Un tour en orbite autour de l'arbre de Collatz
Bonne année aux shtameurs avec ces quelques tours en orbite autour de l’arbre de Collatz.
Commençons par générer un arbre comme celui de la figure illustrant l’article de Wikipedia sur la suite de Collatz :
En se passant de sa complexe représentation circulaire, notre script VBA présentera dans un tableur sous forme de lignes et de colonnes exactement la même collection d’entiers (pour 20 orbites dans cette figure). C’est moins joli, mais les données seront bien plus faciles à analyser.
Le script est copié en fin de message. Il fonctionne très bien dans la mesure où on ne dépasse pas 34 itérations (ou orbites). Le but n’est pas de battre des records de calcul mais d’observer la structure de cet arbre. Voici les 13 premières lignes.
1
2
4
8
16
32 5
64 10
128 20 21 3
256 40 42 6
512 80 84 12 85 13
1024 160 168 24 170 26
2048 320 336 48 340 52 341 53
4096 640 672 96 680 104 682 106 113 17
En allant jusqu’à 20 orbites comme sur l’arbre de Wikipedia, on obtient 433 entiers dont 90 impairs (1 exclus) qui sont dans leur ordre d’apparition :
(1), 5, 21, 3, 85, 13, 341, 53, 113, 17, 1365, 213, 227, 35, 453, 69, 75, 11, 5461, 853, 909, 141, 151, 23, 1813, 277, 301, 45, 7, 21845, 3413, 3637, 565, 605, 93, 15, 7253, 1109, 1205, 181, 29, 7281, 1137, 201, 87381, 13653, 14549, 2261, 2421, 373, 61, 2417, 369, 401, 9, 14563, 2275, 403, 29013, 4437, 4821, 725, 117, 29125, 4549, 805, 4849, 753, 4835, 739, 803, 19, 349525, 54613, 58197, 9045, 9685, 1493, 245, 9669, 1477, 1605, 37, 58253, 9101, 1613, 241, 9699, 1507, 1611, 267
Si vous exécutez le script VBA, vous pourrez analyser toutes les données par vous-mêmes, mais on peut tirer les mêmes conclusions en observant ces quelques lignes. On voit en effet que chaque arrivée dans l’arbre d’un nouvel impair crée une colonne. Pour compter les impairs de l’arbre, il suffit donc de compter les colonnes. C’est simple ! Les deux dimensions de l’arbre sont donc les puissances de 2 s’incrémentant à chaque ligne et le nombre d’impairs correspondant au nombre de colonnes créées.
La croissance de l’arbre suit une courbe exponentielle où la population double environ toutes les 4 lignes. On remarque que les 90 impairs listés ci-dessus se situent entre 3 et 349525, soit une densité de 5 pour 10000 environ. En poussant à 34 orbites, on trouve 1878 impairs avec une densité de 2.6 pour un million. Malgré cette très forte dispersion, les valeurs s’agrègent en clusters et suivent des alignements en marche d’escalier comme on peut le voir ici :
Clin d’œil au JWST qui s’approche de son orbite finale pour observer les premières lueurs de l’univers, la répartition de la matière dans l’univers (amas de galaxies, galaxies...) ressemble un peu à cette distribution : la matière n’occupe qu’une infime partie du volume de l’univers observable et tend à se localiser dans de ‘’petites’’ zones.
Cet arbre, qui ne contient évidemment aucun doublon, peut croitre de manière infinie (si on dispose bien sûr de la version Excel de Dieu le Père). Mais même sans aller jusque-là, on voit vite qu’il sera difficile d’obtenir des séries continues d’impairs très longues : avec 34 orbites et une valeur impaire maximale atteinte de 1.431.655.765, la série à partir de 3 s’arrête piteusement à 25 malgré le fait qu’on ait généré 1878 impairs (sur un total de 8985 si on inclut les pairs).
On sait en effet que l’impair 27 est un recordman de temps de vol et il faudrait un arbre de 111 orbites pour l’inclure. Mais cet arbre contiendrait alors environ 212 milliards d’impairs (825 milliards d’entiers en incluant les pairs). Avec une telle quantité pour arriver à 27, celui qui voudrait faire entrer l’ensemble des entiers naturels impairs dans un arbre de Collatz constaterait un étrange paradoxe : imaginons qu’une personne ajoute l’impair successif à partir de 1 à chaque fois qu’une autre ajoute une orbite à l’arbre. L'ensemble des impairs de l’arbre sera à la fois immensément plus grand que la collection linéaire des impairs (en nombre et en valeur maximale atteinte) tout en étant incapable de contenir strictement tous les éléments de celle-ci. Amusant, non ?
