Convergence simple
Bonjour,
soit une distribution $T$ définie par
$$\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R), \ \langle T,\varphi \rangle=\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{n}{1+n^2 x^2} \ \varphi(x) \ dx.$$
La question est d'étudier la convergence de $T$ dans $\mathcal{D}'(\R)$. Pour ca, on commence par étudier la convergence simple de $\dfrac{n}{1+n^2 x^2} \ \varphi(x) \ dx$. On a l'indication suivante: faire le changement de variable $y=nx$. Dans ce cas on a
$$\frac{n}{1+n^2 x^2} \varphi(x)= \frac{1}{1+y^2} \varphi(y/n).$$
Soit $y$ fixé dans $\R$. On a $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{1+y^2} \varphi(y/n)= \varphi(0)$.
Ma question est : pourquoi utiliser le changement de variables ? Pourquoi ne pas calculer directement
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{1+n^2 x^2} \varphi(x)=\varphi(x)\quad ?$$
On ne trouve d'ailleurs pas la même limite simple. C'est bizarre
Merci d'avance pour l'aide.
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Réponses
Ce que tu dois faire c'est le changement de variable dans l'intégrale et étudier la convergence simple de l'intégrande.
Le changement de variable est nécessaire pour simplifier l'intégrande (la fonction à intégrer). Là il te suffit juste de faire le changement de variable et de déterminer la limite simple de l'intégrande obtenu. Puis l'exo passera à l'étape suivante je suppose.