Problème avec petit $o$

fifi21 · January 2022

Bonjour,
j'ai un exercice où on doit montrer l'inégalité suivante $\Vert\vert \exp(tA)\vert\Vert \le K e^{-\alpha t}$, pour tout $t\ge 0$ (avec $A$ matrice vérifiant certaines hypothèses, $K, \alpha$ réels).
La résolution se déroule et on arrive à $\Vert\vert \exp(tA)\vert\Vert =o(e^{-\alpha t})$ quand $t \to +\infty$, et la conclusion suit.

Je ne comprends pas pourquoi le fait d'avoir ce petit $o$ implique l'inégalité que l'on veut obtenir.

En fait c'est un exercice du Gourdon d'analyse (p391), et ce résultat sert pour résoudre l'équation $AX+XB=C$. À plusieurs reprises dans le raisonnement il identifie des inégalités avec des petits $o$, et je suis un peu perdu.
Merci

Bbidule · January 2022

Bonjour

Je te laisse prouver la proposition suivante, utile dans le présent contexte.

Une fonction de la variable réelle à valeurs réelles qui possède une limite nulle en $+\infty$ est bornée au voisinage de $+\infty$.

Heuristique · January 2022

Ce n'est pas tout à fait immédiat en effet.

Si tu regardes $f : t \mapsto e^{\alpha t}\Vert \exp(tA) \Vert$, tu as $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} f(t) = 0$ grâce au $o$.

Reste à montrer qu'une fonction continue sur $\R_+$ et tendant vers $0$ en $+\infty$ est bornée.

Tu obtiendras alors que $\vert f \vert \leqslant K$ ce qui conclut.

Edit : le message de Bbidule m'est apparu après publication.

lourrran · January 2022

Regarde les lignes précédentes de ce calcul... la dernière ligne juste avant l'apparition de ce $o()$.

En gros tu dois avoir quelque chose comme cette ligne :

$\forall z \in \R^+ ,\ ||| \exp(tA)|||\leq z e^{- \alpha t }$. Donc $||| \exp(tA)|||= o( e^{- \alpha t } )$.

La notation $o()$ permet juste de nous débarrasser de ce réel $z$ qui est quelconque, positif...
On dit : puisque l'inégalité est vraie pour tout $z$, simplifions l'écriture, virons ce $z$ est disons que $||| exp(tA)|||$ est négligeable devant $( e^{- \alpha t } )$ ... et notons ça sous une forme plus courte : $||| \exp(tA)|||= o( e^{- \alpha t } )$

fifi21 · January 2022

Merci de vos réponses.
Pour heuristique, je sais démontrer cette propriété, en effet elle permet de conclure.

À l'inverse, dans une autre ligne de calcul, il écrit $\Vert \exp(tD) \Vert \le Ke^{-ct}$, donc $\exp(tD)=o(e^{-ct})$. Je ne comprends alors pas cette implication.
Merci.

Poirot · January 2022

Si le $c$ de la deuxième formule est strictement plus petit que le $c$ de la première alors ça marche.

lourrran · January 2022

Tu dis : il écrit $|| \exp(tD)|| \le K e^{-ct} $ donc ...

Peux tu préciser ?
Il écrit $\exists K \in \R^+,\ $ bla bla bla $ || \exp(tD)|| \le K e^{-ct} $ donc ...
Ou bien il écrit : $\forall K \in \R^+,\ $ bla bla bla $ || \exp(tD)|| \le K e^{-ct} $ donc ...

Le quantificateur pour $K$, c'est il-existe ou quel-que-soit ?

Si c'est la 1ère version, alors c'est faux.
Si c'est la 2ème version, alors tout va bien.

Je n'ai pas trop d'inquiétude, c'est la 2ème version.
Et maintenant que tu as bien vérifié que c'est la 2ème version, est-ce que c'est plus clair pour toi ?

fifi21 · January 2022

Oui c’est bien la deuxième version.
Malgré cela ce n’est pas plus clair.

lourrran · January 2022

Donc c'est écrit $\forall K \in \R^{*+}$ etc etc ...

On va lire cette ligne à voix haute :
On peut choisir n'importe que réel K strictement positif , on va trouver un seuil, au delà duquel, pour toute valeur de t, on a ; Norme(exp(tD)) est plus petit que $ K \times e^{-ct}$

Ou encore, en ajoutant les 'sous-entendus' :
On peut choisir n'importe que réel K strictement positif , même un nombre K très très petit , on va trouver un seuil, au delà duquel, pour toute valeur de t, on a ; Norme(exp(tD)) est plus petit que $ K \times e^{-ct}$

Autrement dit, en parlant un peu moins matheux et un peu plus vulgaire :
Norme(exp(tD)) est une toute petite m... comparé à $ e^{-ct}$ , vu que même quand on multiplie $ e^{-ct}$ par un K minuscule, on obtient un nombre plus grand que Norme(exp(tD))

Autrement dit, en synthétisant un peu parce que c'est long comme phrase :
Norme (exp(tD)) est une quantité négligeable, comparé à $ e^{-ct}$

Autrement dit : $||(exp(tD))|| = o( e^{-ct} )$

La notation $o()$ a été crée pour ça : pour résumer avec un symbole mathématique la notion de quantité négligeable.

fifi21 · January 2022

merci beaucoup pour vos explications, j'ai compris maintenant !

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