Si on peut admettre de par les calculs massifs qui ont été faits que tout entier appartiendrait à un arbre de Collatz, il reste que l’ordre propre à l’arbre est tellement déformé qu’il n’est pas très sain de penser qu’une infinité d’orbites corresponde au même ensemble que n+1. En effet une infinité d’orbites donnerait une infinité de trous qui si on voulait les combler produirait une nouvelle infinité de trous plus grande encore. La seule chose que l’on peut dire est qu’une série continue d’impairs – en théorie aussi longue que l’on veut - peut être incluse dans un arbre parce qu’il y a forcément un nombre d’orbites qui l’inclura, mais le prix à payer sera la génération d’une myriade d’entiers hors de cette série.
Un peu de généalogie ‘’collatzienne’’ maintenant. Le propre de l’arbre est de contenir toute la généalogie des éléments qu’il contient, puisqu’il est la réunion de tous les chemins possibles au sein d’un nombre donné d’orbites (qui sont donc assimilables selon cette comparaison à des générations). Notons ici que si un arbre est développé en n orbites, on est toujours sûr que quelque soit l’entier que l’on choisira en dehors des entiers appartenant déjà à cet arbre, il entrera toujours dans celui-ci par un des points de son orbite extérieure. On connait donc toujours tous les débuts de tous les chemins infiniment possibles.
En généalogie traditionnelle, on utilise souvent un codage concaténant par génération les ordres de naissance de chaque descendant. Cette méthode s’applique sans soucis aux chemins contenus dans l’arbre. Prenons par exemple 11 que nous écrivons : 2^4.2.1.1. Cela veut simplement dire que pour aller de 16 à 11, on passe par les étapes 5, 13 et 17. Dans le codage, 5 c’est 2^4 puisque 2^4-1/3 = 5. Le 13 est le deuxième descendant de 5 (puisque 3 issu de 10 est son premier descendant). Puis 17 étant le premier descendant de 13, on arrive à 2^4.2.1. Enfin 11 étant aussi le 1er descendant de 13, le codage final est bien : 2^4.2.1.1. Voici quelques exemples :5 2^4 1365 2^12
21 2^6 213 2^4.4
3 2^4.1 227 2^10.1
85 2^8 35 2^4.3.1
13 2^4.2 453 2^8.2
341 2^10 69 2^4.2.2
53 2^4.3 75 2^8.1.1
113 2^8.1 11 2^4.2.1.1
17 2^4.2.1 5461 2^14
Le 39 situé sur la dernière orbite a le codage 2^4.2.1.1.2.1.2.1.1.1.1
L’utilité de ce codage est de facilement répertorier les descendances par filtrage textuel : par exemple pour 34 orbites, 955 descendants sont issus de 5 (2^4) soit 50% de la population impaire. Pour 85 (2^6), on trouve 362 descendants (19%), et pour 341 (2^10), 341 descendants (18%). Le 13, 2ème descendant du 5, a 441 descendants (24%) et le 53, 3ème descendant du 5, 301 (16%).
Si on regarde ce codage, on se dit aussi que l’on pourrait directement fabriquer des lignées aussi longues que l’on veut en posant des numéros générationnels au hasard. On peut le faire mais certains codages seront à éliminer du fait que les descendants multiples de 3 sont stériles. Dans la série qui suit, une lignée de 6 générations limitée à 4 descendants par génération ne donne que 297 combinaisons valides sur les 4096 possibles.
2^4.2.1.1.1.2.1. 5.13.17.11.7.37.49.
2^4.2.1.1.1.2.2. 5.13.17.11.7.37.197.
2^4.2.1.1.1.2.4. 5.13.17.11.7.37.3157.
2^4.2.1.1.1.3.2. 5.13.17.11.7.149.397.
2^4.2.1.1.1.3.3. 5.13.17.11.7.149.1589.
2^4.2.1.1.2.1.1. 5.13.17.11.29.19.25.
……
2^4.3.4.4.3.2.4. 5.53.2261.96469.2058005.5488013.234155221.
2^4.3.4.4.3.4.1. 5.53.2261.96469.2058005.87808213.117077617.
2^4.3.4.4.3.4.2. 5.53.2261.96469.2058005.87808213.468310469.
2^4.3.4.4.3.4.4. 5.53.2261.96469.2058005.87808213.7492967509.
Tout impair i s’écrirait donc 2^n.g1.g2.g3……gn . On peut très bien concevoir un programme qui génèrerait aléatoirement une lignée de n générations et n descendants, puis vérifierait par calcul que le codage est valide. Ou alors, on commencerait à la première génération avec une valeur aléatoire qui si elle est validée, permettrait de générer un nouvel aléatoire qui sera également à valider avant de passer à la génération suivante. Si on ne tient pas compte des limites calculatoires, ce programme peut prolonger la lignée de manière infinie. On peut donc faire croitre n’importe quelle ramification de manière infinie, mais aussi dans toutes les directions puisque chaque numéro de descendant correspond à une bifurcation dans la ramification.
