Et bien... sais-tu au moins ce que l'on est en train de faire ? qu'est-on en train d'essayer de prouver ?
On dit "montrons qu'il n'existe pas de bijection entre l'ensemble des suites de chiffres et $\mathbb N$". Alors on commence par "supposons qu'il en existe une". On suppose donc qu'il existe une application qui, à chaque entier, renvoie une suite de chiffres et que chaque suite de chiffres est l'image d'un seul entier par cette application.
J'avais été prévenu, tu sembles vouloir discuter d'un truc auquel tu te désintéresses, ce n'est pas bien aimable...
Bien sûr, Dom, je sais ce qu’on est en train de faire. Là où tu dis: « supposons qu’il en existe une », moi j’ajoute « ce qui suppose suppose qu’aucune suite n’est égale à une autre » (comme tu dis) , c’est-a -dire « ce qui suppose que tous les nombres considérés sont distincts les uns des autres » (comme je dis). La contradiction de l’argument diagonal pourrait très bien infirmer cette dernière supposition.
On ne peut pas discuter sérieusement avec quelqu'un qui refuse les évidences et rajoute sans arrêt des contestations nouvelles, même si elles n'ont rien à voir :
"moi j’ajoute « ce qui suppose suppose qu’aucune suite n’est égale à une autre »" Alors que tu lui as déjà dit que ce n'est pas nécessaire (ce qui compte est autre chose, que tous les réels y soient). Donc il ne lit pas ce qu'on lui dit !! Quel niais !
Et il continue par "La contradiction de l’argument diagonal pourrait très bien infirmer cette dernière supposition". Erreur de logique de débutant. Cette dernière supposition ne faisant pas partie des hypothèses, dire que ça l'infirme est de la bêtise ou seulement des mots pour avoir raison contre l'évidence.
Combien de temps allez-vous essayer de convaincre quelqu'un qui ne comprend rien, qui raconte n'importe quoi pour "avoir raison", qui critique une preuve qu'il ne comprend pas parce qu'il n'a jamais essayé, qui est "faible en maths", mais surtout incapable d'en faire ?
Depuis le temps que Sneg vient ici nous raconter des absurdités (108 discussions, 750 réponses, très peu de maths), pourquoi faut-il que toujours de nouveaux participants viennent alimenter un faux débat ?
Là où tu dis: « supposons qu’il en existe une », moi j’ajoute « ce qui suppose suppose qu’aucune suite n’est égale à une autre »
@Sneg les maths c'est différent de la pratique. En pratique, si on te donne deux suites infinies $x_1,x_2,...$ et $y_1,y_2,...$ (est-ce que ça existe en pratique une suite infinie ?) de chiffres, pour simplifier, et qu'on te demande de déterminer si elles sont égales ou pas, il y a deux possibilités :
1) les deux suites sont différentes dans le sens qu'il existe un entier $n$ tel que $x_n\neq y_n$ et tu pourras t'en apercevoir. Il te suffit de comparer $x_1$ avec $y_1$ puis $x_2$ avec $y_2$ etc. Au bout d'un moment (très long moment peut-être) tu tomberas sur un entier $n$ tel que $x_n\neq y_n$ et tu pourras dire "je peux confirmer que ces deux suites sont différentes".
2) les deux suites sont égales dans le sens que pour tout entier $n$, $x_n=y_n$. Sauf que dans ce cas tu auras beau comparer $x_1$ avec $y_1$ puis $x_2$ avec $y_2$ etc. tu ne finiras jamais et tu ne pourras pas confirmer que les deux suites sont égales ou pas.
Lorsqu'on considère des suites en mathématique, on ne s'occupe pas de ce problème pratique. On considère qu'on a le pouvoir de voir d'un coup tous les termes des suites et dire d'un coup d’œil si elles sont égales ou pas.
Dom tu dis et c'est vrai que l'application est mal définie, mais on peut bien arranger ça en prenant le nombre à droite de la virgule sans les zéros inutiles, s'il y en a. Et prendre $\mathbb{N}\cup\infty$ à la place de $\mathbb{N}$ pour répondre à @zeitnot.
$\mathbb{Q}$ est en bijection avec $\mathbb{N}^2$ qui est dénombrable non.
Afin de retirer un enseignement mathématique de ces deux derniers jours, j’aimerais poser cette dernière question. Voici la fameuse liste de l’argument diagonal (c’est un exemple) :
Oui. Ils y voient la prétendue liste de tous les nombres réels. Chaque ligne étant un nombre réel, donné par la suite de ses décimales.
L'argument diagonal te dit que si tu connais parfaitement cette liste (donc toutes les décimales de chaque ligne) alors tu peux construire un nombre qui n'est pas dans la liste, contredisant ainsi l'hypothèse que tous les nombres réels étaient dans cette liste.
Si je comprends bien, voici comment je résume la situation telle que je la vois.
L’argument diagonal repose sur l’hypothèse, la supposition, la donnée ... - je ne sais pas trop quel terme employer - selon laquelle on peut avoir une vision TOTALE des réels appartenant à l’intervalle $[0, 1[$.
$\bullet$ Si on accepte cette hypothèse, alors on fait valoir l’argument diagonal, qui conduit à l’existence d’un infini non dénombrable.
$\bullet$ Si on n’adhère pas à cette hypothèse, alors pas d’argument diagonal ni d’infini non dénombrable.
Cela dit, il existe au moins une autre preuve de l’existence d’un infini non dénombrable. La question que je me pose est alors la suivante.
L’une de ces preuves est-elle totalement irréfutable ou bien reposent-elles toutes sur une hypothèse, une supposition, une donnée, ... , à laquelle on puisse ne pas adhérer ?
(Je précise que l’idée d’adhérer à une hypothèse ne me dérange pas, pour autant qu’on me la présente bien en tant qu’hypothèse.)
Toutes les mathématiques reposent sur des axiomes, y compris la théorie des ensembles, que vous "adhériez" ou non à ces axiomes est votre problème, cela n'empèchera pas les mathématiciens d'en déduire des théorèmes.
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On peut voir ma petite historiette comme reposant sur un système d’axiomes différents des axiomes officiels et aboutissant à d’autres résultats que les résultats officiels.
Que l’on me reproche de faire reposer mon histoire sur des « axiomes » flous ou non définis, passe encore. Mais qu’on dise dès le départ que ce que j’écris est faux est abusif. Ou alors, il aurait fallu préciser le sens du mot « faux ».
Non, non et non, si vous voulez utiliser d'autres axiomes que ceux utilisés par tout le monde, c'est à vous de les citer et de nous convaincre que ces axiomes sont au moins aussi bien que ceux que vous voulez remplacer. On ne peut pas faire de mathématiques sans citer ses axiomes (si ce ne sont pas les standards).
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Cela dit, il existe au moins une autre preuve de l’existence d’un infini non dénombrable. La question que je me pose est alors la suivante :
L’une de ces preuves est-elle totalement irréfutable ou bien reposent-t-elles toutes sur une hypothèse, une supposition, une donnée, ... , à laquelle on puisse ne pas adhérer ?
Je t'ai présenté plus haut une preuve de l'indénombrabilité de $\mathcal P(\N)$.
Par ailleurs, voici une preuve de l'indénombrabillité de $[0,1[$ qui n'utilise pas d'argument diagonal.
Pour tout $x\in [0,1[$, l'ensemble $U_x=\R\setminus \{x\}$ est un ouvert dense de $\R$.
Si $[0,1[$ était fini ou en bijection avec $\N$, alors $\displaystyle \bigcap_{x\in [0,1[} U_x$ serait dense dans $\R$ d'après le théorème de Baire.
Or cet ensemble est $\R\setminus [0,1[$ qui n'est clairement pas dense dans $\R$ d'où l'indénombrabilité de $[0,1[$.
Où sont vos axiomes (présentés comme tels, dans quelle logique s'inscrivent-t-ils, dans quel langage s'écrivent-ils, tant que vous n'aurez pas présenté ces 3 points, je suis d'accord, il ne reste que du baratin
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
De mon mieux, mais visiblement en vain, j’ai proposé (Alice a proposé) un cadre mathématique, avec des définitions. La logique employée est la logique « classique », s’appliquant aux objets tels que je les ai définis. Le langage est le langage usuel. Quant à Bob, il reste fidèle à la théorie officielle.
J'accepte volontiers l'expression "Logique classique" qui a le même sens pour tout le monde (même si j'ai des doutes sur votre compréhension de cette expression), mais j'attends toujours le langage (langage usuel ne veut strictement rien dire en mathématiques) et les axiomes écrits dans ce langage
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
@Sneg tu devrais essayer de comprendre la preuve de JLapin de l'indénombrabilité de l'ensemble des parties de $\N$ ICI. Je pense qu'elle est à ta portée. Celle qu'il présente ci-dessus requiert des notions de topologie.
