Un tour en orbite autour de l'arbre de Collatz

Ceci est plus de l’ordre de l’expérience de pensée que de la démonstration, mais c’est en tous cas ce qui me motive pour essayer de construire un arbre de Collatz sans recours à l’algorithme, cad une pure structure hiérarchique qui s’auto-construit en se basant sur des règles. Ceci doit conduire au fait que cette structure soit la seule possible quand on l’applique aux entiers. Comme ce travail est long, autant être persuadé à l’avance qu’un seul arbre contient bien tous les entiers. Voici donc mon raisonnement :

Appelons ‘’impair commun’’, tout impair qui se trouve dans l’arbre de Collatz : plus précisément c’est un impair qui apparaitra nécessairement dans l’arbre au bout de n orbites. On peut aussi dire que pour tout impair commun, il existe toujours une combinaison d’embranchements qui lui donne sa place dans l’arbre. La croissance de l’arbre étant enfin infinie, il existe donc une infinité d’impairs communs.

Mais cette infinité est-elle la totalité, ou tous les impairs sont-ils bien des impairs communs ? Comme on ne le sait pas, on suppose donc l’existence potentielle d’un ''impair exotique'' qui ne serait pas dans l’arbre. Ce qui est important, ce n’est pas de prouver qu’il existe, mais de voir ce qu’il se passerait s’il existait.

On va donc procéder par élimination de scénarios. Le plus simple pour commencer concerne un impair exotique à l’origine d’une suite infiniment divergente, une suite interminable ne revenant jamais à 1. De quoi est-elle composée ? D’autres impairs. Sont-ils communs ou exotiques ? Ils sont tous forcément exotiques s’ils font partie de cette suite qui jamais n’aboutit. Il y a donc une infinité d’impairs exotiques dès lors qu’on en a trouvé un seul. Pire encore : qu’il y avait-il avant ce premier impair exotique ? Un impair commun ou un impair exotique ? Cet impair exotique, si s’en est un, a des prédécesseurs, et il faut admettre que dans ce sens-là ils devraient aussi tous être exotiques. Car comment penser qu’il puisse y avoir à un moment donné un i commun qui devienne par l’opération i*2^n-1/3 un i exotique. On est dans l’arbre et hop on y est plus… Dans cette optique, il existerait une infinité d’impairs exotiques, coexistante avec l’infinité des impairs communs, mais sans aucun pont entre elles. Un monde parallèle en somme. A éliminer (à mon niveau du moins).

Plus retorse est l’existence supposée de cycles non triviaux. En d’autres termes, il y aurait d’autres 1 et les impairs seraient organisés en une infinité d’arbres ayant chacun sa propre souche exotique (<>1). C’est bien gentil mais encore une fois d’où vient l’impair exotique qui aboutit à une souche exotique ? Quel est le prédécesseur de cet olibrius ?  Un impair commun ou un impair exotique ? Il est impossible qu’une chaine d’impairs communs en direction de 1 saute sur une nouvelle chaine en direction d’une souche exotique, car dans ce cas, ces impairs communs seraient tous des impairs exotiques.

Il n’y a jamais de pont possible entre impair commun et impair exotique. C’est une logique de contamination. Imaginons un monde infini entièrement blanc. Un contaminant rouge arrive et commence à le transformer. Sa propagation virale progresse de plus en plus vite sans que jamais rien ne puisse l’arrêter. Le monde infini blanc va devenir rouge tout infini qu’il soit. Au mieux, les nouvelles particules naitront blanches si c’est la propriété de ce monde pour instantanément devenir rouges sous l’effet du contaminant. Mais ce n’est pas une coexistence rouge-blanc car il n’y a de fait plus de monde blanc.

Donc l’existence de cycles non triviaux impliquant la coexistence des impairs communs et exotiques ne peut être avérée du fait que l’existence d’impairs exotiques contaminerait immanquablement les impairs communs. Ce n’est pas l’existence des impairs exotiques qui est impossible, c’est leur coexistence avec les impairs communs.

Or nous ne voyons que des impairs communs, n’est-ce pas ?

sur ce lien, on peut lire en conclusion :

http://images.math.cnrs.fr/Le-probleme-3n-1-y-a-t-il-des-cycles-non-triviaux-III#:~:text=La%20trajectoire%20de%20n%20est,3%2C%20appel%C3%A9%20le%20cycle%20trivial.

"On a montré que tout hypothétique cycle de Collatz non trivial C dans les entiers positifs doit contenir au moins 17 milliards d’éléments, s’il existe. Cela ne répond pas, hélas, à la question du titre de cet article. Mais c’est déjà ça, en attendant mieux.

Et un léger mieux viendra peut-être bientôt. En effet, cette borne de 17 milliards repose sur la vérification actuelle du problème 3n+1 jusqu’à 5×10^18. Lorsque la vérification future du problème atteindra 2,17×10^20, dans quelques années sans doute, alors notre borne inférieure sur les longueurs de cycles sautera de 17 milliards à ... 186 milliards, d’un seul coup  ! À part une bonne calculette, tous les ingrédients théoriques et numériques nécessaires pour s’en convaincre se trouvent dans cet article. Qui est partant pour le vérifier ?"