Une construction du triangle équilatéral

Je continue de narrer mes constructions où fourmillent des points alignés. Construire à la règle non graduée un carré à partir d'un seul cercle n'est pas très compliqué, on peut alors se servir de cette construction pour obtenir le triangle équilatéral. Ce qui fait $17$ droites au lieu de $22$, en plus on a le carré avec !

Je n'ai pas trouvé d'autres constructions sur le net, il faut dire que c'est quand même un peu spécial de chercher ces constructions, car leur existence est surtout un résultat théorique. Sait-on par exemple combien de droites au minimum faut-il pour le carré (je dirais $9$) ? Le triangle équilatéral ? Le pentagone régulier ?

Amicalement, 
Ludwig

Je poursuis : $AI$ coupe le cercle en $J$ et $K$.
Pour obtenir le triangle équilatéral je vais construire la médiatrice de $AJ$.
$CD$ coupe $BJ$ en $L$ et $BK$ en $M$.
$AB$ coupe $MJ$ en $N$, $CJ$ coupe $NL$ en $O$ et $BO$ coupe $AJ$ en $P$.
$CP$ coupe $BJ$ en $Q$ et $OQ$ est la droite recherchée.
Je te laisse la démonstration en exercice.




En ce qui concerne ma question postée hier, je précise : on pourra bien sûr faire des démonstrations en utilisant les coordonnées, barycentriques ou cartésiennes. Se passer des théorèmes déjà connus revient donc je crois à se passer de la construction d'une parallèle, d'une perpendiculaire ou d'un milieu. Et il s'agit-là d'une contrainte, pas le droit de les utiliser sinon il serait alors possible de "raccrocher" la construction aux propriétés classiques. Il ne faut pas non plus que par exemple un milieu surgisse, involontairement, dans la construction. On trace des droites, on prend des intersections, on trace d'autres droites.. et paf ! On a le triangle équilatéral.
La question est donc : peut-on construire l'image d'un point du cercle par la rotation d'angle $120°$ autour du centre, en respectant ces contraintes ? Je crois que non.

Amicalement,
Ludwig

Ben si j'avais dit quelles étaient les données dans mon premier message : j'ai cassé mon compas et je n'ai pu tracer qu'un arc de cercle. Donc on a un arc de cercle avec son centre et il faut tracer un triangle équilatéral avec la règle non graduée. Disons plutôt un cercle en entier pour simplifier, il est d'ailleurs nécessaire pour ma dernière figure. Mais on peut je pense trouver une solution avec juste un arc, aussi petit soit-il.

Quant au problème avec contraintes je le précise encore en le simplifiant : construire un triangle équilatéral avec la règle non graduée seule, à partir d'un cercle donné sans son centre. Car se donner le centre c'est se donner des milieux.. Et construire ce triangle sans le centre du cercle ne contredit pas le fait qu'on ne peut pas construire ce centre à la règle seule.

Et quel est l'ensemble des points constructibles à la règle non graduée lorsqu'un cercle est donné sans son centre ? L'image d'un point du cercle par la rotation de $120°$ autour du centre en fait-il partie ? La réponse est non n'est-ce pas ?
Amicalement,
Ludwig

À l'impossible nul n'est tenu. Mais cet impossible-là n'implique pas forcément celui de la construction d'un triangle équilatéral. Si ?

Les deux sont intéressants, je m'amuse bien à chercher ces constructions de polygones (j'ai d'ailleurs encore amélioré ma construction du pentagone régulier - $31$ droites contre $35$    ), et je suis aussi curieux de savoir quel est cet ensemble de points. J'ai regardé dans Théorie des corps de Carrega, et aussi dans Geometric Constructions de George E. Martin, mais je n'y ai rien trouvé. Bizarre. 
Par contre j'ai déniché un article concernant la démonstration de Hilbert sur l'impossibilité de construire le centre d'un cercle avec la règle, où l'on peut lire qu'il y aurait une erreur dans sa preuve.
Bon après-midi,
Ludwig