Hypothèse de Lindelöf et conjecture de Goldbach
Bonjour,
Sait-on si l'hypothèse de Lindelöf a des conséquences sur le nombre d'exceptions à la conjecture de Goldbach ? Permettrait-elle d'obtenir une amélioration du résultat de Pintz qui si je ne m'abuse dit que $E(x)=O(x^{2/3})$ avec $E(x)$ le nombre d'entiers pairs n'excédant pas $x$ qui ne s'écrivent pas sous la forme d'une somme de deux nombres premiers ? Peut-on espérer quelque chose comme $E(x)\ll_{\varepsilon}x^{\varepsilon}$ sous l'hypothèse en question ?
Sait-on si l'hypothèse de Lindelöf a des conséquences sur le nombre d'exceptions à la conjecture de Goldbach ? Permettrait-elle d'obtenir une amélioration du résultat de Pintz qui si je ne m'abuse dit que $E(x)=O(x^{2/3})$ avec $E(x)$ le nombre d'entiers pairs n'excédant pas $x$ qui ne s'écrivent pas sous la forme d'une somme de deux nombres premiers ? Peut-on espérer quelque chose comme $E(x)\ll_{\varepsilon}x^{\varepsilon}$ sous l'hypothèse en question ?
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Réponses
1. Pintz a annoncé en 2004 avoir obtenu $E(X) \ll x^{2/3}$, mais n'a jamais publié son résultat. Le meilleur actuel, toujours dû à Pintz (2018), est $E(x) \ll x^{0,72}$.
2. Goldbach, c'est de la théorie additive, et l'outil principal utilisé dans ce type de problème est la méthode du cercle, à laquelle on ajoute des ingrédients sophistiqués pour faire progresser la recherche. Lindelöf est, j'allais dire, purement analytique, et ses conséquences portent plutôt sur :
(i) Les valeurs moyennes de puissances de la fonctions $\zeta$ ;
(ii) Les écarts entre les zéros non triviaux de $\zeta$ ;
(iii) La fonction $\tau_k$ de Dirichlet-Piltz ;
etc.
Ce que j'ai voulu dire, et Poirot et Boécien l'ont bien compris, c'est que l'outil standard des problèmes additifs célèbres est la méthode du cercle. La connais-tu ? Si oui, tu dois t'apercevoir que l'hypothèse de Lindelöf n'a pas grand-chose à voir là-dedans. Si non, je t'invite à t'y intéresser, par exemple en consultant la monographie de Vaughan à ce sujet : https://www.amazon.fr/Hardy-Littlewood-Method-R-C-Vaughan/dp/0521573475/ref=sr_1_1?__mk_fr_FR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&crid=3H7DP1YBJ1120&keywords=R.+C.+Vaughan&qid=1642196511&sprefix=r.+c.+vaughan%2Caps%2C74&sr=8-1
Car je doute fort que si je devais apprendre suffisamment les Math pour comprendre les travaux de Pintz et autres Mathématiciens de la théorie des nombres, il me faudrait une deuxième vie et surtout la motivation ....
J'ai posé la question à Sylvain, car effectivement je ne comprenais pas du tout le but de cette fonction et son estimation, sur le nombre de solutions qui doit valoir 0 pour tout x ... Dont tu viens de me donner effectivement l'explication , donc Merci.
Cordialement.
1. Je redis bien que le message plus haut n'est que le reflet de mon opinion, et non d'un théorème. Quelqu'un, peut-être un jour, fera-t-il un parallèle entre l'hypothèse de Lindelöf et le conjecture de Goldbach, bien que je doute fort que cela soit possible, pour les raisons que j'ai évoquées plus haut. Mais, bon, ce n'est, encore une fois, qu'une opinion.
