Et si $\alpha$ n'est pas réel ?
- Déterminer le développement en série entière $\displaystyle\sum_{n\geq 0} a_n x^n$ de la fonction $x\mapsto (1+x)^{\alpha}$.
- Montrer qu'il existe $C\in \R_+^*$ tel que $|a_n|\underset{+\infty}{\sim} C n^{-\alpha-1}$. On pourra poser $b_n =|a_n| n^{\alpha+1}$ et étudier $v_n=\ln(b_{n+1})-\ln(b_n)$.
- Déterminer les valeurs de $\alpha$ telles que la série $\displaystyle\sum_{n\geq 0} a_n$ converge, et calculer sa somme dans ce cas.
La première question est une question de cours. On trouve classiquement que pour tout $n\in\N$ : \[a_n=\binom{\alpha}{n}=\frac{1}{n!}\prod_{k=0}^{n-1} (\alpha-k)\]L'indication de la deuxième question permet de prouver que la série $\displaystyle\sum_{n\geq 0} v_n$ converge et de conclure pour obtenir l'équivalent de $|a_n|$.
On en déduit alors que la série de la troisième question est absolument convergente lorsque $\alpha >0$ (et bien sûr lorsque $\alpha=0$), qu'elle est grossièrement divergente lorsque $\alpha\leq -1$. On arrive ensuite à prouver qu'elle vérifie le critère des séries alternées lorsque $\alpha\in \left]-1,0\right[$ et que la série entière converge uniformément sur $\left[0,1\right[$, ce qui permet de conclure.
La question qui m'est alors venue est : "Qu'en est-il si $\alpha \in \C$ ?"
Ma réflexion jusque là.
- Le développement en série entière est encore valable, quelque soit la valeur de $\alpha \in\C$.
- La même technique que la question 2) permet de prouver qu'il existe $C\in \R_+^*$ tel que $|a_n|\underset{+\infty}{\sim} C n^{-\Re(\alpha)-1}$.
- On en déduit de la même façon les résultats suivants :
- si $\Re(\alpha) >0$, la série de la dernière question est absolument convergente et donc la série entière uniformément convergente sur $[0,1]$, ce qui permet de conclure ;
- si $\Re(\alpha) \leq -1$, cette même série diverge grossièrement.
Réponses
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Tu as regardé du côté du théorème de Tauber ?
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Ni le théorème original de Tauber, ni la version améliorée de Littlewood ne peuvent s'appliquer car $(n|a_n|)_{n\in\N}$ n'est pas bornée, dans le cas qui m'intéresse.Par ailleurs, je ne crois pas non plus que l'on puisse transformer l'écriture pour appliquer le théorème de Hardy-Littlewood-Karamata.
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Bonjour,J'ai l'impression que ce qui suit atteste bien du caractère borné de la suite $(S_n)$.$v_n := u_{2n}+ u_{2n+1}. \quad $ Il suffit de prouver que $\{\sum_{k=0} ^n v_k \mid n \in \N^*\}$ est borné.$\alpha= a+b\mathrm i, \:\: -1<a\leqslant 0, \quad b>0, \quad u_n = \dfrac{a_n}{|a_n|} = \displaystyle \exp \left( \mathrm i \sum_{k=0}^{n-1}\text{Arg}(\alpha- k)\right)= \exp \left( \mathrm i \sum_{k=0}^{n-1}\pi -\text{arctan}\left(\frac b{k-a}\right)\right).$Notons: $t_n=: \text{arctan}\left(\frac b{n-a}\right), \:\:\: T_n:= \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} t_k. \quad $ Alors: $ \:\: u_n = (-1)^n \exp (-\mathrm i T_n).\quad t_n\underset{n\to + \infty}\sim \dfrac bn, \quad t_n - t_{n+1} = O\left( \dfrac 1{n^2} \right).$$2v_n = 2\mathrm e^{ \left( -\mathrm i T_{2n}\right) }\left( 1-\mathrm e^{-\mathrm i t_{2n}} \right) = 2\mathrm i\mathrm e^{ \left( -\mathrm i T_{2n} \right)}\left (t_{2n}+ O\left(\frac 1{n^2}\right)\right ).$D'autre part: $\quad \mathrm e^{-\mathrm i T_{2n}} -\mathrm e^{-\mathrm i T_{2n+2}}=\mathrm e^{-\mathrm i T_{2n}}\left(1-\mathrm e^{-\mathrm i t_{2n} - \mathrm i t_{2n+1}} \right) =\mathrm i\mathrm e^{ \left( -\mathrm i T_{2n} \right)}\left (t_{2n}+t_{2n+1}+ O\left(\frac 1{n^2}\right)\right )=2\mathrm i\mathrm e^{ \left( -\mathrm i T_{2n} \right)}\left (t_{2n}+ O\left(\frac 1{n^2}\right)\right ).$$$2v_n-\left( \mathrm e^{-\mathrm i T_{2n}} -\mathrm e^{-\mathrm i T_{2n+2}}\right) = O\left(\dfrac 1{n^2}\right).$$$\exists K \in \R^+$ tel que: $ \quad \forall n \in \N, \qquad \left|\displaystyle \sum _{k=0}^n \left(v_k - \dfrac { \mathrm e^{-\mathrm i T_{2k}} -\mathrm e^{-\mathrm i T_{2k+2}}}2 \right) \right|<K, \quad \displaystyle \left|\sum_{k=0}^n v_k \right| < K+1.$
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Merci @LOU16 et bravo !Il me manquait juste ton avant-dernière ligne. J'avais pensé à mettre des arctangentes et à user de développements asymptotiques de ta suite $(v_n)$ mais je n'ai pas trouvé la bonne série télescopique qui aurait le même développement.Je vais pouvoir rédiger cela proprement, au cas (peu probable cette année, mais sait-on jamais) où un élève me poserait la question.
