Soit $A$ un anneau, $I$ un idéal de $A$ et $J$ un idéal de $A/I$. Alors $(A/I)/J$ est isomorphe à $A/(I, \pi^{-1}(J))$, où $\pi : A \to A/I$ est la projection canonique. A toi de chercher à le montrer avec des résultats usuels.
sage: K = FiniteField(2)
sage: R.<x,y> = PolynomialRing(K,2)
sage: I = R.ideal([y^2+y+1,x^2+x+y])
sage: I.elimination_ideal([y])
Ideal (x^4 + x + 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Finite Field of size 2
sage: f = x^4+x+1
sage: f.is_prime()
True
sage: f.factor()
x^4 + x + 1
Hem. J'allais objecter qu'il y a quand même une élévation au carré mais en caractéristique $2$, ce n'est pas la mer à boire non plus. J'aurais pu être moins paresseux et au moins regarder de quoi il retourne.
Tu peux commencer par vérifier que $J=\pi^{-1}(J)/I$, puis définir un morphisme de $A$ vers $(A/I)/J$, montrer qu'il est surjectif et déterminer son noyau.
Le pont entre $X^2+X+Y\in \mathbb F_2[X,Y]$ et $X^2+X+y\in (\mathbb F_2[Y]/(Y^2+Y+1)[X]$ n'est-il pas jeté si $y$ est l'image de $Y$ dans le quotient ?
Réponses
J'ai essayé de démontrer ta proposition mais je n'y arrive pas. Merci de m'aider un peu plus.
Peux tu m'expliquer en détail ta démarche car je suis un peu perdu dans cet exercice.
En te remerciant.
Merci avec beaucoup de patience de reprendre avec moi ce qui suit.