Finissons sur le rapport des pairs et des impairs dans notre arbre. Il serait tout à fait possible de générer un script qui ne garderait que les impairs comme dans cette liste.
ligne 0 1
ligne 1 x
ligne 2 x
ligne 3 x
ligne 4 x
ligne 5 5
ligne 6 x
ligne 7 21 3
ligne 8 x
ligne 9 85 13
ligne 10 x
ligne 11 341 53
ligne 12 113 17
ligne 13 1365 213 227 35
ligne 14 453 69 75 11
L’exposant de la puissance de 2 étant celui du numéro de ligne, il y a suffisamment d’information pour se passer des étapes paires dans cet arbre ‘’condensé’’. Si on gagne en lecture en gardant les pairs car on comprend mieux grâce à eux d’où viennent les nouveaux impairs, cette information reste redondante. En fait le tableau idéal serait celui, qui en ne gardant que les impairs, donnerait l’adresse (ligne, colonne) de chacun en y associant le codage de sa lignée et la longueur de celle-ci :
En créant un graphique en nuage de points où x est la valeur ‘’ligne’’ et y celle de l’impair i, puis en filtrant par la lignée et par la longueur, on arrive à sélectionner aisément un alignement :
Avant filtrage :
Après
filtrage des codes de longueur 3 :
Après filtrage des codes de longueur 3 et commençant par 2^4 :
Les alignements correspondent donc strictement à la longueur de la lignée, le filtrage par 2^n ne sélectionnant que les impairs de cette descendance sur la ligne sélectionnée. La ligne du haut est celle de valeur 0 qui correspond aux impairs directement issus des puissances de 2. Onze alignements sont visibles sur le graphique non filtré, correspondants bien aux valeurs de longueur de 0 à 10 (la ligne 10 ne contenant que le i = 39).
De ce fait, tous les i d’un arbre dont la longueur de
lignée est de 3 et l’ancêtre 2^4 aurait une valeur estimée à i = 0,0003439307*e^(
0,6944361599*val_ligne). Cela permet surtout de se faire une idée assez précise
d’un cluster qui est un agrégat d’impairs autour d’une valeur estimée par la tendance
de l’alignement. On voit par exemple que pour la ligne 23, dont l’estimation i
= 2973, les 4 impairs de l’arbre sont (2901, 3013, 2957, 3033).
Remarquons d’ailleurs que tous les i de longueur 3 quel que soit le 2^n de départ sont dans ce cluster :
Si on a calculé intégralement une orbite, le cluster est un ensemble de valeurs proches correspondant à plusieurs colonnes produisant des résultats sur cette orbite (ou ligne). Dans ce cas, ils correspondent toujours à une lignée de même longueur. Sur le graphique ‘’ Sélection des alignements avec le codage et la longueur de la lignée’’ (ci-dessus) le cluster est un amas de points sur la même verticale correspondant à une ligne, et sur le graphique ‘’Distribution des impairs pour un arbre de 34 orbites’’ le cluster est une des marches d’escalier dans un alignement (dans ce cas l’abscisse correspond au numéro de colonne).
Voyons maintenant comment se remplirait complétement une plage d’entiers définie par la borne d’entrée et sortie d’un cluster. Prenons par exemple un cluster situé en ligne 23 de longueur de lignée 4 qui contient 4 impairs {469, 497, 483, 535}. On cherchera donc tous les impairs entre 471 et 533 à l’exception de 497 et 483. Dans l’arbre de 34 orbites, on trouve au total 8 impairs :
La plage complète de 469 à 535 est remplie à condition de construire un arbre de 142 orbites qui contiendrait en théorie environ 3.6*10^14 impairs. On s’est évidemment contenté ici de calculer chacun des chemins inclus dans cette plage. On observe que les 34 impairs appartiennent à 14 clusters qui sont tous le résultat d’une orbite et d’une longueur spécifique.
Le remplissage d’une plage définie par les bornes d’un premier cluster se fait par l’apport d’autres clusters générés par des orbites ultérieures jusqu’à ce que tous les éléments de la plage aient été trouvés. Le principe est d’attendre d’une orbite à l’autre la bonne combinaison de l’orbite et de la longueur de lignée permettant la création d’un nouveau cluster inclus dans la plage recherchée.
