Problème de dénombrement
Bonjour,
je dispose d'une urne composée de 3 boules blanches et 7 boules noires (non numérotées).
On tire successivement et sans remise 4 boules de l'urne.
1. Combien de tirages ne contiennent que des boules noires ?
2. Combien de tirages contiennent exactement une boule blanche et trois boules noires.
Je suis un peu perdu car le fait que les tirages soient successifs semble impliquer un ordre, mais le fait que les boules ne soient pas numérotées suggère le contraire ...
je dispose d'une urne composée de 3 boules blanches et 7 boules noires (non numérotées).
On tire successivement et sans remise 4 boules de l'urne.
1. Combien de tirages ne contiennent que des boules noires ?
2. Combien de tirages contiennent exactement une boule blanche et trois boules noires.
Je suis un peu perdu car le fait que les tirages soient successifs semble impliquer un ordre, mais le fait que les boules ne soient pas numérotées suggère le contraire ...
A la question a, j'ai répondu $\binom{7}{4}$.
A la question b, j'ai fait le raisonnement suivant :
- il y a 4 choix pour placer la boule blanche
A la question b, j'ai fait le raisonnement suivant :
- il y a 4 choix pour placer la boule blanche
- pour chacun de ces choix , il y a 3 tirages possibles pour la boule blanche.
- Il reste alors à tirer les boules noires : il y a $\binom{7}{3}$ possibilités
- Il reste alors à tirer les boules noires : il y a $\binom{7}{3}$ possibilités
Au final, $4\times3\times\binom{7}{3}$ possibilités.
Ces deux raisonnements sont-ils corrects ?
Ces deux raisonnements sont-ils corrects ?
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Réponses
La question de GBZM, c'est : comment définis-tu l'univers ?
Est-ce que selon toi, l'univers comporte $10!$ tirages possibles, ou bien $\frac{10!}{4!}$ tirages possibles.
L'énoncé est ambigu. J'ai bien une petite préférence pour une des 2 réponses, mais je ne veux pas t'influencer.
Dans ta réponse au prof, je pense qu'il faut que tu dises : j'interprète l'énoncé de telle façon. Et ensuite, tu fais l'exercice conformément à ce que tu as décidé.
Quitte à conclure : si il fallait interpréter de l'autre façon, alors il faut multiplier (ou diviser) tous ces résultats par $4!$
Il y en aurait donc à priori $10\times 9\times 8\times 7$.
Néanmoins, le fait que les boules ne soient pas numérotées implique que certaines de ces 4-listes seront les mêmes.
Avec cette vision de ce qu'est un tirage, le raisonnement ci-dessous est-il correct pour déterminer le nombre de tirages avec une seule boule blanche ?
- pour chacun de ces choix , il y a 3 tirages possibles pour la boule blanche.
- Il reste alors à tirer les boules noires : il y a $\binom{7}{3}$ possibilités
Izoard,
Dans tous les exercices de dénombrement, il faut commencer par définir l'univers, et compter le nombre d'éléments de l'univers.
TOUS les exercices.
Les seules exceptions, c'est quand tu es devenu un hyper-spécialiste, 100% à l'aise avec tout ça.
Déjà, ça te permet de poser les choses. Là tu dis ; je ne sais pas ce que veut dire le mot 'tirage', donc je ne compte pas le nombre de tirages, mais je compte un truc beaucoup plus compliqué... : ça n'a pas de sens.
En plus, ça peut être très utile pour des contrôles. Tu peux compter le nombre de tirages avec 0 boule blanche, puis 1 boule blanche, puis 2, puis 3 puis 4 ... et vérifier si la somme de tout ça, ça donne bien l'effectif de l'univers.
Quand on est totalement serein, ces contrôles ne sont pas obligatoires, mais quand on a des doutes, ça prend un peu de temps, mais c'est drôlement utile.
Prend une décision. Eventuellement, fais 2 fois l'exercice. Une première fois en considérant qu'on te parle de tirages ordonnés, et une autre fois avec l'autre option. C'est certainement la bonne méthode. Ca va te booster, ça va t'apprendre plein de choses de faire l'exercice 2 fois, avec les 2 options.
izoard, moi je vois tout simplement si les boules ne sont pas numérotés (ou si on en tient pas compte comme c'est insinué) il y a un seul tirage ne contenant que des boules noires et 4 tirages contenant exactement un boule blanche et 3 boules noires.
Cordialement.
Ce n'est pas GaBuZoMeu qui a un exercice à faire, on attend l'interprétation d'Izoard.
Cordalement,
Rescassol
@gerard0 pardon, mais je ne vois aucune ambiguïté dans cette phrase pour quelqu'un qui a déjà traité beaucoup de problèmes de dénombrement.
Le mec a mème précisé que les boules ne sont pas numérotés. Dans un exercice de math on travaille avec les donnés du problème. On n'a pas à supposer des choses qui n'ont pas été dites (à avoir ses propres interprétations).
Dans ce problème il suffit qu'il y ait au moins 4 boules noires dans l'urne pour que la réponse à la question 1) ne change pas. 1 million de boules noires, 2 millions c'est pareille... mème réponse.
Pour la question 2) il suffit qu'il y ait au moins une boule blanche et 3 boules noires pour que la réponse ne change pas.
C'est peut-être un piège pour @izoard, mais c'est ce qui est dit.
Pour mon contre-exemple là-bas, je vais expliquer ma méthode et ça te permettra de faire le comptage à la main. Peut-être tu arriveras à me convaincre de sa fausseté.
@gerard0 pardon, mais je ne vois aucune ambiguïté dans cette phrase
On ne demande aucune probabilité donc chercher une situation où une loi de proba serait naturelle me semble peu adapté à l'exercice.
Franchement, vous ne trouvez pas que l'exercice devient vraiment concon avec votre interprétation ?
Ce n'est pas toujours le cas. Ici, l'exercice est mal rédigé.
Soit le type voulait faire un exercice concon, soit il voulait faire un exercice un peu intéressant avec quelques calculs.
En d'autres mots, soit le type qui a écrit l'exercice est totalement idiot, soit il était un peu déconcentré quand il a rédigé cet exercice.
Moi, je préfère croire à la version 2.
Mais comme je disais ci-haut, il se peut qu'il voulut piéger @izoard... On a tendance à devoir utiliser tous les nombres apparus dans les données dans ce genre d'exercice. Là c'était pas nécessaire. C'est pourquoi @izoard s'est gouré.