\
&=\sum_{i=0}^{+\infty} \sum_{l=1}^{n-1} l \left(\dfrac{1}{in+l} - \dfrac{1}{in+l+1} \right)\\
&= \sum_{l=1}^{n-1} l \sum_{i=0}^{+\infty} \int_0^1 \left( x^{in+l-1} - x^{in+l} \right) dx\\
&= \sum_{l=1}^{n-1} l \int_0^1 \left( \dfrac{x^{l-1}}{1-x^n} - \dfrac{x^{l}}{1-x^n} \right)\\
&= \sum_{l=1}^{n-1} \int_0^1 \dfrac{1-x}{1-x^n} l x^{l-1} dx\\
&=\int_0^1 \dfrac{\sum_{l=0}^{n-1} lx^{l-1}}{\sum_{l=0}^{n-1} x^l}\\
&=\left[ \ln( \sum_{l=0}^{n-1} x^l )\right]_0^1\\
&=\ln n.
\end{align*}
La permutation somme et intégrale se justifie en utilisant que l'intégrale du reste d'ordre n de la série tend vers 0 quand n tend vers $+\infty$.
c’est la nuit de Noël: un peu de tenue SVP !
joyeux Noël à tous également.
Cordialement,
Mister Da
Je vous souhaite à tous, d'excellentes fêtes de fin d'année, profitez bien
Voici mon cadeau ( vu sur Linkedin, apparemment c'était dans un restaurant ) :
Concernant l'intégrale de Flora, les deux interprétations que j'ai calculées conduisent à des valeurs non nulles et différentes, il y avait d'ailleurs fort à parier que ce soit le cas.
J'ai par contre sorti le dx de la racine.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
C'est effectivement la bonne interprétation, mais je suis quand même en train d'analyser ma fausse interprétation, qui me semble intéressante au demeurant.
Au passage, pour l'une comme pour l'autre, Wolfram Alpha jette l'éponge après avoir donné bravement 5 malheureuses décimales, ce qui ne permet pas de profiter du wifi gratuit si l'on s'en tient uniquement à cela, au moins pour la bonne interprétation il est facile de rechercher les décimales suivantes, pour l'autre c'est malheureusement bien plus dur.
À bientôt.
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Que les années suivantes soient plus radieuses que les tristes précédentes pour vous toutes et tous (je me permets un optimiste surréaliste pour faire plaisir aux quelques fans de science fiction), que mes quelques passages sur le forum soient pour moi toujours aussi riches en découvertes, et que le rapport du jury nous dise que les candidats ont en grande majorité réussi leur année 2022 !
Et sinon yes Dreamer, il faut les 10 digits sinon pas de wifi gratuite mais votre réflexion est intéressante ;-)
( PS: désolée pour la réponse tardive, je suis sous l'eau en ce moment, j'ai commencé mon 2ème stage de césure dans le luxe et c'est chaque jour la course du matin au soir...Mais j'adore ce que je fais !)
Aller il est l'heure d'aller dodo,
Très belle soirée à tous,
F.