Les longueurs de lignée sont de plus en plus grandes au fur et à mesure du nombre d’orbites (la relation ligne/longueur est linéaire), mais ces valeurs ne sont ni continues, ni régulières : 4, 6, 7, 9, 14, 16, 19, 21, 26, 33, 38, 43, 45, 50. On constate aussi qu’il y a souvent une forte relation de descendance dans la colonne des lignées. Par exemple les descendants d’un ancêtre commun 2^4.3.1…. (i=513 dans le cluster 4) apparaissent dans les clusters 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, et 14. Le premier cluster contient si on regarde bien tous les départs de lignées que l’on trouve dans tous les autres (2^4.2.1., 2^4.3.1., 2^8.1.3.). Les clusters sont donc à nos yeux, la relation la plus forte que l’on puisse trouver entre la valeur d’un impair et sa position dans l’arbre.
L’hypothèse est que si un arbre de taille infinie équivaut a priori à une combinatoire infinie de lignées quant à leur longueur et leurs ordres de descendance, alors n’importe quel impair y trouvera sa propre lignée. Reste évidemment à le démontrer mais une piste pour le faire serait de montrer que si une plage définie par les bornes d’un cluster est remplissable par l’apport d’autres clusters issus d’orbites ultérieures, alors toutes les plages le sont de la même façon, et qu’in fine l’ensemble des entiers naturels impairs est la réunion infinie de toutes les plages possibles. Et dans ce cas qu’importe que le futur de l’arbre soit un chantier permanent plein de trous à combler, si la capacité d’agrégation des clusters les remplira toujours un jour.
Nous pensons donc qu’au-delà de sa complexité purement mathématique, cette conjecture repose aussi sur une matérialité qui est celle des algorithmes et du traitement de l’information contenue dans des données qui ne sont pas forcément issues de calcul massifs. Comme nous avons essayé de vous le présenter ici, l’analyse structurelle des données n’est pas dépendante d’une masse de calcul mais de l’observation de l’arbre et de tous les mécanismes qui concourent à le construire. Cette méthode est à nos yeux féconde pour la compréhension de nombreux points de cette conjecture, et pas forcément que des plus triviaux.
Le script VBA (les deux lignes ‘’Application.ScreenUpdating’’ ne sont pas indispensables mais elles permettent une exécution plus rapide en bloquant l’affichage durant le calcul)
Dim x As Long
Dim y As Long
Dim P As Long
Dim I As Long
Cells.Select
Selection.ClearContents
Range("A1") = 1
Application.ScreenUpdating = False
For L = 1 To 34
Range("A1").Select
ActiveCell.Offset(L - 1, 0).Select
x = 0
Do Until ActiveCell = ""
ActiveCell.Offset(0, 1).Select
x = x + 1
Loop
ActiveCell.Offset(1, -x).Select
For P = 0 To x - 1
ActiveCell = ActiveCell.Offset(-1, 0).Value * 2
ActiveCell.Offset(0, 1).Select
Next
For I = 1 To x
y = ActiveCell.Column
If Int((ActiveCell.Offset(-1, -(y - I)).Value - 1) / 3) = (ActiveCell.Offset(-1, -(y - I)).Value - 1) / 3 Then
ActiveCell = (ActiveCell.Offset(-1, -(y - I)).Value - 1) / 3
If ActiveCell Mod 2 = 1 And ActiveCell.Value > 1 Then
ActiveCell.Offset(0, 1).Select
Else
ActiveCell.ClearContents
End If
End If
Next
Next
Application.ScreenUpdating = True
Réponses
Dom
Les affaires reprennnent !
Bon, en fait, je n'ai pas l'impression. j'ai lu en diagonale, une ligne sur 10 à peu près. Et j'ai l'impression que c'est une redite des tout premiers messages que tu avais postés à l'époque. Donc au mieux, dans 10 ou 20 messages comme celui-ci, tu auras recopié la discussion précédente.
Sans moi cette fois-ci.
Meilleurs voeux !
Le texte est effectivement long parce qu'il commente la façon dont je m'y suis pris pour me faire une conviction personnelle sur cette conjecture.
Pour faire une synthèse rapide donc : je pense que tout dépend de l'arbre et que les chemins individuels vers 1, les montées et les descentes et tout le reste n'ont aucun intérêt. Ce qui relie mon ancien post et celui-ci sont les clusters mais cette notion a pris un nouveau sens qui je pense est maintenant le bon.
Notion principale : L'arbre tend à englober tous les entiers, il peut toujours le faire dans le futur mais n'y arrivera jamais dans le présent. L'arbre est donc perpétuellement en chantier par rapport à son but et cela est une forme de paradoxe.
