Montrer que $\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Nora-math · January 2022

Bonsoir, s'il vous plait comment montrer que $\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ pour tout $a,b>0$ en utilisant $2ab\leq a^2+b^2$.

Merci

Rescassol · January 2022

Bonsoir,

Tu devrais être capable de penser toute seule à élever au carré.

Cordialement,
Rescassol

etanche · January 2022

L’expression de gauche est la moyenne harmonique, celle de droite est la moyenne quadratique.

Nora-math · January 2022

J'ai élevé au carré j'ai trouvé $$8a^2b^2\leq (a^2+b^2)(a+b)^2$$ je peux faire quoi?

Pour la moyenne harmonique on ne doit pas l'utiliser
Merci

Rescassol · January 2022

Bonsoir
Tu développes et tu factorises.
Il fait aussi te tenir la main quand tu traverses la rue ?
Cordialement,
Rescassol

Nora-math · January 2022

Mais alors on utilise pas que $2ab\leq a^2+b^2$?

Rescassol · January 2022

Bonsoir,

Si, après avoir fait ce que j'ai écrit.

Cordialement,
Rescassol

lourrran · January 2022

Si $a=0$, on vérifie aisément que la propriété est vraie.
Si $a \neq 0$, on peut introduire $c=\frac{b}{a}$
On se retrouve avec une seule variable $c$, au lieu de 2 variables $a$ et $b$.
Ce n'est pas vital, on peut faire sans passer par ça. Mais ça peut provoquer un déclic.

Nora-math · January 2022

je trouve $$8 a^2b^2\leq (a^2+b^2)(a+b)^2=(a^2+b^2)(a^2+b^2+2ab)=2ab(a^2+b^2)+(a^2+b^2)^2$$

Math Coss · January 2022

L'inégalité que tu dois démontrer est équivalente à \[(a^2+b^2)(a+b)^2-8a^2b^2\ge0.\] C'est cette expression qu'il faudrait développer (complètement !) et factoriser.

Je m'attends à trouver un $+4a^2b^2$ avant de retrancher $8a^2b^2$, ce qui va faire un terme $-4a^2b^2$ qui permet de « remonter les calculs » avec un signe différent.

Edit : Tiens, ce n'est pas ce qui se passe.

Rescassol · January 2022

Bonsoir,

Tout dans le même membre !!! Il faut vraiment tout te faire !! Tu es en quelle classe ? En 3e ?

Cordialement,
Rescassol

Nora-math · January 2022

je voulais terminer mais li site a bugué.
$$
8 a^2b^2\leq (a^2+b^2)(a+b)^2=(a^2+b^2)(a^2+b^2+2ab)=2ab(a^2+b^2)+(a^2+b^2)^2\leq 2(a^2+b^2)^2
$$
donc $4 a^2b^2\leq (a^2+b^2)^2$ ce qui est équivalent à $2ab\leq a^2+b^2$
c'est juste ?

JLapin · January 2022

Nora-math a dit :

Bonsoir, s'il vous plait comment montrer que $\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ pour tout $a,b>0$ en utilisant $2ab\leq a^2+b^2$.

En utilisant uniquement cette inégalité, ça va être difficile.

Si en plus tu utilises $2a^2b^2\leq a^4+b^4$ et les conseils ci-dessus tu devrais t'en sortir.

Rescassol · January 2022

Bonsoir,

Ben oui, c'est du niveau collège ou lycée.

Cordialement,
Rescassol

gebrane · January 2022

Sans faire aucun calcul, suivant l'indication

$\sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2}$

$\sqrt{ab} \leq \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$

et tu multiplies terme à terme

Nora-math · January 2022

Merci a tous pour votre aide

gebrane · January 2022

@Rescassol Moi j'accepte volontiers de me tenir la main en géométrie

etanche · January 2022

@Nora-math regarde le théorème 8 page 23 de
https://maths-olympiques.fr/wp-content/uploads/2017/09/ineg.pdf

nicolas.patrois · January 2022

Rescassol a dit :

Ben oui, c'est du niveau collège ou lycée.

Lycée aujourd’hui, même si on a pu faire ça en collège il y a longtemps.

Rescassol · January 2022

Bonjour,

Oui, Nicolas, mais c'est demandé par une intervenante ayant déjà posé des questions sur des opérateurs hilbertiens ou la mesure de Lebesgue.

Cordialement,
Rescassol