Matrice et valeur propre
Bonsoir,
Je bloque sur la question $1$. Je sais que si $K= \C$ on a toujours l'existence d'une valeur propre. Mais ici, le corps $K$ est quelconque égal à $\R$ ou $\C$ comme dans le cadre de tous les cours de prépa.
Je ne vois pas comment utiliser que $E$ est le seul sous-espace stable par $u$.
Je bloque sur la question $1$. Je sais que si $K= \C$ on a toujours l'existence d'une valeur propre. Mais ici, le corps $K$ est quelconque égal à $\R$ ou $\C$ comme dans le cadre de tous les cours de prépa.
Je ne vois pas comment utiliser que $E$ est le seul sous-espace stable par $u$.
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Réponses
Montrons que $E_{\lambda} ( Vect(x)) \subset Vect (x)$.
Soit $y \in Vect(x)$. Alors il existe $a \in K$ tel que $y=ax$ et donc $u(y)=u(ax)=a u(x)) = (a \lambda) x \in Vect(x)$
Mais c'est absurde car le seule sous-espace stable par $u$ est $E$ et $\dim E \geq 2$ alors que $\dim Vect(x)=1$, $Vect(x)$ étant une droite vectorielle.
Pour la question $2$, j'ai des difficultés à montrer que la famille est libre. On sait que le cardinal de la famille vaut $n= \dim E$, il suffit de montrer que la famille est libre.
Soient $(a_0, \cdots, a_{n-1}) \in K^n$ de sorte que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k(x)=0$
Je ne vois pas comment démontrer que les $a_k$ sont nuls.
Je sais écrire la matrice.
Notons $p= \min \{ k \in \N \ | \ a_k \ne 0 \} \leq n-1$
Alors $\displaystyle\sum_{k=p}^{n-1} a_k u^k(x)=0$ et $\boxed{ a_p u^p(x) + a_{p+1} u^{p+1} (x)+ \cdots + a_{n-1} u^{n-1} (x) =0}$
Je bloque ici
Je relis mon cours d'algèbre linéaire de MPSI quand j'ai un doute sur une notion.
Skazeriahm voici mon avancement. Soit $p = \max \{ k \in [|0,n-1 |] \ | \ a_k \ne 0 \}$
On a $a_0 x+ \cdots + a_{p} u^{p} (x)=0$
Si $p=0$ alors $u^{0} (x)=x =0$ ce qui est absurde car $x \ne 0$.
Supposons à présent $p \geq 1$. Il est facile de voir que $F=Vect(x, \cdots, u^{p} (x) )$ est stable par $u$ car $\boxed{u^{p}(x)=\dfrac{1}{p} \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} a_k u^k(x)}$
On a $\dim F \geq 1$ car $F$ possède un élément non nul.
Montrons que $\dim F < n$ pour obtenir une contradiction. La famille $(x,u(x), \cdots, u^{p-1} (x))$ possède $p$ éléments et on a $p \leq n-1$donc $\boxed{\dim F <n}$
Ainsi, $F$ est un sous-espace vectoriel strict de $E$ stable par $u$, ce qui est absurde.
Ainsi, pour tout $x \ne 0$ dans $E$, la famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1} (x))$ est libre. C'est donc une base de $E$.
Écrivons la matrice de $u$ dans cette base.
Pour montrer que la matrice ne dépend pas du choix de $x$ ça m'a l'air tellement évident que je ne vois pas comment le démontrer...
Comme $a_p \ne 0$ on a :$\boxed{ u^p(x)= \dfrac{1}{a_p} \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} a_k u^k (x)}$
Montrons que $u( F) \subset F$ où $F=Vect( x,u(x), \cdots , u^{p-1} (x))$.
Soit $z \in F$ alors $\exists (b_0, \cdots, b_{p-1}) \in K^p$ tels que $z=\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} b_k u^k(x)$
Alors $u(z)= u(\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} b_k u^k(x)) = \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} b_k u^{k+1}(x) $
Donc $u(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{p-2} b_k u^k(x) + b_{p-1} u^p(x)$
Or $ u^p(x)= \dfrac{1}{a_p} \displaystyle\sum_{k=p-1}^{p-1} a_k u^k (x) \in F$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^{p-2} b_k u^k(x) \in Vect(F)$
Comme $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, il est stable par combinaisons linéaires et donc $u(z) \in F$
On a montré que $F$ est stable par $u$.
Pour la matrice, la première colonne c'est les coordonnées de $u(x)$ dans la base donnée et $u(x)=0 + u(x)+0 + \cdots + 0$, la deuxième colonne c'est les coordonnées de $u^2(x)$ dans la même base et $u^2(x)=0 + 0+ u^2(x)+0 + \cdots + 0$ etc...
Pour la question $c$, la matrice ne dépend pas de $x$. C'est évident pour moi je ne vois pas comment le démontrer.
Si on prend la base $B'=(y,u(y), \cdots, u^{n-1} (y))$ avec $y \ne x$ alors la matrice de $u$ dans $B'$ sera évidemment la même.
Je ne vois pas ce qui est attendu comme démonstration pour la question $c$.
euh... si la dernière colonne de $Mat_{B}(u)$ est nulle, n'est-il alors pas possible de mettre en évidence un sous-espace vectoriel non trivial stable par $u$ ?
Donc la matrice de $u$ dans cette base est une matrice compagnon associée au polynôme $\boxed{P(X)=X^n -a_{n-1}X^{n-1} - \cdots - a_0}$
Je n'ai pas compris le rapport entre une colonne nulle et un sous-espace stable ou une une valeur propre...
Puis j'utilise une autre propriété du cours de MPSI qui dit que si $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est libre alors $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x),u^n(x))$ est liée si et seulement si $u^n(x) \in Vect( (x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$
Je ne trouve pas d'erreur dans ma formule encadrée. Je n'ai pas compris la question avec $P$ vis-à-vis de $u$.
Totocov d'accord merci !
Si on note $X=(x_1, \cdots, x_n)^T$ alors $\ker (M)= Vect(0, \cdots, 0,1)$ et $\ker (M)$ est une droite vectorielle. Mais $\ker(M)=E_0(u)$ et tout sous-espace propre de $u$ est stable par $u$ ce qui est absurde.
Quel est ton objectif maintenant ?
Amédé un cours de PSI* Lamartin de 2021 que j'ai trouvé sur le net. Je trouve les exercices intéressants et moins abrupts que ceux de mon livre de MP/MP* infaisables à mon niveau, qui demandent toujours des idées brillantes (beaucoup d'exercices de Polytechnique Centrale MP).
Heuristique oui j'ai oublié le moins merci.
Comme $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est une base de $E$ et que $u^n(x)$ est un élément de $E$, alors il existe des scalaires $a_0, \cdots, a_{n-1}$ tels que : $\boxed{u^n(x)=- \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k u^k(x)}$
Ce qui donne la matrice compagnon associée au polynôme $P(X)=a_{n-1} X^{n-1} + \cdots +a_1 X+ a_0$
On a donc $\boxed{P(u)= u^{n-1} + \cdots +a_1 u+ a_0 id_E}$
Que faire avec cette relation ?
On $\chi_M (X)=P(X)$ et d'après le théorème de Cayley-Hamilton : $P(u)=0 = u^{n-1} + \cdots +a_1 u+ a_0 id_E$ (Heuristique à quoi sert cette relation dans le raisonnement ? )
Le polynôme caractéristique est invariant par changement de base, donc $P$ aussi donc les $a_i$ restent inchangés si on prend un $y \ne x$ pour la base.