Pour comprendre faisons une métaphore. Imaginons que nous voulions construire une ville idéale. On va commencer par construire une première base sur la base des meilleurs principes d'urbanisme et d'architecture. Mais comme nous voulons construire la ville idéale, cela ne nous conviendra jamais et nous allons ou ajouter de nouvelles choses ou transformer ce qui existe déjà. Paradoxe : pour les habitants de cette ville qui veut être idéale, la vie est un enfer du fait qu'elle est toujours en chantier. C'est la pire des villes où vivre.
Le chantier de l'arbre c'est que pour remplir du ''plein" il crée en permanence du "vide". L'arbre a une capacité de croissance infinie mais le rapport entre l'entier maximum et la population tend vers 0. Il devient donc infiniment troué. Mais il y a un paradoxe : tandis qu'il crée des trous, il remplit aussi ceux qu'il a créés auparavant et c'est là que les clusters interviennent : ils sont les ''remplisseurs''.
Je reviendrais en plusieurs posts sur les points principaux du premier texte.
S’appuie-t-elle sur des statistiques ? Sur des fondements mathématiques ?
2) « il [l’arbre] peut toujours le faire dans le futur mais n'y arrivera jamais dans le présent »
hum… on est en maths… il n’y a pas de présent, ni de futur…
Attention aux contrôles de police, parce que je pense que tu es encore positif.
Bon retour, et je te souhaite un bon rétablissement.
Et donc pour répondre à Dom sur une atemporalité mathématique :
L'arbre ne peut exister que grâce à l'algorithme qui le fabrique. Si la notion de temps te gêne en maths, alors parlons d'orbites.
Un arbre existe physiquement si ses orbites ont été générées par l'algorithme : cette partie existante, que l'on peut analyser, son présent donc, c'est "n orbites" avec une population d'entiers dedans.
Et ce qu'on voit surtout c'est des trous : 34 orbites c'est 1879 impairs répartis de 1 à 1.431.655.765. Même le gruyère est dense à côté.
Mais le ''futur" de cet arbre qui commence donc ici à l'orbite 35 remplira tous ces trous par l'effet des clusters sur lesquels je reviendrai.
Sauf qu'en remplissant ces trous à une certaine orbite x, il s'en créera énormément d'autres qui seront bien sûr remplis si on va jusqu'à l'orbite nécessaire pour le faire, mais en en créant encore d'autres. C'est le paradoxe du chantier permanent.
@lourran
Non pas de substances mais de longues méditations. Donc tu as lu "clusters" et tu te dis que je ressert le même plat. Mais non! Prenons ce graphique si semblable à mon approche précédente, et pourtant si différent.
Oui les clusters sont là. Mais la collection d'impairs que tu vois ici, c'est la réunion de toutes les étapes impaires de tous les chemins possibles des orbites 1 à 34. Et ce n'est plus du tout la même chose qu'en faisant des réunions de chemins obtenus en incrémentant des entiers.
Les nombres qui arrivent à 1 après 34 multiplications par 3 et 150 divisions par 2 et des petites additions de petits 1, ces nombres là proviennent d'un groupe 'homogène'.
Oui !!! A l'époque, ça te surprenait. Tu as fini par comprendre pourquoi. Et tu nous le ressers.
Bon, j'ai dit que ce serait sans moi, il faut que je fasse un effort.
Quelle est ta conviction sur cette conjecture ?
a) la population de l'arbre est croissante (doublement toutes les 4 orbites) et il n'y a jamais de doublons. Ceci implique une capacité infinie à créer des entiers. Donc à l'infini l'arbre serait l'ensemble des entiers naturels. Ce qui réglerait la conjecture, non? Mais il y a un hic dans le schéma de croissance de l'arbre.
b) Quand l'arbre croit, la densité se calcule avec le ratio population/i_max (i_max = le plus grand entier de l'arbre). La densité de l'arbre à une orbite est n est égale à 63% de celle de l'orbite n-1. Ce qui fait qu'il y a de plus en plus de trous et qu'il est difficile d'avoir des séries continues. Pour mémoire, à l'orbite 34, on a tous les impairs de 1 à 25. Il faudrait un arbre de 111 orbites et contenant environ 10^14 entiers pour enfin avoir le 27.
c) Mais il y a un mécanisme compensatoire qui est la ''clusterisation''. Au prix d'une très forte augmentation de la population, une plage définie par les bornes d'entrée et de sortie d'un cluster, et qui ne contient donc que quelques éléments, se remplira méthodiquement au fil des nouvelles orbites avec d'autres clusters qui ont une relation avec le premier. Ce qu'on expliquera dans le prochain post.
Quelle est ta conviction sur cette conjecture ?
