Corps finis et isomorphismes

Blanc
Blanc
Modifié (January 2022) dans Algèbre
Bonjour
Je souhaiterais avoir une aide pour comprendre pourquoi (1) et (2) impliquent  ce qui est en rouge.
En vous remerciant.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Soit $A$ un anneau, $I$ un idéal de $A$ et $J$ un idéal de $A/I$. Alors $(A/I)/J$ est isomorphe à $A/(I, \pi^{-1}(J))$, où $\pi : A \to A/I$ est la projection canonique. A toi de chercher à le montrer avec des résultats usuels.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonsoir,
    Même en fait isomorphe à $A/\pi^{-1}(J)$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Et si nous éliminions $Y$ ?
    sage: K = FiniteField(2)
sage: R.<x,y> = PolynomialRing(K,2)
sage: I = R.ideal([y^2+y+1,x^2+x+y])
sage: I.elimination_ideal([y])
Ideal (x^4 + x + 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Finite Field of size 2
sage: f = x^4+x+1
sage: f.is_prime()
True
sage: f.factor()
x^4 + x + 1

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Faire appel à un logiciel pour éliminer $Y$ ici, c'est vraiment inutile : il suffit de remplacer $Y$ par $-X^2-X$ dans $Y^2+Y+1$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Hem. J'allais objecter qu'il y a quand même une élévation au carré mais en caractéristique $2$, ce n'est pas la mer à boire non plus. J'aurais pu être moins paresseux et au moins regarder de quoi il retourne.
  • Blanc
    Blanc
    Bonjour Poirot,

    J'ai essayé de démontrer ta proposition mais je n'y arrive pas. Merci de m'aider un peu plus.
  • Math Coss
    Math Coss
    Modifié (January 2022)
    Tu peux commencer par vérifier que $J=\pi^{-1}(J)/I$, puis définir un morphisme de $A$ vers $(A/I)/J$, montrer qu'il est surjectif et déterminer son noyau. 
  • Blanc
    Blanc
    Bonjour,


  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Modifié (January 2022)
    Bonsoir,
    On prend pour $y$ l'image de $Y$ dans le quotient $\mathbb F_2[Y]/(Y^2+Y+1)$.
  • Blanc
    Blanc
    Modifié (January 2022)
    Bonsoir
    Peux tu m'expliquer en détail ta démarche car je suis un peu perdu dans cet exercice.
    En te remerciant.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Le pont entre $X^2+X+Y\in \mathbb F_2[X,Y]$ et $X^2+X+y\in (\mathbb F_2[Y]/(Y^2+Y+1)[X]$ n'est-il pas jeté si $y$ est l'image de $Y$ dans le quotient ?
  • Blanc
    Blanc
    Modifié (January 2022)
    Bonjour
    Merci avec beaucoup de patience de reprendre avec moi ce qui suit.

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu as raison de ne pas voir parce que c'est faux.
    L'énoncé de Poirot t'induit en erreur. Reporte-toi à la remarque que j'ai faite après son intervention.
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