Quoi qu'il en soit lorsque tu dis : L’argument diagonal repose sur l’hypothèse, la supposition, la donnée ... - je ne sais pas trop quel terme employer - selon laquelle on peut avoir une vision TOTALE des réels appartenant à l’intervalle $[0, 1[$.
Je pense que tu formules les choses ainsi car ton vrai "problème" ce n'est pas l'argument diagonal, c'est le fait que tu n'acceptes pas de travailler avec des suites infinies de symboles car tu dis qu'elles sont imprécises. En math, une suite infinie de symboles c'est juste une application $f:\N\to E$ (une application $f$ de l'ensemble $\N$ dans un ensemble $E$ quelconque). C'est très courant de travailler avec ces objets.
PS. Lorsque Médiat_Suprème te parles d'axiomes présentés dans un langage logique il fait référence à ce genre de choses. C'est vraiment un langage (celui de la logique classique) chaque fois qu'un mathématicien écrit en français ou dans une autre langue un énoncé mathématique, il existe un moyen de le traduire dans ce langage. Par contre ce que tu as écrit dans ton premier message on ne peut pas le traduire dans ce langage, voilà pourquoi tout le monde a du mal à comprendre tes notions.
Il n'est pas idiot a priori de chercher une axiomatique pour les nombres réels qui n'en fasse pas un corps ordonné discret, c'est-à-dire avec un test de signe qui répond toujours "strictement positif" ou "strictement négatif" ou "nul" quand on lui donne un réel. On est alors dans le domaine de l'analyse constructive, on peut voir aussi les travaux d'Henri Lombardi et ses collaboratrices et collaborateurs : https://hal.inria.fr/hal-01426164
Mais même de ce point de vue, il n'y a pas de souci avec l'argument diagonal de Cantor. En effet, le réel construit à partir de la diagonale est bien à part de chacun des réels de la suite : précisément, il est à distance au moins $10^{-n}$ du $n$-ème réel de cette suite, donc pas du tout dans le halo des points de suspension du développement décimal.
Merci à vous tous pour vos derniers messages, que j’ai lus attentivement, même si je n’en ai pas l’air.
« Baratin »
Je m’attendais bien sûr à cette réaction avant même d’avoir posté ma nouvelle (pourtant, je le répète, j’ai fait de mon mieux). J’ai même failli ne pas la poster, c’est dire. Mais j’avais fait le travail et il ne restait plus qu’à appuyer sur le bouton « Publier la réponse ». Ce que j’ai fait.
Ceux qui ont lu cette nouvelle auront peut-être remarqué que je la dédiais à deux personnes : « nodgim » et « claude quitté ».
Ils sont les deux seuls intervenants de ce forum à avoir jamais essayé de comprendre mon baratin, envers et contre tout, non sans difficulté parfois. Il leur est même arrivé d’y trouver du sens. J’ai vu de mes propres yeux Claude Quitté, chercheur professionnel, traduire mon « charabia » en véritable résultat mathématique pointu (en toute modestie). Mais pour cela, il ne faut pas dire d’emblée « c’est faux, puisque c’est mal écrit ». Pourtant, on ne peut pas dire que mes rapports avec Claude Quitté aient été idylliques. Quand il n’était pas d’accord, il me le faisait bien savoir !
Claude Quitté m’a donné en quelques mots les raisons de son départ du forum. C’est dommage, mais c’est son choix.
C’est le silence de nodgim depuis de nombreux mois qui m’inquiète davantage.
Ceci étant dit, je remercie du fond du cœur toutes les personnes qui ont eu la gentillesse de correspondre avec moi en gardant toujours un ton courtois, quoi qu’il arrive. Elles se reconnaîtront.
Ils sont secrètement (chut !) amoureux l'un de l'autre, tout comme ils sont amoureux tous les deux des mathématiques. C'est ainsi que, pour la Noël, Bob a offert à Alice un superbe livre consacré à Georg Cantor et aux infinis, à la première page duquel il a, de son plus beau stylo plume, calligraphié à l'encre bleu azur : « Infiniment tien ! ».
Mais depuis ce jour-là, Bob s'inquiète beaucoup de ne plus recevoir la moindre nouvelle d'Alice, qui s'est enfermée chez elle dans un bien étrange mutisme. Aussi, est-ce avec un immense soulagement qu'il a vu, ce matin même du 31 décembre, qu'elle lui avait aux aurores adressé un courriel. Immédiatement, il a ouvert ce message tant attendu et a lu ceci :
Bob, pardonne-moi pour mon silence de ces derniers jours. J'ai littéralement dévoré le livre que tu m'as offert le soir de Noël et il faut absolument que je te parle de quelque chose ! Je ne peux pas attendre qu'on se voie ce soir. Je suis trop impatiente. Je commence tout de suite. Mais, avant d'entrer dans le vif du sujet, un petit préambule est nécessaire. Voici :
Je ne sais pas si tu seras d'accord, mais, pour moi, le nombre suivant :
tel qu'il est écrit - avec ses trois petits points, au bout à droite - est incomplet, imprécis, approximatif, on ne peut pas en connaître la valeur exacte. À cause de cela, je dis de ce nombre, tel qu'il est écrit, qu'il est « non déterminé ».
(Tu remarqueras que l'on ne peut même pas savoir, tel qu'il est écrit, si c'est un nombre à développement décimal illimité périodique ou à développement décimal illimité non périodique.)
Peut-être ce nombre est-il l'expression, sous forme d'un commencement de développement décimal illimité, d'un nombre que je pourrais considérer comme parfaitement déterminé, comme par exemple « la racine septième d'une certaine fraction ». Mais, sans information complémentaire, comment puis-je le deviner ? Ce n'est que par la pensée que je peux supposer qu'il est un nombre déterminé.
Je dis aussi de ce nombre qu'il est « non distinct » des autres réels qui lui sont très proches. En effet, considérons ces deux nombres :
Est-ce le même nombre que j'ai écrit deux fois ou bien s'agit-il de deux nombres distincts ? Même moi, je n'en sais rien.
Par la pensée encore une fois , je peux supposer que ces deux nombres sont distincts. Mais, tels qu'ils sont écrits, ils ne sont clairement pas distincts l'un de l'autre.
En revanche, dans le système de numération décimal, tous les éléments de $\mathbb{N}$ sont déterminés (on peut connaître leur valeur exacte, vu que le nombre de symboles qui les constituent est fini, une forme d’écriture ayant été fixée) et bien distincts les uns des autres (d'au moins une unité).
Il ne s'agit pas ici de confondre « nombres » avec « écriture des nombres », mais force est d'admettre que de temps en temps il faut bien les écrire, ces nombres ! Et cette remarque va prendre toute son importance ci-dessous.
J'espère, Bob, que tu nous comprends, mes définitions et moi.
Après ce petit préambule, passons à ce dont je veux te parler :
Voilà à quoi pourrait bien ressembler la fameuse liste « exhaustive » dont il est question dans « l'argument diagonal » que tu m'as fait découvrir :
$\color{red}{0}\color{black},000000000000\cdots$
$0,\color{red}{3}\color{black}57912638101\cdots$
$0,5\color{red}{0}\color{black}0000000000\cdots$
$0,06\color{red}{2}\color{black}626262626\cdots$
$0,785\color{red}{3}\color{black}98163397\cdots$
$0,6283\color{red}{1}\color{black}8530717\cdots$
$\vdots$
Cela dit, cette liste pourrait tout aussi bien ressembler à ceci :
$\color{red}{0}\color{black},0000000000\cdots$
$0,\color{red}{0}\color{black}000000000\cdots$
$0,0\color{red}{0}\color{black}00000000\cdots$
$0,00\color{red}{0}\color{black}0000000\cdots$
$0,000\color{red}{0}\color{black}000000\cdots$
$0,0000\color{red}{0}\color{black}00000\cdots$
$\vdots$
Reconnais avec moi qu'il s'agit ici - en tout cas selon toute apparence - de nombres écrits sous forme de développement décimal illimité et sur chacun desquels on pointe une décimale précise, de façon à obtenir une diagonale. Je n'invente pas : on raisonne sur des nombres écrits d'une certaine façon. Et employer d'autres symboles que des chiffres ne change rien à l'affaire : quoi qu'il arrive, dans l'argument diagonal on raisonne sur des symboles écrits, peu importe que ce soit sur un support physique ou rien que dans sa tête.
Étant donné les remarques que j'ai faites en préambule, tu comprendras facilement que, face à ces listes, je ne peux pas m'empêcher de me poser la question suivante :
Comment donc puis-je avoir l'assurance que, dans l'argument diagonal, ces nombres appartenant à l'intervalle des réels $[0, 1[$ et écrits sous forme de développement décimal illimité sont tous déterminés et bien distincts les uns des autres ? Car, s'ils ne l'étaient pas, il me semblerait complètement illusoire de vouloir en dresser la liste exhaustive.