Donc il n'y a rien de nouveau, en ce qui concerne la conjecture de Collatz, c'est ça ?
a) On peut noircir une feuille de papier selon deux méthodes. Linéairement et simplement en faisant des lignes de haut en bas. Ou de manière non linéaire, en faisant quelques figures géométriques un peu partout jusqu'à ce que la feuille soit remplie de ces figures. Mais les figures seront pleines de blanc à l'intérieur et il y aura des espaces entre les figures. Alors on tracera des lignes entre tous les points, ce qui laissera encore des blancs, et on continuera avec les nouveaux points de faire d'autres lignes. Cette méthode qui s'apparente à la tessellation d'une surface est ''presque'' interminable et va demander énormément d'itérations si on s'oblige à toujours tracer des lignes pour couvrir le blanc.
b) un cluster apparait sur une même orbite quand on regroupe les éléments ayant la même longueur de lignée.
Ici à l'orbite 23, le cluster de 4 éléments de longueur 5 va de 469 à 535. Les trous à remplir sont tous les impairs compris entre ces bornes et non inclus dans ce cluster.
c) il faut, à l'image de la ''tessellation" de la page blanche, beaucoup d'orbites pour remplir ce cluster. On passe en effet à 142 orbites et un arbre contenant quasi 10^15 entiers pour y arriver... mais on y arrive :
d) on constate que les lignées du premier cluster sont les débuts de tous les autres : 2^4.2.1., 2^4.3.1., 2^8.1.3. Ils sont donc bien tous des descendants des grands-parents des 4 membres du premier cluster.
e) l'agrégation des clusters remplit donc les plages situées entre les bornes du premier cluster, et comme ce mécanisme vaut pour tous les clusters de toutes les orbites, l'arbre se remplit progressivement de plages continues et la page finit par se noircir.
Confirmes-tu que tu n’as rien apporté de nouveau sur cette conjecture de Collatz ?
a) l'arbre dans un tableau a deux dimensions avec les lignes qui représentent les orbites et les colonnes qui sont créées pour chaque nouvel impair arrivant dans l'arbre.
b) Mais ces deux dimensions sont trompeuses car à l'infini l'arbre tendrait vers une ligne. En effet pour 34 orbites on a 35 lignes pour 1879 colonnes donc un ratio proche de 1/54. En théorie, si l'arbre avait 111 orbites (celle qui héberge le 27), le ratio tomberait à 1/10^9. Vu de loin, c'est quasi une ligne.
c) quand on regarde le tableau tel que le script vba le génère (le script est copié à la fin du premier post), on voit bien que l'extension de l'arbre se fait par les impairs. Le nombre d'impairs, c'est le nombre de colonnes. Le ratio des impairs est d'environ 1/5 de la population. Les pairs sont des liaisons et les impairs des bourgeons, chaque nouvelle ramification est créé par eux.
d) les puissances de 2 qui sont dans la première colonne (le tronc) génère des impairs particuliers (5, 21, 3, 85, 341...) qui sont la souche des branches charpentières de l'arbre (celles qui partent directement du tronc). La plus grosse de celle-ci est celle du 5 qui supporte la moitié de la population de l'arbre.
Par contre j'essaie d'apporter un éclairage par l'observation pour laquelle je propose des outils : la macro vba peut être utile à certains par exemple.
Après ou s'arrête un raisonnement qui s'appuie sur des exemples fonctionnels, et où commence une démonstration, je te laisse y répondre.
Mais n'oublie pas que tout ce qui concerne Collatz vient d'algorithmes (ou j'ai rien compris) : donc l'analyse de leurs mécanismes, de leurs principes de fonctionnement est tout aussi important que l'aspect mathématique.
Quand je lis qu'il pourrait y avoir un entier très, très grand qui pourrait après je ne sais combien de montées et de descentes revenir à lui-même, c'est peut-être "mathématique" mais aucun algorithme ne le produira jamais au même titre que je ne peux pas être mon propre père (sauf dans Retour vers le futur évidemment).
Je n’ai pas compris s’il y avait de nouvelles conjectures.
a) Au plus simple : L'ensemble des entiers naturels est une arborescence de souche 1 et de croissance i*2^n où chaque solution entière impaire >1 de i*2^n-1/3 crée une nouvelle branche.
b) On a eu beau vérifier des milliards d'entiers, on a jamais pu trouver un seul contre-exemple
c) mais on n'arrive pas à le démontrer malgré ce qui me semble évident : l'arbre croit indéfiniment et peut indéfiniment remplir des plages d'entiers qui indéfiniment vont s'agréger les unes aux autres. Donc même s'il reste indéfiniment des trous, ils se rempliront indéfiniment.
