Des applications de Cesàro et/ou Abel et/ou Silverman–Toeplitz

On a bien sûr \[M_n(z) = (1-M_n(u))x + M_n(u)y,\]ce qui suffit.

Tout d'abord, pour tout $n$, et $C \in \{A,B\}$, notons \[r_C(n) := \max\{m \in \mathbb{N} \ \vert \ m \in C\mbox{ et }m\leq n\},\]et \[N_C(n) := \vert \{m \in \mathbb{N} \ \vert \ m \in C\mbox{ et }m\leq n\} \vert.\]
Alors on a, pour tout $m \in \mathbb{N}^*$, \[M_m(ZZ(u,v)) = \frac{N_A(m)}{m} M_{r_A(m)}(u) + \frac{N_B(m)}{m} M_{r_B(m)}(v).\]
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, et posons $m := 2^{2^{n+1}}-1$. Si $n$ est pair, alors \[N_B(m) \leq 2^{2^n},\]et donc \[\frac{N_B(m)}{m} = \frac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1}} - 1} \leq \frac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1} -1}} = \frac{1}{2^{2^n}-1}.\]
De même, si $n$ est impair, alors \[N_A(m) \leq 2^{2^n},\]et donc \[\frac{N_A(m)}{m} = \frac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1}} - 1} \leq \frac{2^{2^n}}{2^{2^{n+1} -1}} = \frac{1}{2^{2^n}-1}.\]
et donc les suites $\left(\frac{N_A(m)}{m}\right)_m$ et $\left(\frac{N_B(m)}{m}\right)_m$ ont toutes deux une sous-suite (mais pas pour les mêmes indices !) qui converge vers $0$. En particulier, la suite $\left(M_m(ZZ(u,v)\right)_m$ a une sous-suite qui converge vers $M(u)$ et une qui converge vers $M(v)$.
En particulier, si $M(u) \neq M(v)$, alors $\left(M_m(ZZ(u,v)\right)_m$ n'est pas convergente.
D'autre part, supposons que $M := M(u) = M(v)$. Alors, pour tout $\epsilon>0$, il existe $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$, \[\vert M_n(u) - M(u)\vert + \vert M_n(v) - M(v)\vert < \epsilon,\]et comme $r_A$ et $r_B$ tendent vers l'infini, il existe un entier $m_0$ tel que pour tout $m\geq m_0$, \[\vert M_{r_A(m)}(u) - M\vert + \vert M_{r_B(m)}(v) - M\vert < \epsilon.\]
En particulier, pour un tel $m_0$ et tout $m \geq m_0$, on a \[\vert M_m(ZZ(u,v) - M\vert = \frac{N_A(m)}{m} \vert M_{r_A(m)}(u) - M \vert + \frac{N_B(m)}{m} \vert M_{r_B(m)}(v) - M \vert \leq \epsilon.\]

Posons, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, \[u_n := \lfloor n\lambda\rfloor - \lfloor (n-1)\lambda \rfloor.\]
Alors, pour tout $n$, \[0 \leq (n-1)\lambda \leq n\lambda \leq (n-1)\lambda + 1\] donc \[n\lambda - (n-1)\lambda \in [0,1]\] donc $u_n \in \{0,1\}$.
De plus, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, \[\sum^n_{i=1} u_i = \lfloor n\lambda \rfloor,\]et donc \[M_n(u) = \frac{1}{n}\lfloor n\lambda \rfloor,\]et donc \[\vert M_n(u) - \lambda \vert \leq \frac{1}{n}.\]

Soient $u$ et $v$ deux suites Cesàro-convergentes, de même limite de Cesàro. Alors la suite $ZZ(u,v)$ est Cesàro-convergente, et donc $f\circ ZZ(u,v)$ est Cesàro-convergente d'après un sens du Lemme 2 ci-dessus. Or \[f \circ ZZ(u,v) = ZZ(f\circ u,f \circ v).\] Comme $f\circ u$ et $f\circ v$ sont Cesàro-convergentes, leurs Cesàro-limites sont égales, d'après l'autre sens du Lemme ci-dessus.
En particulier, si $v$ est la suite constante de valeur $M(u)$, alors \[M(f\circ u) = M(f \circ v) = f(M(u)).\]
Maintenant, pour démontrer que $f$ est affine, il suffit de démontrer que pour tous $x,y\in \mathbb{R}$ et $\lambda \in [0,1]$, on a \[f((1-\lambda)x+\lambda y)= (1-\lambda)f(x) + \lambda f(y).\]
Pour cela, soit $(x,y,\lambda)\in \mathbb{R}^2 \times [0,1]$. Soit $u$ une suite de $0$ et de $1$ qui est Cesàro-convergente, de limite $\lambda$ (cela existe d'après le Lemme 3).
On considère la suite \[v := n \mapsto (1-u_n)x + u_n y.\] Alors \[f\circ v = n \mapsto (1-u_n) f(x) + u_n f(y).\]
Donc, d'après le Lemme 1, $v$ est Cesàro-convergente de limite $(1-\lambda) x+\lambda y$ et $f(v)$ est Cesàro-convergente de limite $(1-\lambda) f(x) + \lambda f(y)$, et d'après ce qu'on vient de voir, \[M(f \circ v) = f(M(v)),\]et donc \[f((1-\lambda) x + \lambda y) = (1-\lambda)f(x) + \lambda f(y).\]