D'après la théorie, ils le sont.
Quant à moi j’ai un doute. Cette affirmation n’est à mes yeux qu’une hypothèse.
En revanche, j’élève au rang de postulat l’implication suivante :
Nombres non dénombrables $Longrightarrow$ Nombres non déterminés
L’argument diagonal de Cantor, bien sûr valable aussi dans mon cadre mathématique à moi (il suffit de supposer - et pas d’affirmer - que les nombres à lister sont tous « déterminés et bien distincts les uns des autres »), prouve à nouveau que ces nombres sont non dénombrables. Donc, d’après mon postulat, ils sont non déterminés. Ce qui entraîne qu’ils ne sont pas non plus « bien distincts les uns des autres ». En effet, comment pourrait-on dire de nombres qui ne sont déjà pas déterminés qu’ils sont bien distincts les uns des autres ?
Cela dit, dans mon cadre mathématique, le fait que ces éléments soient non dénombrables ne sera pas à mettre en liaison avec le fait qu’ils seraient « plus nombreux » que les éléments de l’ensemble infini $\mathbb{N}$, mais bien avec le fait qu'ils ne sont pas tous « déterminés et bien distincts les uns des autres », on vient de le voir : Comment compter, dénombrer, des éléments si ces éléments ne sont pas tous déterminés et bien distincts les uns des autres ?
En empruntant une comparaison imagée, je dirais que, dans l'optique qui est la mienne, vouloir mettre $\mathbb{N}$ en bijection avec l'intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité reviendrait à vouloir mettre un ensemble de pommes bien rondes en bijection avec un autre ensemble de pommes ... présentées sous forme de compote.
Dit autrement, Bob, l'impossibilité de mettre $\mathbb{N}$ en bijection avec $[0, 1[$ ne serait pas à mettre en liaison avec une différence de cardinal entre ces deux ensembles, mais bien avec une différence de nature entre les éléments de ces deux ensembles : des éléments déterminés et bien distincts les uns des autres dans $\mathbb{N}$ et des éléments qui ne sont pas tous « déterminés et bien distincts les uns des autres » dans l'intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité.
Maintenant, si tu me demandes :
« Quel est donc le cardinal d'un ensemble dont les éléments ne sont pas tous déterminés et bien distincts les uns des autres ? »
et que je te réponds :
« Je n'en sais rien. Qui le sait ? »
tu concluras certainement par :
« Moi, je le sais. La théorie est claire sur le sujet : Dire que les éléments de l'ensemble infini $E$ ne sont pas dénombrables revient à dire que l'ensemble $E$ ne peut pas être mis en bijection avec $\mathbb{N}$, ce qui entraîne au final Card $E$ > Card $\mathbb{N}$. C'est tout. »
Oui. Mais, sans vouloir te contredire, je me sens en droit de penser que ce point de théorie a été conçu pour des ensembles dont les éléments sont tous déterminés et bien distincts les uns des autres. Pas pour des ensembles dont les éléments ne sont pas tous « déterminés et bien distincts les uns des autres ».
Pour dire cela, je me base sur la définition d'un ensemble que Cantor en personne a donnée : « Une réunion $M$ d'objets de notre conception, déterminés et bien distincts, que nous nommerons éléments de $M$ ». Cette définition figure en toutes lettres dans le livre dont tu m'as fait cadeau.
Je me base également sur le fait que, à ce que je sache, les notions d'injection, de surjection ainsi que de bijection - que ci-dessus je t'ai imaginé invoquer - ne sont jamais expliquées au débutant qu'au moyen de diagrammes où les éléments sont toujours tous déterminés et bien distincts les uns des autres : par exemple, des points ou des jetons (semblables à des pommes dans un panier), reliés par des flèches.
Au point que j'en arrive à me demander si les mathématiciens ne snobent pas purement et simplement les ensembles dont les éléments ne sont pas tous « déterminés et bien distincts les uns des autres » !
Voilà, voilà.
Tu l'as compris, Bob, je viens de développer une idée visant à démontrer l'existence d'au moins un ensemble infini dont la non-dénombrabilité des éléments n'est pas à mettre en liaison avec le fait que ces éléments seraient « plus nombreux » que les éléments de $\mathbb{N}$, mais bien avec le fait que lesdits éléments ne sont pas de même nature que ceux de $\mathbb{N}$, en ce sens qu'ils ne sont pas tous « déterminés et bien distincts les uns des autres ». Et cet ensemble n'est autre que l'intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité.
De ce premier résultat non conforme à la théorie officielle, en découlent d'autres :
Par exemple, dans ce genre d'ensemble, pas question de choisir, prélever, sélectionner, un unique élément précis, puisque pas un de ces éléments n'est déterminé ni bien distinct des autres, en particulier de ceux qui lui sont « proches ». Pour me faire comprendre : Si je prélève le nombre $0,357911\cdots$, quel nombre précis ai-je maintenant en main ? Et cette remarque restera bien sûr applicable quel que soit le nombre de décimales qui précéderont les trois petits points finaux.
Partant de là, plus généralement, pas question de délimiter avec précision la moindre partie propre de ce genre d'ensemble. Donc, l'ensemble des parties de ce genre d'ensemble ne peut contenir avec précision que l'ensemble vide et l'ensemble tout entier.
Un autre exemple : Au vu des remarques faites concernant les notions de « bijection » et de « partie propre », pas question de mettre ce genre d'ensemble infini en bijection avec une de ses parties propres.
Que voilà un nouveau monde mathématique fascinant à explorer ! N'as-tu pas envie, Bob, de devenir explorateur ?
Il fallait que je te parle de tout cela sans plus attendre.
À ce soir !
Infiniment tienne !
Bob resta un instant interdit devant le message au contenu pour le moins inattendu d'Alice puis ne put s'empêcher de prononcer tout haut, seul dans la pièce :
« Des pommes ! De la compote ! ... Devenir explorateur ! ... C'est une farce qu'elle me fait ? ... À moins qu'elle ne soit sérieuse ??? ... Ou bien ... , mon Dieu, la pauvre âme, c'est terrible ... ne serait-elle pas ... tombée gravement malade ? ... et en plein délire ? »
1) Soit $E$ l’ensemble des suites d’éléments de $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, des suites de chiffres, quoi.
Soit $n$ un entier, et $x = (x_i)_{i\in \mathbb{N}\cap [0,n[}$ une suite de longueur $n$ de chiffres, et notons $E_x$ l’ensemble des suites $u$ telles que pour tout $i \in \mathbb{N}\cap [0,n[$, $ x_i =u_i$.
Alors $E_x$ est un ensemble qui contient strictement plus d’un élément.
2) L’argument diagonal dit que pour toute application de $\mathbb{N}$ vers $E$, il est facile de construire une suite $u$ qui n’est pas dans son image.
3) Pour tout $n$ comme ci-dessus, et tout $x$ comme ci-dessus, et toute suite $u$ qui est un élément de $E_x$, alors si $v$ est obtenue à partir de $u$ en changeant seulement un terme au-delà du rang $n+1$, alors $v$ est encore un élément de $E_x$.
——
Je crois que tout le monde ici est d’accord sur ces trois points, mais que Sneg est (était ?) le seul à penser que 1) et 3) ont un rapport avec 2).
Disons que depuis un certain nombre de décennies on sait que:
Si ZF (C) est non contradictoire (i.e. s'il existe au moins un univers i.e. une structure avec une relation $R$ qui satisfait tous les axiomes de ZF resp. ZFC ), il existe également deux univers $V,W$ avec $V$ contenu dans $W$ et deux objets $a,b$ appartenant à $V$ tels qu'il existe dans $W$ une bijection entre $a$ et $b$ mais qu'aucune bijection entre $a$ et $b$ n'appartient à $V$.
D'autre part on peut s'arranger pour que $V$ soit dénombrable dans $W$ (cf théorème de Lowenheim-Skolem et les chapitres de bouquins de théorie des ensembles qui abordent le principe de réflexion et le forcing via les modèles transitifs dénombrables).
La notion de dénombrabilité est relative à un système d'axiomes/ à un modèle donnés.
En fait on sait rendre acceptable l'idée que tout est dénombrable en un certain sens et que les arguments diagonaux ne font qu'exprimer la non appartenance de bijections spécifiques à "notre" univers.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
J’ai juste écrit (puis réécrit en tenant compte de certaines remarques qui m’avaient été faites) une histoire censée divertir et qui, en filigrane, contient la question plus sérieuse :
Existe-t-il à ce jour un cadre mathématique dans lequel la théorie des ensembles infinis de Cantor ne serait pas d’application ?
Pour ce faire, je me suis amusée à introduire dans mon texte la notion d’ensembles dont les éléments ne sont pas tous « déterminés et bien distincts » assortie de quelques postulats de mon cru.
