Localisation

Indications:

1°) Etant donné un idéal maximal $m$, montrer que si $I_m\subseteq J_m$ alors pour tout $x\in I$, il existe $y\in  A\setminus m$ tel que $xy\in J$.

2°) On se place sous les hypothèses de l'énoncé. Soit $x\in I$. Pour tout idéal maximal $m$ de $A$ on  considère $y_m\in A\setminus m$ tel que $xy_m\in J$. Montrer que l'idéal engendré par la famille des $m\mapsto y_m$ est égal à $A$ et conclure.