Montrer que $\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
Réponses
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Bonsoir,
Tu devrais être capable de penser toute seule à élever au carré.
Cordialement,
Rescassol
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L’expression de gauche est la moyenne harmonique, celle de droite est la moyenne quadratique.
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J'ai élevé au carré j'ai trouvé $$8a^2b^2\leq (a^2+b^2)(a+b)^2$$ je peux faire quoi?
Pour la moyenne harmonique on ne doit pas l'utiliser
Merci -
Bonsoir
Tu développes et tu factorises.
Il fait aussi te tenir la main quand tu traverses la rue ?
Cordialement,
Rescassol
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Mais alors on utilise pas que $2ab\leq a^2+b^2$?
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Bonsoir,
Si, après avoir fait ce que j'ai écrit.
Cordialement,
Rescassol
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Si $a=0$, on vérifie aisément que la propriété est vraie.
Si $a \neq 0$, on peut introduire $c=\frac{b}{a}$
On se retrouve avec une seule variable $c$, au lieu de 2 variables $a$ et $b$.
Ce n'est pas vital, on peut faire sans passer par ça. Mais ça peut provoquer un déclic.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
je trouve $$8 a^2b^2\leq (a^2+b^2)(a+b)^2=(a^2+b^2)(a^2+b^2+2ab)=2ab(a^2+b^2)+(a^2+b^2)^2$$
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L'inégalité que tu dois démontrer est équivalente à \[(a^2+b^2)(a+b)^2-8a^2b^2\ge0.\] C'est cette expression qu'il faudrait développer (complètement !) et factoriser.Je m'attends à trouver un $+4a^2b^2$ avant de retrancher $8a^2b^2$, ce qui va faire un terme $-4a^2b^2$ qui permet de « remonter les calculs » avec un signe différent.Edit : Tiens, ce n'est pas ce qui se passe.
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Bonsoir,
Tout dans le même membre !!! Il faut vraiment tout te faire !! Tu es en quelle classe ? En 3e ?
Cordialement,
Rescassol
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je voulais terminer mais li site a bugué.
$$
8 a^2b^2\leq (a^2+b^2)(a+b)^2=(a^2+b^2)(a^2+b^2+2ab)=2ab(a^2+b^2)+(a^2+b^2)^2\leq 2(a^2+b^2)^2
$$
donc $4 a^2b^2\leq (a^2+b^2)^2$ ce qui est équivalent à $2ab\leq a^2+b^2$
c'est juste ? -
Nora-math a dit :Bonsoir, s'il vous plait comment montrer que $\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ pour tout $a,b>0$ en utilisant $2ab\leq a^2+b^2$.Si en plus tu utilises $2a^2b^2\leq a^4+b^4$ et les conseils ci-dessus tu devrais t'en sortir.
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Bonsoir,
Ben oui, c'est du niveau collège ou lycée.
Cordialement,
Rescassol
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Sans faire aucun calcul, suivant l'indication$\sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2}$$\sqrt{ab} \leq \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$et tu multiplies terme à termeLe 😄 Farceur
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Merci a tous pour votre aide
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@Rescassol Moi j'accepte volontiers de me tenir la main en géométrieLe 😄 Farceur
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@Nora-math regarde le théorème 8 page 23 de
https://maths-olympiques.fr/wp-content/uploads/2017/09/ineg.pdf
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Rescassol a dit :Ben oui, c'est du niveau collège ou lycée.
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Bonjour,
Oui, Nicolas, mais c'est demandé par une intervenante ayant déjà posé des questions sur des opérateurs hilbertiens ou la mesure de Lebesgue.
Cordialement,
Rescassol
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Ha oui, en effet. C’est le genre d’échauffement qu’on pose en colle en première année.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Bonjour,Si je ne me trompe pas :\[\frac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\]Je crois que le compte en question est utilisé par plusieurs personnes.
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Bonjour
Dans tous les cas, il serait bon de connaître le niveau d'études des demandeurs et des questions avant de répondre.
Cordialement,
Rescassol
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Bonjour!
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