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Je suis peut-être à côté du sujet mais il me semble qu'on peut montrer assez directement que la série converge quand $-1<\alpha\leq 0$.On a$$a_{n}=\frac{1}{n!}\prod_{k=1}^{n}\alpha+1-k=(-1)^{n}\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}$$
Maintenant si \alpha\in]-1,0] on a \alpha+1\in]0,1] et 1-\frac{\alpha+1}{k}>0. Ensuite
\log\left(\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=\sum_{k=1}^{n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)
Comme
\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\frac{\left(\alpha+1\right)}{k}+O\left(k^{-2}\right)\Rightarrow\sum_{k=1}^{n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\left(\alpha+1\right)\log(n)+O(1)on a
\exp\left(\sum_{k=1}^{n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)\right)\ll\frac{1}{n}
Ainsi a_{n}=(-1)^{n}b_{n} avec b_{n}>0 et b_{n}\ll\frac{1}{n} donc \sum a_{n} converge.Edit 1. Je suis à côté du sujet!Edit 2. Voici ma version corrigéeOn a$$a_{n}=\frac{1}{n!}\prod_{k=1}^{n}\alpha+1-k=(-1)^{n}\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}$$Ensuite on a en utilisant la formule de Gauss pour la fonction $\Gamma$ : $$\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}=\frac{n^{-\alpha}}{\Gamma\left(-\alpha\right)}\left(\frac{1}{n}+\frac{\alpha\left(\alpha+1\right)}{2n^{2}}+O\left(n^{-3}\right)\right).$$Donc$$\sum_{k=1}^{N}a_{k}=\frac{1}{\Gamma\left(-\alpha\right)}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k}}{k^{1+\alpha}}+X_{N},$$où $X_{N}$ est une chose qui converge lorsque $N$ tend vers l'infini lorsque $-1<\Re\alpha\leq0$. Comme $\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k}}{k^{1+\alpha}}$ converge dès que $\Re\alpha+1>0$ on en déduit que $\sum a_{n}$ converge si $-1<\Re\alpha\leq0$. -
Je ne comprends pas le problème avec ma méthode. Il suffit ensuite d'appliquer le théorème de continuité d'Abel étendu aux complexes :
1) Si $\sum a_{n}z^{n}$ converge vers $f(z)$ pour tout $z$ vérifiant $\left|z\right|\in[0,1[$
2) $\lim_{z\rightarrow1}f(z)=\ell$ avec $z$ dans un secteur de Stoltz (ici $z$ réel $\rightarrow1^{-}$ marche)
3) $\sum a_{n}$ converge
Alors on a nécessairement $\sum a_{n}=\ell$Non ? -
Je pense que ta méthode est correcte mais elle utilise le théorème d'Abel et la formule de Gauss donnant la fonction $\Gamma$.Ces deux choses pourraient faire l'objet d'un exercice à part entière...L'idée était plutôt de trouver une méthode que des élèves (très) doués pourraient trouver par eux-mêmes.Utiliser la transformation d'Abel me parait une méthode parfaitement adaptée, car facile à retenir (ce n'est rien d'autre qu'une IPP discrète), à mettre en œuvre et à prouver : il suffit d'écrire le calcul.On redémontre ainsi un cas particulier du théorème d'Abel, mais sans le savoir.
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Merci je comprends la philosophie.@bisam Edit: Sans la formule de Gauss on peut quand même montrer la convergence à condition d'admettre l'utilisation du log. En effet de
$$a_{n}=(-1)^{n}\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}$$
on a $\sum a_{n}=\sum b_{n}$ avec
$$b_{n}=\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}-\prod_{k=1}^{2n+1}1-\frac{\alpha+1}{k}=\frac{\alpha+1}{2n+1}\left(\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)$$
En prenant le logarithme complexe
$$\log\left(\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=\sum_{k=1}^{2n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)$$
comme $\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\frac{\alpha+1}{k}+O\left(k^{-2}\right)$ on obtient
$$\log\left(\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\left(\alpha+1\right)\log2n+O(1)\Rightarrow\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}=(2n)^{-\Re\alpha-1}f(n)$$
où $\left|f\right|$ est bornée. On a donc
$\left|b_{n}\right|\ll\frac{1}{n^{2+\Re\alpha}}$ et comme $2+\Re\alpha>1$ on conclue que $\sum a_{n}$ converge.Je ne sais pas si ça reste dans le cadre des programmes.
Bonjour!
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