Mais les gardiens farouches du Temple des Mathématiques ne l’entendent pas de cette oreille.
Claude Quitté - encore lui - m’avait prévenue de me méfier de la violence régnant sur ce forum.
"Existe-t-il à ce jour un cadre mathématique dans lequel la théorie des
ensembles infinis de Cantor ne serait pas d’application ? "
Oui, "Les éléments de mathématiques" d'Euclide.
"la notion d’ensembles dont les éléments ne sont pas tous « déterminés et
bien distincts » assortie de quelques postulats de mon cru." C'est ce que tu as dit. Mais comme tu emploies le vocabulaire mathématique habituel, tu ne peux pas être compris. Pire, comme tu caches ça dans une histoire sans intérêt, pourquoi voudrais-tu qu'on te lise ?
Tu as pris des bâtons pour te faire battre !!
Définis clairement cette notion, ou bien, comme on le fait en théorie des ensembles, ne définis pas, mais présente une théorie structurée avec ses conséquences. On pourra lire et apprécier. Mais à part une introduction sur ce que tu veux faire, pas de baratin, seulement les axiomes et les théorèmes qu'on en déduit. Je te propose donc de faire des maths.
Cordialement.
NB : Même si tu amènes une théorie nouvelle et différente, ça ne réfutera pas la théorie des ensembles et le théorème que tu refuses systématiquement de comprendre.
Ta notion d'éléments « déterminés » n'a pas de définition mathématique. La nature d'un nombre réel ne dépend pas de la façon dont on peut l'écrire. Par exemple écrire $\pi=3.141592...$ n'apporte rien au statut de $\pi$ qui est défini par ailleurs.
Sneg, en fait, ta notion de « nombres pas déterminés » machin truc, elle existe déjà : ce que tu appelles sous ce nom, nous l’appelons... « ensemble de nombres » !
Et puis tu nous dis que tu trouves des contradictions dans l’argument diagonal, quand tu ajoutes l’hypothèse que les nombres en jeu ne sont pas « déterminés » et tout le monde était d’accord (enfin, c’est comme ça qu’il faut comprendre nos réponses), c’est-à-dire que...
Il n’y a donc aucun « Gardien de Temple » ! Et, au contraire, c’est toi qui devrais être considérée comme une « gardienne du temple » puisque c’est toi qui repères un intrus (tes « nombres pas déterminés ») nous fais part de ta méfiance et le vires d’un coup de pied au fesses ! Je ne suis pas tout à fait d’accord avec la façon dont les autres t’ont répondu ; je pense qu’il aurait fallu te féliciter pour ta vigilance. En fait, il faut comprendre la réaction des autres comme « non mais cet intrus était vraiment inoffensif, il s’est quasiment auto-détruit tout seul à 500 kilomètres du temple, pourquoi viens-tu te vanter de l’avoir éjecté ? ».
Je te dis donc sincèrement merci, et j’espère que tu arriveras à comprendre ce que les autres t’ont dit.
1) Il est par ailleurs très déplacé de parler de C. Q. en donnant une version d’un propos qu’il a pu exprimer et de t’en servir pour ta cause particulière.
C’est d’abord maladroit, mais surtout assez indigne. Je le salue très cordialement au passage.
2) Sneg, voyons, tu sais très bien que ton « roman » met en scène deux personnages dont l’un est autobiographique.
Il n’y a aucune honte à ne pas comprendre une preuve. Pointe LE problème qui te trouble en acceptant un langage commun (chaque mot doit avoir la même définition pour tous, quitte à inventer un dictionnaire dont les définitions sont claires).
3) Faire des mathématiques, c’est convaincre sans argument d’autorité. Il n’y a pas de combats. Pour ce faire on donne les règles du jeu (axiomes, définitions, théorèmes, etc.). Et chacun peut vérifier que tout a été respecté.
Ainsi, c’est justement contradictoire avec cette idée de « gardien du temple ».
Chaque mathématicien est prêt à accepter n’importe quelles règles. Mais faut-il encore les donner. Tu nages dans tes « nombres jenesaisquoi » sans les définir. Pour moi, le vrai problème est là : sans définition propre, ça ne risque pas d’avancer.
Tu ne t’es pas rendu compte que les intervenants sont venus te lire et t’écouter.
À quel prix… ? Tu les as ignorés dès que tu te retrouvais enfermé dans tes notions floues !
Non, Dom. Ne retourne pas la situation. Quiconque relira les messages de ce fil verra, dès le premier message qui m’a été adressé, d’où vient la violence et le mépris. Relis ne serait-ce que ton propre message précédent.
Pour ce qui est de la méthode employée, elle est claire : Alice fait reposer son raisonnement sur cinq postulats. Postulats qui, bien entendu, n’ont rien à voir avec la théorie officielle, mais est-ce que cela a de l’importance ? Tout ce qui importe, c’est la cohérence de ces postulats et de ce qui en découle.
Moi aussi, j’écoute ce qu’on me dit. C’est la raison pour laquelle j’ai apporté des modifications à l’histoire originale. J’essaie de la rendre la plus crédible possible. Ne me prête pas d’autres intentions cachées que cela.
Maintenant, qu’est-ce qu’un élément « déterminé et bien distinct des autres » ? Dans le cadre mathématique défini par Alice, c’est un élément appartenant à un ensemble infini qui peut être mis en bijection avec $\mathbb{N}$. Par exemple : Une automobile neuve est-elle un élément déterminé et bien distinct des autres ? Pour répondre à cette question, on imagine un ensemble infini d’automobiles neuves et on voit si on peut mettre cet ensemble infini en bijection avec $\mathbb{N}$.
Cela dit, je ne peux pas continuer « à jouer » car, désolée, j’entre aujourd’hui en session d’examens.
Pour ce qui est de la méthode employée, elle est claire : Alice fait reposer son raisonnement sur cinq postulats.
Moi aussi, j’écoute ce qu’on me dit.
Si vous écoutez ce que l'on vous dit, pourquoi n'ai-je point reçu de réponses aux questions (et pourtant, la réponse mettrait fin aux lazzis) : 1) Quel langage 2) Quels axiomes (écrits dans ce langage).
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
"Relis ne serait-ce que ton propre message précédent" Heu... je ne vois pas le mépris ni la violence. Peut-être crains-tu davantage la franchise... et c'est plutôt de la bienveillance !
Tu pouvais faire référence au message sarcastique "les cons sur orbite" peut-être ? C'était assumé "gratuitement" offert, donc, non, tu te fourvoies pour noyer le poisson. Tu vas t'appuyer sur tout autre chose que l'échange que j'ai initié... cela démontre que tu es d'une honnêteté intellectuelle implacable...
"Postulats qui, bien entendu, n’ont rien à voir avec la théorie officielle, mais est-ce que cela a de l’importance ? Tout ce qui importe, c’est la cohérence de ces postulats et de ce qui en découle." Là tu as parfaitement raison mais pour ma part ces "postulats" ne sont pas clairs donc je ne peux pas travailler avec.
Tu sembles répondre ici à une question que j'avais posé, jadis : "déterminé et bien distinct des autres" signifie "un élément appartenant à un ensemble infini qui peut être mis en bijection avec $\mathbb N$"
Tout élément non nul, appelons-le $u$, est donc déterminé et bien distinct des autres (selon ta définition) puisqu'il appartient à $u \mathbb Z$ qui est un ensemble infini qui est mis en bijection avec $\mathbb N$. Tu vois, là il y a un problème.
Je te remercie de reconnaître que tu jouais. C'était pour cela que j'étais parti si tôt. Les examens sont prioritaires, tu as bien raison.
L'argument diagonal de Cantor construit un réel qui est bien distinct de tous les réels de la suite de départ. En effet, l'écart entre le nombre construit et le n-ème nombre de la suite est supérieur à $10^{-n} $ de façon certifiée par la construction.
Voir les réels comme un corps non discret (sans test de signe) peut se défendre et donner lieu à des développements mathématiques. Mais ça ne perturbe en rien l'argument diagonal.
Je ne comprends pas pourquoi on ne me prend pas au sérieux. @Dom : Pourquoi ne pas prendre au pied de la lettre ce que Sneg dit ? Si $3,14159...$ ce n’est pas un nombre bien déterminé mais plusieurs, il faut probablement comprendre que Sneg dit « il y a plusieurs réels dont le développement décimal commence par ces six décimales-ci et je suis mal à l’aise à l’idée de considérer cet ensemble (qui n’est pas un singleton) de nombres comme un nombre » auquel cas on ne peut qu’être d’accord.@Mediat : Tu lui demandes de te faire la liste de ses symboles de prédicats, de constantes, etc. ? Est-ce vraiment nécessaire ?