2. Il n'est nul besoin d'être un spécialiste pour poser des questions difficiles dans quelque domaine que ce soit. Mais alors il faut être prêt à entendre tout type de réponse, y compris celles provenant de spécialistes, qui peuvent éventuellement ne pas aller dans le sens souhaité au départ...et qui, accessoirement, peuvent demander certaines connaissances pas nécessairement simples à acquérir.
Par exemple, et bien qu'étant une conséquence de l'hypothèse de Riemann, celle de Lindelöf est extrêmement délicate, et semble être au-dessus des compétences humaines actuellement. Rappelons que celle-ci stipule que, pour $|t|$ suffisamment grand et tout $\varepsilon > 0$, on a la majoration
$$\zeta \left( \tfrac{1}{2} + it \right) \ll |t|^{\varepsilon}.$$
On est encore très loin d'un tel résultat : la meilleure estimation actuelle, due à Bourgain & Watt, est
$$\zeta \left( \tfrac{1}{2} + it \right) \ll |t|^{13/84+\varepsilon}$$
et date de 2017 (année du preprint). Le précédent record, dû à Huxley, était de 2003 et Huxley avait obtenu
$$\zeta \left( \tfrac{1}{2} + it \right) \ll |t|^{32/205+\varepsilon}.$$
Ainsi, en 14 ans de dures et ingrates recherches, on est passé de $0,1561$ à $0,1548$. C'est dire la difficulté extrême de ce sujet...
Depuis que je viens sur les forums il n'y a qu'un sujet qui m'intéresse la répartition des nombres premiers dans des suites Arithmétiques et une ou deux conjectures liées à cette répartition par Famille en progression Arithmétique de raison 30...
les spécialistes de la théorie des nombres qui en sont arrivés là, ce n'est sûrement pas en 15 ans. Mais en plus, leur travaux ne sont compris que par une infime partie des Mathématiciens professionnels ...
Donc je serais très très surpris qu'une personne n'ayant jamais appris les maths même pas au lycée ("fin de scolarité 13 ans et demi et sans avoir appris les bases rudimentaires de l'algèbre)", ait la motivation pour commencer de A à Z les Maths pour apprendre et obtenir suffisamment de connaissances afin de comprendre les travaux de ces spécialistes , alors qu'une grande majorité en sont incapables ...
Si je n'avais pas de motivations comme tu le sous entend, tu penses sérieusement que j'aurai été capable de construire des algorithmes modulo 30 et les utiliser pour ces conjectures élémentaires ? Ou même d'essayer de comprendre les différentes fonctions, relatif à ces conjectures et à la répartition des nombres premiers.
Moi je suis obligé de me créer des exemples avec des entiers naturels pour comprendre le fonctionnement d'une fonction, quand c'est possible ...
L'algorithme de "" Goldbach "" personne ne l'avait trouvé , en plus il permet de faire le lien avec la conjecture de Lemoine-Lévy , la variante de la conjecture de Goldbach. Ce qui veut dire que si l'une ou l'autre de ces deux conjectures était prouvée cela entraînerait obligatoirement la deuxième c'est le même algorithme pour les deux, utilisant les congruences !
Y compris le résultat de H Helfgott sur les entiers impairs qui s'écrivent comme la somme de trois nombres premiers > 2 , pas nécessairement distinct,
" conjecture plus faible "
Les résultats dans ce domaine depuis plus de deux siècles par les spécialistes de l'analyse complexe, n'ont absolument pas permis de résoudre ces conjectures (premiers jumeaux ; Goldbach et Lemoine - Lévy ) mais seulement une approche sur l'estimation du nombre minimum de solutions pour une limite N fixée.
hormis le théorème de Tao Green sur les suites arithmétiques de nombres premiers de longueur arbitraire , ce qui permet d'en déduire une infinité de premiers ayant un écart minimum de 246 , limite actuelle .
(" Ce que l'on peut constater par famille avec ces algorithmes, ce qui n'est qu'une conséquence de la répartition des nombres premiers ")
Pour info , un document joint.
Bonne journée à tous