d) le fameux contre-exemple hors de l'arbre : un très, très grand nombre, une sorte de ''super 27'', aurait 2 possibilités : sa suite diverge (donc elle est infinie) ou plus fort encore il boucle et revient sur lui même. Mais ces deux possibilités me semblent absurdes parce que :
Divergence infinie : une suite infinie crée de fait une infinité d'entiers. Tous les entiers de cette suite sont nécessairement dans le cas de ne jamais converger vers 1. Donc s'il y en a une infinité, pourquoi n'en trouve-t-on pas un seul dans la myriade des calculs réalisés à ce jour ? Parce qu'ils sont en dehors ? Très bien mais demain on aura une myriade de myriade d'essais, et il faudra encore dire que c'est en dehors. A ce stade, ce ''en dehors'' n'est-il pas plus simplement ''nulle part''?
Boucle : tout entier impair, et même ''super 27'', a un successeur impair après n itérations de l'algorithme. Et ''super 27'' après une suite de x successeurs redevient lui-même. Donc forcément il boucle et ne reviendra jamais à 1. "Super 27" est son propre père, ou son propre successeur. Si les maths admettent et démontrent cette possibilité, pourquoi alors il y a-t-il une conjecture puisque le contre-exemple théorique est démontré? Donc je suppose aussi que c'est une conjecture aussi ?
Si quelqu'un peut m'éclairer sur ce sujet...
Si tu veux rempli des pages avec des tableaux, c'est ton choix.
Par contre, évite des jugements comme "ces deux possibilités me semblent absurdes"
En écrivant ça, tu montres uniquement que tu n'as toujours rien compris à la question soulevée par cette conjecture, après des mois sur le sujet.
Pourquoi travailles-tu sur cette conjecture, si elle te semble absurde ?
c'est toi qui a écrit en aout 2021 "Imagine un nombre n, impair, très très grand. On monte par 3x+1, on redescend par x/2 ... On fait une série de plein de montées de descentes, parfois 3 ou 4 descentes qui se suivent pourquoi pas.
Et soudain, après quelques millions ou quelques milliards d'étapes comme ça, on retombe par une division par 2 sur le nombre n de départ. Pourquoi pas. C'est tout à fait possible.
Et du coup, on repart sur un cycle ... infiniment. Et on n'arrive jamais à 1."
Donc c'est très exactement ce que je décris comme le "contre exemple"
"Personnellement je ne vois pas comment c'est possible. Donc je veux bien plus d'argument sur ce point
Un type nommé PMF arrive, et il leur dit : De l'eau sur Vénus ? C'est absurde. De l'eau sur Saturne ? c'est absurde.
Je ne vois pas comment c'est possible, et comme vous ne savez pas me montrer un échantillon, ça confirme que c'est absurde.
Il a un drôle d'aplomb quand même, le PMF.
Les scientifiques se disent : on va envoyer une sonde sur Venus. Et on va mettre PMF sur orbite en même temps. Ras le bol de ces gens qui ne comprennent rien et qui disent que nos travaux sont absurdes.
Actuellement personne n'a publié de preuve valide qu'il existe ou pas des cycles non triviaux dans les positifs. Mais c'est un sujet dont on a déjà parlé la dernière fois probablement et j'ai dû oublier (toi aussi on dirait
@lourran : "le type nommé PMF" n'a rien contre l'eau sur Venus ou Mars. Mais j'ai un problème avec les cycles non triviaux dont je n'arrive pas à comprendre la logique. J'admets sans problème ne pas avoir le niveau pour le faire. Moi je vois un mécanisme dans la croissance de l'arbre qui crée des trous mais les rebouche aussi. Donc un mécanisme qui tend à englober tous les entiers positifs. Avec un peu plus de boulot, je pourrais surement être encore plus précis sur cet aspect-là.
Effectivement, cela tend à englober la majorité des entiers positifs. La question qui reste en suspens, et sur laquelle tu ne fais pas avancer la science, est :
Est-ce que cela englobe tous les entiers positifs (auquel cas la conjecture de Collatz serait vérifiée) ou seulement la grande majorité des entiers positifs (auquel cas les entiers n'y appartenant pas, aussi rares soient ils, serviraient de contre-exemple via cycle ou fuite vers l'infini)
Merci beaucoup pour ta contribution sympathique.
Ce que je voudrais rendre explicite c'est le mécanisme de remplissage. Les trous c'est facile à comprendre puisque on peut mesurer la dispersion des les premières orbites. Mais la manière de les remplir est tout de même complexe.
Ma piste repose sur deux observations : comment se forme un cluster puis comment les clusters collaborent pour ensemble remplir des plages d'entiers.
Comme ce système est en perpétuel recommencement finit par tout remplir - ou du moins tend à tout remplir parce qu'il y a toujours devant lui des trous qui se forment.