@Sneg : Que cherches-tu ? Je comprends de ce que j’ai lu de toi que tu vois une incompatibilité entre les nombres « pas bien déterminés » et l’argument diagonal. Eh bien, c’est normal, et tu as raison d’être mal à l’aise. Quand les autres te disent que ton langage est vague, mal défini, cela veut dire « ce n’est pas étonnant que tu sois mal à l’aise avec des notions qui se contredisent toutes seules ». Ton problème est donc résolu, non ? Si tu viens vers nous en nous disant que tu n’as pas réussi à enfoncer ce clou avec ce marteau et que tu n’as dans les mains qu’une banane et un fil à plomb, c’est normal qu’on te réponde que c’était mal parti ; et si tu nous réponds que tu croyais que la banane était un marteau, alors tu devrais être contente de t’en rendre compte, puisque tu avais toi-même constaté que ce marteau était quand même un peu mou. Tu as raison depuis le départ : dès que tu raisonnes avec des nombres pas bien déterminés, tu arrives à des résultats qui contredisent la théorie officielle ! C’est très bien et je suis, personnellement content de le savoir, même si je m’en doutais un peu. Enfin, je ne crois pas qu’au fond de toi, tu sois Alice ; je crois que tu es Bob, et que tu es triste parce que tu vois qu’Alice tient à ses nombres pas bien déterminés, tu es triste parce que tu es amoureux d’elle et qu’elle tient à des choses contradictoires.
@Mediat : Tu lui demandes de te faire la liste de ses symboles de prédicats, de constantes, etc. ? Est-ce vraiment nécessaire ?
Plus que nécessaire, c'est indispensable ! Sinon, impossible d'écrire des axiomes et donc impossible de faire des mathématiques, il ne reste qu'un vague baratin ! Si Sneg peut mettre au point des axiomes (donc un langage) qui ouvrent de nouveaux horizons, tous les tenants des "Théories officielles" (comme si cela existait) seront ravis !
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
1) Écrire « $x=3,14159…$ » ce n’est absolument pas clair. Oui, il a raison et je crois que TOUT LE MONDE est d’accord.
2) Écrire « $x=x_0,x_1x_2x_3x_4x_5…$ » où chaque $x_k$ est la décimale d’ordre $k$ (le $k-ème$ chiffre de $x$ derrière la virgule dans son écriture décimale propre) c’est absolument clair. Et c’est là qu’il n’est pas d’accord. Ou plutôt, il ne comprend pas ce passage. Il le gère mal alors il l’occulte. C’est courant. Dans un cas (« 1) ») les pointillés désignent quelque chose de vague tandis que dans l’autre (« 2) ») les pointillés ne posent aucun problème.
Remarque : comme l’étudiant qui lit une consigne, voit un mot qu’il ne comprend pas, et tente d’interpréter la consigne sans ce mot.
C’est courir à la catastrophe (mais ça a fonctionné toute sa scolarité et on l’encourageait même en lui disant « vas-y, essaye, tu verras bien »).
Il est là le problème selon moi (le passage à des réels écrits avec des chiffres et des pointillés). Et il n’est QUE là.
Et c’est très simple à résoudre.
Je pense qu’il essaye d’appliquer le procédé diagonal mais qu’il n’y arrive pas. Alors il prend un exemple « avec des chiffres » et là il s’exclame « mais on ne sait pas ce que sont ces chiffres ». Il a raison dans cette exclamation mais le procédé diagonal ce n’est pas cela. La peur des lettres l’aveugle.
Il ne comprend pas que l’on détermine parfaitement chaque $x_k$ à partir de la seule donnée de $x$, même si $x$ est choisi arbitrairement. C’est tout ça le schmilblick et ce n’est que ça selon moi.
Dis-moi Georges si tu comprends ce que je veux dire.
Ben, non, je comprends pas trop ce que tu veux dire, $x=3,14159...$ n’a pas de sens standard en maths, et je crois que Sneg comprend, en lisant cette phrase, que $x$ est l’ensemble des réels qui commencent par ces six décimales.
Quand à ton 2), ben, te connaissant, on comprend que tu as mis des points de suspension parce que tu avais la flemme et on sait tous les deux que tu commets un abus de langage.
Et c’est normal que Sneg n’arrive pas à appliquer l’argument diagonal si elle croit (je crois que Sneg est une fille) que des ensembles de nombres qui ne sont pas des singletons en sont, et d’ailleurs son besoin de raconter une histoire témoigne de son malaise.
Je crois effectivement que Sneg a un problème avec les points de suspension, et qu’elle est en train de s’en rendre compte (au moins, elle sait, enfin Bob sait qu’il y a un problème). Je ne vois donc pas de catastrophe : Sneg réussira à résoudre son malaise. C’est vrai que ce serait probablement mieux pour elle que l’issue soit « ah ben oui, avec des points de suspension on peut démontrer n’importe quoi » mais c’est à elle de choisir.
Rien à ajouter. Pour moi c'est cela (l'abus de notation qui ne pose pas de problème dans le "2)" et les pointillés du "1)" qui n'ont pas de sens - sauf celui donné par Sneg "les nombres qui commencent par..."-).
Un oracle nous révèle des nombres réels de $[0,1[$ : quand on lui propose un entier $n$, il nous donne les $n$ premières décimales de ce nombre réel, et ceci de manière consistante d'une fois sur l'autre, bien sûr.
Si on a deux réels-oracle $a$ et $b$, et si $a\neq b$, on finira par le savoir, de manière certaine, en étant patient et en demandant de plus en plus de décimales ; on pourra même décider si $a>b$ ou $b>a$. Mais bien sûr, on ne sait pas quand ça se produira. Donc si par hasard $a=b$, on ne le saura jamais avec certitude.
Cet oracle prétend avoir une liste où figurent tous les réels de $[0,1[$. Quand on lui propose un entier $n$, il nous donne les $n$ premières décimales des $n$ premiers réels de sa liste (et ceci de manière consistante d'une fois sur l'autre, bien sûr). Cantor arrive et lui dit : "Balivernes ! je peux produire à partir des informations que tu me donnes sur ta liste un réel-oracle de $[0,1[$ qui, de façon certaine, n'y figure à aucune place."
L'argument diagonal de Cantor montre bien, même d'un point de vue strictement finitiste où les réels ne forment pas un corps discret, qu'il n'y a pas de liste où figurent tous les réels de $[0,1[$ : les réels ne sont pas dénombrables
Réponses
Là où tu dis: « supposons qu’il en existe une », moi j’ajoute « ce qui suppose suppose qu’aucune suite n’est égale à une autre » (comme tu dis) , c’est-a -dire « ce qui suppose que tous les nombres considérés sont distincts les uns des autres » (comme je dis). La contradiction de l’argument diagonal pourrait très bien infirmer cette dernière supposition.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
1) les deux suites sont différentes dans le sens qu'il existe un entier $n$ tel que $x_n\neq y_n$ et tu pourras t'en apercevoir. Il te suffit de comparer $x_1$ avec $y_1$ puis $x_2$ avec $y_2$ etc. Au bout d'un moment (très long moment peut-être) tu tomberas sur un entier $n$ tel que $x_n\neq y_n$ et tu pourras dire "je peux confirmer que ces deux suites sont différentes".
2) les deux suites sont égales dans le sens que pour tout entier $n$, $x_n=y_n$. Sauf que dans ce cas tu auras beau comparer $x_1$ avec $y_1$ puis $x_2$ avec $y_2$ etc. tu ne finiras jamais et tu ne pourras pas confirmer que les deux suites sont égales ou pas.
Lorsqu'on considère des suites en mathématique, on ne s'occupe pas de ce problème pratique. On considère qu'on a le pouvoir de voir d'un coup tous les termes des suites et dire d'un coup d’œil si elles sont égales ou pas.
$\mathbb{Q}$ est en bijection avec $\mathbb{N}^2$ qui est dénombrable non.
Voici la fameuse liste de l’argument diagonal (c’est un exemple) :
1) $\color{red}{0}\color{black},000000000000\cdots$
2) $0,\color{red}{3}\color{black}57912638101\cdots$
3) $0,5\color{red}{0}\color{black}0000000000\cdots$
4) $0,06\color{red}{2}\color{black}626262626\cdots$
5) $0,785\color{red}{3}\color{black}98163397\cdots$
6) $0,6283\color{red}{1}\color{black}8530717\cdots$
$\vdots$
Sur chaque ligne horizontale, je vois un nombre à développement décimal illimité. Donc, apparemment « incomplet », à mes yeux.
Est-il juste de dire que les mathématiciens, eux, y voient « un objet mathématique parfaitement déterminé » ?
Merci.
L'argument diagonal te dit que si tu connais parfaitement cette liste (donc toutes les décimales de chaque ligne) alors tu peux construire un nombre qui n'est pas dans la liste, contredisant ainsi l'hypothèse que tous les nombres réels étaient dans cette liste.
D’accord et merci, raoul.S et JLapin.
