Corps finis et isomorphismes
Réponses
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Soit $A$ un anneau, $I$ un idéal de $A$ et $J$ un idéal de $A/I$. Alors $(A/I)/J$ est isomorphe à $A/(I, \pi^{-1}(J))$, où $\pi : A \to A/I$ est la projection canonique. A toi de chercher à le montrer avec des résultats usuels.
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Bonsoir,Même en fait isomorphe à $A/\pi^{-1}(J)$.
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Et si nous éliminions $Y$ ?
sage: K = FiniteField(2) sage: R.<x,y> = PolynomialRing(K,2) sage: I = R.ideal([y^2+y+1,x^2+x+y]) sage: I.elimination_ideal([y]) Ideal (x^4 + x + 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Finite Field of size 2 sage: f = x^4+x+1 sage: f.is_prime() True sage: f.factor() x^4 + x + 1
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Faire appel à un logiciel pour éliminer $Y$ ici, c'est vraiment inutile : il suffit de remplacer $Y$ par $-X^2-X$ dans $Y^2+Y+1$.
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Hem. J'allais objecter qu'il y a quand même une élévation au carré mais en caractéristique $2$, ce n'est pas la mer à boire non plus. J'aurais pu être moins paresseux et au moins regarder de quoi il retourne.
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Bonjour Poirot,
J'ai essayé de démontrer ta proposition mais je n'y arrive pas. Merci de m'aider un peu plus. -
Tu peux commencer par vérifier que $J=\pi^{-1}(J)/I$, puis définir un morphisme de $A$ vers $(A/I)/J$, montrer qu'il est surjectif et déterminer son noyau.
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Bonjour,
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Bonsoir,On prend pour $y$ l'image de $Y$ dans le quotient $\mathbb F_2[Y]/(Y^2+Y+1)$.
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Bonsoir
Peux tu m'expliquer en détail ta démarche car je suis un peu perdu dans cet exercice.
En te remerciant. -
Le pont entre $X^2+X+Y\in \mathbb F_2[X,Y]$ et $X^2+X+y\in (\mathbb F_2[Y]/(Y^2+Y+1)[X]$ n'est-il pas jeté si $y$ est l'image de $Y$ dans le quotient ?
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Bonjour
Merci avec beaucoup de patience de reprendre avec moi ce qui suit.
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Tu as raison de ne pas voir parce que c'est faux.L'énoncé de Poirot t'induit en erreur. Reporte-toi à la remarque que j'ai faite après son intervention.
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Bonjour!
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