Convergence presque sûre n'implique pas convergence en moyenne

iotala · January 2022

Bonjour,

Soit $X_n$ une suite de variables aléatoires et indépendantes telles que $\mathbb{P}(X_n=0)=1-1/n$ et $\mathbb{P}(X_n=n)=1/n$. J'ai prouvé avec ces variables que :

* convergence en proba n'implique pas convergence presque sûre ;

* convergence en proba n'implique pas convergence $L^1$ (en moyenne).

Comment puis-je en conclure que

convergence presque sûre n'implique pas convergence $L^1$ (en moyenne) ?

Merci par avance.

MrJ · January 2022

En utilisant un critère classique avec une série numérique, tu peux montrer que ta suite $(X_n)$ converge presque surement vers la variable aléatoire certaine $0$.

D'autre part, calcule $\textrm{E}(|X_n-0|)$ et tu constateras que cette quantité ne converge pas vers $0$ lorsque $n\to +\infty$.

Dans un autre contexte, si tu as déjà vu le théorème de convergence dominée : c'est les mêmes idées. Ce n'est pas parce qu'une suite de fonction $(f_n)_{n\in\N}$ converge simplement vers une fonction $f$ sur un intervalle $I$ que $\displaystyle{\int_I |f_n(x)-f(x)| dx}$ converge vers $0$.

Édit : Correction d'une coquille suite au message de Calli.

Calli · January 2022

Bonjour,
Enfin je crois qu'il faut un peu modifier la définition des $X_n$ pour que ce que dit @MrJ fonctionne (et vu comment on a commencé par définir $X_n$, cette modification devrait plutôt permettre une convergence p.s. vers 0 et non 1).

Poirot · January 2022

Prendre $\mathbb P(X_n=0) = 1 - \frac{1}{n^2}$ et $\mathbb P(X_n=n^3) = \frac{1}{n^2}$ de sorte que l'espérance explose, mais avec le lemme de Borel-Cantelli, on a presque sûrement un nombre fini de $n$ tel que $X_n \neq 0$.

Convergence presque sûre n'implique pas convergence en moyenne

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