Si je comprends bien, voici comment je résume la situation telle que je la vois.
L’argument diagonal repose sur l’hypothèse, la supposition, la donnée ... - je ne sais pas trop quel terme employer - selon laquelle on peut avoir une vision TOTALE des réels appartenant à l’intervalle $[0, 1[$.
$\bullet$ Si on accepte cette hypothèse, alors on fait valoir l’argument diagonal, qui conduit à l’existence d’un infini non dénombrable.
$\bullet$ Si on n’adhère pas à cette hypothèse, alors pas d’argument diagonal ni d’infini non dénombrable.
Cela dit, il existe au moins une autre preuve de l’existence d’un infini non dénombrable. La question que je me pose est alors la suivante.
L’une de ces preuves est-elle totalement irréfutable ou bien reposent-elles toutes sur une hypothèse, une supposition, une donnée, ... , à laquelle on puisse ne pas adhérer ?
(Je précise que l’idée d’adhérer à une hypothèse ne me dérange pas, pour autant qu’on me la présente bien en tant qu’hypothèse.)
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ai-Je jamais dit le contraire ?
On peut voir ma petite historiette comme reposant sur un système d’axiomes différents des axiomes officiels et aboutissant à d’autres résultats que les résultats officiels.
Que l’on me reproche de faire reposer mon histoire sur des « axiomes » flous ou non définis, passe encore. Mais qu’on dise dès le départ que ce que j’écris est faux est abusif. Ou alors, il aurait fallu préciser le sens du mot « faux ».
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'accepte volontiers l'expression "Logique classique" qui a le même sens pour tout le monde (même si j'ai des doutes sur votre compréhension de cette expression), mais j'attends toujours le langage (langage usuel ne veut strictement rien dire en mathématiques) et les axiomes écrits dans ce langage
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Quoi qu'il en soit lorsque tu dis : L’argument diagonal repose sur l’hypothèse, la supposition, la donnée ... - je ne sais pas trop quel terme employer - selon laquelle on peut avoir une vision TOTALE des réels appartenant à l’intervalle $[0, 1[$.
Je pense que tu formules les choses ainsi car ton vrai "problème" ce n'est pas l'argument diagonal, c'est le fait que tu n'acceptes pas de travailler avec des suites infinies de symboles car tu dis qu'elles sont imprécises. En math, une suite infinie de symboles c'est juste une application $f:\N\to E$ (une application $f$ de l'ensemble $\N$ dans un ensemble $E$ quelconque). C'est très courant de travailler avec ces objets.
PS. Lorsque Médiat_Suprème te parles d'axiomes présentés dans un langage logique il fait référence à ce genre de choses. C'est vraiment un langage (celui de la logique classique) chaque fois qu'un mathématicien écrit en français ou dans une autre langue un énoncé mathématique, il existe un moyen de le traduire dans ce langage. Par contre ce que tu as écrit dans ton premier message on ne peut pas le traduire dans ce langage, voilà pourquoi tout le monde a du mal à comprendre tes notions.
Merci à vous tous pour vos derniers messages, que j’ai lus attentivement, même si je n’en ai pas l’air.
« Baratin »
Je m’attendais bien sûr à cette réaction avant même d’avoir posté ma nouvelle (pourtant, je le répète, j’ai fait de mon mieux). J’ai même failli ne pas la poster, c’est dire. Mais j’avais fait le travail et il ne restait plus qu’à appuyer sur le bouton « Publier la réponse ». Ce que j’ai fait.
Ceux qui ont lu cette nouvelle auront peut-être remarqué que je la dédiais à deux personnes : « nodgim » et « claude quitté ».
Ils sont les deux seuls intervenants de ce forum à avoir jamais essayé de comprendre mon baratin, envers et contre tout, non sans difficulté parfois. Il leur est même arrivé d’y trouver du sens. J’ai vu de mes propres yeux Claude Quitté, chercheur professionnel, traduire mon « charabia » en véritable résultat mathématique pointu (en toute modestie). Mais pour cela, il ne faut pas dire d’emblée « c’est faux, puisque c’est mal écrit ». Pourtant, on ne peut pas dire que mes rapports avec Claude Quitté aient été idylliques. Quand il n’était pas d’accord, il me le faisait bien savoir !
Claude Quitté m’a donné en quelques mots les raisons de son départ du forum. C’est dommage, mais c’est son choix.
C’est le silence de nodgim depuis de nombreux mois qui m’inquiète davantage.
Ceci étant dit, je remercie du fond du cœur toutes les personnes qui ont eu la gentillesse de correspondre avec moi en gardant toujours un ton courtois, quoi qu’il arrive. Elles se reconnaîtront.
Sneg.
$$Quelque\ chose\ de\ vieux,\ de\ neuf,\ d'emprunté\ et\ de\ bleu \phantom{.}...$$
Bob et Alice fréquentent le même lycée.
Ils sont secrètement (chut !) amoureux l'un de l'autre, tout comme ils sont amoureux tous les deux des mathématiques. C'est ainsi que, pour la Noël, Bob a offert à Alice un superbe livre consacré à Georg Cantor et aux infinis, à la première page duquel il a, de son plus beau stylo plume, calligraphié à l'encre bleu azur : « Infiniment tien ! ».
Mais depuis ce jour-là, Bob s'inquiète beaucoup de ne plus recevoir la moindre nouvelle d'Alice, qui s'est enfermée chez elle dans un bien étrange mutisme. Aussi, est-ce avec un immense soulagement qu'il a vu, ce matin même du 31 décembre, qu'elle lui avait aux aurores adressé un courriel. Immédiatement, il a ouvert ce message tant attendu et a lu ceci :
Bob, pardonne-moi pour mon silence de ces derniers jours. J'ai littéralement dévoré le livre que tu m'as offert le soir de Noël et il faut absolument que je te parle de quelque chose ! Je ne peux pas attendre qu'on se voie ce soir. Je suis trop impatiente. Je commence tout de suite. Mais, avant d'entrer dans le vif du sujet, un petit préambule est nécessaire. Voici :
Je ne sais pas si tu seras d'accord, mais, pour moi, le nombre suivant :
$0,120525022608850526108755271091141903920510119457150128\cdots$
tel qu'il est écrit - avec ses trois petits points, au bout à droite - est incomplet, imprécis, approximatif, on ne peut pas en connaître la valeur exacte. À cause de cela, je dis de ce nombre, tel qu'il est écrit, qu'il est « non déterminé ».
(Tu remarqueras que l'on ne peut même pas savoir, tel qu'il est écrit, si c'est un nombre à développement décimal illimité périodique ou à développement décimal illimité non périodique.)
Peut-être ce nombre est-il l'expression, sous forme d'un commencement de développement décimal illimité, d'un nombre que je pourrais considérer comme parfaitement déterminé, comme par exemple « la racine septième d'une certaine fraction ». Mais, sans information complémentaire, comment puis-je le deviner ? Ce n'est que par la pensée que je peux supposer qu'il est un nombre déterminé.
Je dis aussi de ce nombre qu'il est « non distinct » des autres réels qui lui sont très proches. En effet, considérons ces deux nombres :
$0,120525022608850526108755271091141903920510119457150128\cdots$
$0,120525022608850526108755271091141903920510119457150128\cdots$
Est-ce le même nombre que j'ai écrit deux fois ou bien s'agit-il de deux nombres distincts ? Même moi, je n'en sais rien.
Par la pensée encore une fois , je peux supposer que ces deux nombres sont distincts. Mais, tels qu'ils sont écrits, ils ne sont clairement pas distincts l'un de l'autre.
En revanche, dans le système de numération décimal, tous les éléments de $\mathbb{N}$ sont déterminés (on peut connaître leur valeur exacte, vu que le nombre de symboles qui les constituent est fini, une forme d’écriture ayant été fixée) et bien distincts les uns des autres (d'au moins une unité).
Il ne s'agit pas ici de confondre « nombres » avec « écriture des nombres », mais force est d'admettre que de temps en temps il faut bien les écrire, ces nombres ! Et cette remarque va prendre toute son importance ci-dessous.
J'espère, Bob, que tu nous comprends, mes définitions et moi.
$$*$$
$$*\phantom{.}\phantom{.}\phantom{.}\phantom{.}\phantom{.}\phantom{.}\phantom{.}*$$
Après ce petit préambule, passons à ce dont je veux te parler :
Voilà à quoi pourrait bien ressembler la fameuse liste « exhaustive » dont il est question dans « l'argument diagonal » que tu m'as fait découvrir :
$\color{red}{0}\color{black},000000000000\cdots$
$0,\color{red}{3}\color{black}57912638101\cdots$
$0,5\color{red}{0}\color{black}0000000000\cdots$
$0,06\color{red}{2}\color{black}626262626\cdots$
$0,785\color{red}{3}\color{black}98163397\cdots$
$0,6283\color{red}{1}\color{black}8530717\cdots$
$\vdots$
Cela dit, cette liste pourrait tout aussi bien ressembler à ceci :
$\color{red}{0}\color{black},0000000000\cdots$
$0,\color{red}{0}\color{black}000000000\cdots$
$0,0\color{red}{0}\color{black}00000000\cdots$
$0,00\color{red}{0}\color{black}0000000\cdots$
$0,000\color{red}{0}\color{black}000000\cdots$
$0,0000\color{red}{0}\color{black}00000\cdots$
$\vdots$
Reconnais avec moi qu'il s'agit ici - en tout cas selon toute apparence - de nombres écrits sous forme de développement décimal illimité et sur chacun desquels on pointe une décimale précise, de façon à obtenir une diagonale. Je n'invente pas : on raisonne sur des nombres écrits d'une certaine façon. Et employer d'autres symboles que des chiffres ne change rien à l'affaire : quoi qu'il arrive, dans l'argument diagonal on raisonne sur des symboles écrits, peu importe que ce soit sur un support physique ou rien que dans sa tête.
Étant donné les remarques que j'ai faites en préambule, tu comprendras facilement que, face à ces listes, je ne peux pas m'empêcher de me poser la question suivante :
Comment donc puis-je avoir l'assurance que, dans l'argument diagonal, ces nombres appartenant à l'intervalle des réels $[0, 1[$ et écrits sous forme de développement décimal illimité sont tous déterminés et bien distincts les uns des autres ? Car, s'ils ne l'étaient pas, il me semblerait complètement illusoire de vouloir en dresser la liste exhaustive.
D'après la théorie, ils le sont.
Quant à moi j’ai un doute. Cette affirmation n’est à mes yeux qu’une hypothèse.
En revanche, j’élève au rang de postulat l’implication suivante :
Nombres déterminés $\Longrightarrow$ Nombres dénombrables
et, bien sûr, sa contraposée :
Nombres non dénombrables $Longrightarrow$ Nombres non déterminés
L’argument diagonal de Cantor, bien sûr valable aussi dans mon cadre mathématique à moi (il suffit de supposer - et pas d’affirmer - que les nombres à lister sont tous « déterminés et bien distincts les uns des autres »), prouve à nouveau que ces nombres sont non dénombrables. Donc, d’après mon postulat, ils sont non déterminés. Ce qui entraîne qu’ils ne sont pas non plus « bien distincts les uns des autres ». En effet, comment pourrait-on dire de nombres qui ne sont déjà pas déterminés qu’ils sont bien distincts les uns des autres ?
Cela dit, dans mon cadre mathématique, le fait que ces éléments soient non dénombrables ne sera pas à mettre en liaison avec le fait qu’ils seraient « plus nombreux » que les éléments de l’ensemble infini $\mathbb{N}$, mais bien avec le fait qu'ils ne sont pas tous « déterminés et bien distincts les uns des autres », on vient de le voir : Comment compter, dénombrer, des éléments si ces éléments ne sont pas tous déterminés et bien distincts les uns des autres ?
En empruntant une comparaison imagée, je dirais que, dans l'optique qui est la mienne, vouloir mettre $\mathbb{N}$ en bijection avec l'intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité reviendrait à vouloir mettre un ensemble de pommes bien rondes en bijection avec un autre ensemble de pommes ... présentées sous forme de compote.
Dit autrement, Bob, l'impossibilité de mettre $\mathbb{N}$ en bijection avec $[0, 1[$ ne serait pas à mettre en liaison avec une différence de cardinal entre ces deux ensembles, mais bien avec une différence de nature entre les éléments de ces deux ensembles : des éléments déterminés et bien distincts les uns des autres dans $\mathbb{N}$ et des éléments qui ne sont pas tous « déterminés et bien distincts les uns des autres » dans l'intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité.
Maintenant, si tu me demandes :
« Quel est donc le cardinal d'un ensemble dont les éléments ne sont pas tous déterminés et bien distincts les uns des autres ? »
et que je te réponds :
« Je n'en sais rien. Qui le sait ? »
tu concluras certainement par :
« Moi, je le sais. La théorie est claire sur le sujet : Dire que les éléments de l'ensemble infini $E$ ne sont pas dénombrables revient à dire que l'ensemble $E$ ne peut pas être mis en bijection avec $\mathbb{N}$, ce qui entraîne au final Card $E$ > Card $\mathbb{N}$. C'est tout. »
Oui. Mais, sans vouloir te contredire, je me sens en droit de penser que ce point de théorie a été conçu pour des ensembles dont les éléments sont tous déterminés et bien distincts les uns des autres. Pas pour des ensembles dont les éléments ne sont pas tous « déterminés et bien distincts les uns des autres ».
Pour dire cela, je me base sur la définition d'un ensemble que Cantor en personne a donnée : « Une réunion $M$ d'objets de notre conception, déterminés et bien distincts, que nous nommerons éléments de $M$ ». Cette définition figure en toutes lettres dans le livre dont tu m'as fait cadeau.
Je me base également sur le fait que, à ce que je sache, les notions d'injection, de surjection ainsi que de bijection - que ci-dessus je t'ai imaginé invoquer - ne sont jamais expliquées au débutant qu'au moyen de diagrammes où les éléments sont toujours tous déterminés et bien distincts les uns des autres : par exemple, des points ou des jetons (semblables à des pommes dans un panier), reliés par des flèches.
Au point que j'en arrive à me demander si les mathématiciens ne snobent pas purement et simplement les ensembles dont les éléments ne sont pas tous « déterminés et bien distincts les uns des autres » !
Voilà, voilà.
Tu l'as compris, Bob, je viens de développer une idée visant à démontrer l'existence d'au moins un ensemble infini dont la non-dénombrabilité des éléments n'est pas à mettre en liaison avec le fait que ces éléments seraient « plus nombreux » que les éléments de $\mathbb{N}$, mais bien avec le fait que lesdits éléments ne sont pas de même nature que ceux de $\mathbb{N}$, en ce sens qu'ils ne sont pas tous « déterminés et bien distincts les uns des autres ». Et cet ensemble n'est autre que l'intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme de développement décimal illimité.
De ce premier résultat non conforme à la théorie officielle, en découlent d'autres :
Par exemple, dans ce genre d'ensemble, pas question de choisir, prélever, sélectionner, un unique élément précis, puisque pas un de ces éléments n'est déterminé ni bien distinct des autres, en particulier de ceux qui lui sont « proches ». Pour me faire comprendre : Si je prélève le nombre $0,357911\cdots$, quel nombre précis ai-je maintenant en main ? Et cette remarque restera bien sûr applicable quel que soit le nombre de décimales qui précéderont les trois petits points finaux.
Partant de là, plus généralement, pas question de délimiter avec précision la moindre partie propre de ce genre d'ensemble. Donc, l'ensemble des parties de ce genre d'ensemble ne peut contenir avec précision que l'ensemble vide et l'ensemble tout entier.
Un autre exemple : Au vu des remarques faites concernant les notions de « bijection » et de « partie propre », pas question de mettre ce genre d'ensemble infini en bijection avec une de ses parties propres.
Que voilà un nouveau monde mathématique fascinant à explorer ! N'as-tu pas envie, Bob, de devenir explorateur ?
Il fallait que je te parle de tout cela sans plus attendre.
À ce soir !
Infiniment tienne !
Bob resta un instant interdit devant le message au contenu pour le moins inattendu d'Alice puis ne put s'empêcher de prononcer tout haut, seul dans la pièce :
« Des pommes ! De la compote ! ... Devenir explorateur ! ... C'est une farce qu'elle me fait ? ... À moins qu'elle ne soit sérieuse ??? ... Ou bien ... , mon Dieu, la pauvre âme, c'est terrible ... ne serait-elle pas ... tombée gravement malade ? ... et en plein délire ? »
$$\fbox{Fin}$$
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Soit $n$ un entier, et $x = (x_i)_{i\in \mathbb{N}\cap [0,n[}$ une suite de longueur $n$ de chiffres, et notons $E_x$ l’ensemble des suites $u$ telles que pour tout $i \in \mathbb{N}\cap [0,n[$, $ x_i =u_i$.
Alors $E_x$ est un ensemble qui contient strictement plus d’un élément.
2) L’argument diagonal dit que pour toute application de $\mathbb{N}$ vers $E$, il est facile de construire une suite $u$ qui n’est pas dans son image.
3) Pour tout $n$ comme ci-dessus, et tout $x$ comme ci-dessus, et toute suite $u$ qui est un élément de $E_x$, alors si $v$ est obtenue à partir de $u$ en changeant seulement un terme au-delà du rang $n+1$, alors $v$ est encore un élément de $E_x$.
——
Je crois que tout le monde ici est d’accord sur ces trois points, mais que Sneg est (était ?) le seul à penser que 1) et 3) ont un rapport avec 2).
Ok. Pas un Dedekind pour soutenir Alice.
À quoi sert ce message, JLapin ?
J’ai juste écrit (puis réécrit en tenant compte de certaines remarques qui m’avaient été faites) une histoire censée divertir et qui, en filigrane, contient la question plus sérieuse :
Existe-t-il à ce jour un cadre mathématique dans lequel la théorie des ensembles infinis de Cantor ne serait pas d’application ?
Pour ce faire, je me suis amusée à introduire dans mon texte la notion d’ensembles dont les éléments ne sont pas tous « déterminés et bien distincts » assortie de quelques postulats de mon cru.
Mais les gardiens farouches du Temple des Mathématiques ne l’entendent pas de cette oreille.
Claude Quitté - encore lui - m’avait prévenue de me méfier de la violence régnant sur ce forum.
Comme toujours, il avait raison.
Ta notion d'éléments « déterminés » n'a pas de définition mathématique.
La nature d'un nombre réel ne dépend pas de la façon dont on peut l'écrire.
Par exemple écrire $\pi=3.141592...$ n'apporte rien au statut de $\pi$ qui est défini par ailleurs.
Cordialement,
Rescassol
Et puis tu nous dis que tu trouves des contradictions dans l’argument diagonal, quand tu ajoutes l’hypothèse que les nombres en jeu ne sont pas « déterminés » et tout le monde était d’accord (enfin, c’est comme ça qu’il faut comprendre nos réponses), c’est-à-dire que...
Il n’y a donc aucun « Gardien de Temple » ! Et, au contraire, c’est toi qui devrais être considérée comme une « gardienne du temple » puisque c’est toi qui repères un intrus (tes « nombres pas déterminés ») nous fais part de ta méfiance et le vires d’un coup de pied au fesses ! Je ne suis pas tout à fait d’accord avec la façon dont les autres t’ont répondu ; je pense qu’il aurait fallu te féliciter pour ta vigilance. En fait, il faut comprendre la réaction des autres comme « non mais cet intrus était vraiment inoffensif, il s’est quasiment auto-détruit tout seul à 500 kilomètres du temple, pourquoi viens-tu te vanter de l’avoir éjecté ? ».
Je te dis donc sincèrement merci, et j’espère que tu arriveras à comprendre ce que les autres t’ont dit.
Il est par ailleurs très déplacé de parler de C. Q. en donnant une version d’un propos qu’il a pu exprimer et de t’en servir pour ta cause particulière.
Je le salue très cordialement au passage.
Sneg, voyons, tu sais très bien que ton « roman » met en scène deux personnages dont l’un est autobiographique.
Faire des mathématiques, c’est convaincre sans argument d’autorité. Il n’y a pas de combats.
Pour ce faire on donne les règles du jeu (axiomes, définitions, théorèmes, etc.). Et chacun peut vérifier que tout a été respecté.
Tu nages dans tes « nombres jenesaisquoi » sans les définir. Pour moi, le vrai problème est là : sans définition propre, ça ne risque pas d’avancer.
Qui est violent ?
Non, Dom. Ne retourne pas la situation. Quiconque relira les messages de ce fil verra, dès le premier message qui m’a été adressé, d’où vient la violence et le mépris. Relis ne serait-ce que ton propre message précédent.
Pour ce qui est de la méthode employée, elle est claire : Alice fait reposer son raisonnement sur cinq postulats. Postulats qui, bien entendu, n’ont rien à voir avec la théorie officielle, mais est-ce que cela a de l’importance ? Tout ce qui importe, c’est la cohérence de ces postulats et de ce qui en découle.
Moi aussi, j’écoute ce qu’on me dit. C’est la raison pour laquelle j’ai apporté des modifications à l’histoire originale. J’essaie de la rendre la plus crédible possible. Ne me prête pas d’autres intentions cachées que cela.
Maintenant, qu’est-ce qu’un élément « déterminé et bien distinct des autres » ? Dans le cadre mathématique défini par Alice, c’est un élément appartenant à un ensemble infini qui peut être mis en bijection avec $\mathbb{N}$. Par exemple : Une automobile neuve est-elle un élément déterminé et bien distinct des autres ? Pour répondre à cette question, on imagine un ensemble infini d’automobiles neuves et on voit si on peut mettre cet ensemble infini en bijection avec $\mathbb{N}$.
Cela dit, je ne peux pas continuer « à jouer » car, désolée, j’entre aujourd’hui en session d’examens.
1) Quel langage
2) Quels axiomes (écrits dans ce langage).
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Heu... je ne vois pas le mépris ni la violence. Peut-être crains-tu davantage la franchise... et c'est plutôt de la bienveillance !
Tu pouvais faire référence au message sarcastique "les cons sur orbite" peut-être ? C'était assumé "gratuitement" offert, donc, non, tu te fourvoies pour noyer le poisson. Tu vas t'appuyer sur tout autre chose que l'échange que j'ai initié... cela démontre que tu es d'une honnêteté intellectuelle implacable...
"Postulats qui, bien entendu, n’ont rien à voir avec la théorie officielle, mais est-ce que cela a de l’importance ? Tout ce qui importe, c’est la cohérence de ces postulats et de ce qui en découle."
Là tu as parfaitement raison mais pour ma part ces "postulats" ne sont pas clairs donc je ne peux pas travailler avec.
Tu sembles répondre ici à une question que j'avais posé, jadis :
"déterminé et bien distinct des autres" signifie "un élément appartenant à un ensemble infini qui peut être mis en bijection avec $\mathbb N$"
Tout élément non nul, appelons-le $u$, est donc déterminé et bien distinct des autres (selon ta définition) puisqu'il appartient à $u \mathbb Z$ qui est un ensemble infini qui est mis en bijection avec $\mathbb N$. Tu vois, là il y a un problème.
Je te remercie de reconnaître que tu jouais. C'était pour cela que j'étais parti si tôt.
Les examens sont prioritaires, tu as bien raison.
Dom, je ne vois pas où est le problème avec $u\mathbb{Z}$.
Un jour, j’ai dit à Claude Quitté que quand je jouais, je le faisais avec le plus grand sérieux.
(La seule personne que j’autorise à me reprocher de citer des bribes de conversation avec Claude Quitté, c’est Claude Quitté.)
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
« Lazzis »
À part Charles Aznavour, seul Médiat_Suprème utilise encore ce mot.
Sneg_Suprème.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
@Dom : Pourquoi ne pas prendre au pied de la lettre ce que Sneg dit ? Si $3,14159...$ ce n’est pas un nombre bien déterminé mais plusieurs, il faut probablement comprendre que Sneg dit « il y a plusieurs réels dont le développement décimal commence par ces six décimales-ci et je suis mal à l’aise à l’idée de considérer cet ensemble (qui n’est pas un singleton) de nombres comme un nombre » auquel cas on ne peut qu’être d’accord.@Mediat : Tu lui demandes de te faire la liste de ses symboles de prédicats, de constantes, etc. ? Est-ce vraiment nécessaire ?
Tu as raison depuis le départ : dès que tu raisonnes avec des nombres pas bien déterminés, tu arrives à des résultats qui contredisent la théorie officielle ! C’est très bien et je suis, personnellement content de le savoir, même si je m’en doutais un peu.
Enfin, je ne crois pas qu’au fond de toi, tu sois Alice ; je crois que tu es Bob, et que tu es triste parce que tu vois qu’Alice tient à ses nombres pas bien déterminés, tu es triste parce que tu es amoureux d’elle et qu’elle tient à des choses contradictoires.
Si Sneg peut mettre au point des axiomes (donc un langage) qui ouvrent de nouveaux horizons, tous les tenants des "Théories officielles" (comme si cela existait) seront ravis !
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je pensais avoir répondu à cela, dans le fil.
1) Écrire « $x=3,14159…$ » ce n’est absolument pas clair. Oui, il a raison et je crois que TOUT LE MONDE est d’accord.
C’est tout ça le schmilblick et ce n’est que ça selon moi.
Quand à ton 2), ben, te connaissant, on comprend que tu as mis des points de suspension parce que tu avais la flemme et on sait tous les deux que tu commets un abus de langage.
Et c’est normal que Sneg n’arrive pas à appliquer l’argument diagonal si elle croit (je crois que Sneg est une fille) que des ensembles de nombres qui ne sont pas des singletons en sont, et d’ailleurs son besoin de raconter une histoire témoigne de son malaise.
Je crois effectivement que Sneg a un problème avec les points de suspension, et qu’elle est en train de s’en rendre compte (au moins, elle sait, enfin Bob sait qu’il y a un problème). Je ne vois donc pas de catastrophe : Sneg réussira à résoudre son malaise. C’est vrai que ce serait probablement mieux pour elle que l’issue soit « ah ben oui, avec des points de suspension on peut démontrer n’importe quoi » mais c’est à elle de choisir.