Alors évidemment on dira : mais les entiers "mystère", les "super 27" ils se cachent par là. Oui mais sauf si on montre que tout finit par se remplir.
"Au lieu d'améliorer ce niveau, des essais avec des nombres dont on sait que les suites engendrées terminent à 1. "
Brillante démonstration de ta part que tu n'as pas lu ni compris grand chose à ce que j'ai publié
Je ne parle que de l'arbre donc pas des suites individuelles. D'ailleurs je pense que l'on peut complétement s'en passer. On peut décrire l'arborescence uniquement avec le codage de chaque ramification qui ne décrit que le processus générationnel depuis la souche.
Autre chose : on peut expliquer aussi que le réservoir combinatoire pour générer une ramification est infini (n'importe quelle longueur avec n'importe quelle bifurcation). Et que si combinaison infinie il y a, elle peut trouver une expression (la traduction de cette combinaison en une suite d'entier) pour n'importe quel entier.
Si je suis revenu sur ce site avec ce sujet, c'est pour cela.
a) On prend pour hypothèse que tous les entiers peuvent être dans l'arbre. Ils ont donc tous possiblement une "lignée"
b) La lignée c'est simplement un codage inspirée de la généalogie (puisque l'arbre est à l'évidence plus un arbre généalogique qu'un prunier)
Par exemple 491 c'est 2^4.3.1.1.2.2.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 En pratique je n'ai pas besoin de savoir si c'est 491 pour trouver où c'est dans l'arbre. Ce codage est une route comme sur Google maps
c) Lorsque l'on génère un arbre, on génère toutes les lignées possibles jusqu'à une orbite donnée. L'ensemble des lignées liées à une orbite est construit en suivant des règles automatiques et il n'y a qu'une solution pour le faire. Qu'une orbite contienne une dizaine de lignées ou des milliards de milliards, c'est strictement le même principe.
d) il faut à un moment oublier la valeur des entiers. Tout le monde sait que l'on peut trouver un grand nombre avec une toute petite lignée et un tout petit avec une très grande. Deux entiers assez proches peuvent aussi avoir des lignées très différentes :
483 : 2^4.2.1.4.1
f) petite particularité de la lignée entre les impairs et les pairs : un nombre pair a le même codage que l'impair dont il découle (p = i*2^n)
85 c'est 2^8 est ce sera la même chose pour 170, 340, 680... ou 2^4.3.1 représente 35 mais aussi 70, 140....
Je me suis exprimé à plusieurs reprise au sujet de la conjecture de Collatz ou des conjectures qui en découlent en particulier 3x+P au lieu de 3x+1 avec P un entier impair premier et la particularité de 41 et 43.
Je rappelle entre autre ce que j'ai appelé la table de Collatz.
Désolé PMF mais je ne comprends rien à tes écrits trop denses ou trop confus, mais cela dit tu as peut-être raison.
A plus
dans le point 2, sur ce qui me semblait le schéma de remplissage d'un cluster :
"d) on constate que les lignées du premier cluster sont les débuts de tous les autres : 2^4.2.1., 2^4.3.1., 2^8.1.3. Ils sont donc bien tous des descendants des grands-parents des 4 membres du premier cluster."
ce point est faux. On peut trouver des éléments, quand après n orbites on aura rempli tous les points entre la borne d'entrée et celle de sortie, qui ne sont pas des descendants des grands-parents des membres du premier cluster.
1) Chaque chemin de n vers 1 n'a en soi aucun intérêt, même si tout le folklore de cette conjecture en découle. Masses de calculs, records de temps de vol et d'altitude, tout cela ne sert à rien et comme on le sait ne prouve rien.
2) Le seul intérêt de l'algorithme est qu'il permet en l'inversant de construire un arbre. Cet arbre est une suite d'orbites constituées de groupes d'entiers dont les valeurs et le nombre sont parfaitement définis. L'analyse de cet arbre permet déjà de dégager quelques propriétés de structure. Mais cet arbre est rapidement incalculable et il est encore trop dépendant des valeurs des entiers (des étapes, des chemins, etc...).
3) On peut alors permuter les entiers avec des indicateurs purement structuraux qui codent l'historique générationnel de chaque position dans l'arbre. Dans ce cas, la génération de l'arbre ne dépend plus tout de l'algorithme de Collatz et des valeurs des entiers, mais devient une simple application de règles répétables à l'infini (la difficulté étant de bien définir ces règles). Le codage de ces règles doit donc permettre de générer des parties de l'arbre totalement incalculables par des opérations sur les entiers, ou de donner des réponses à des requêtes précises.
4) Une application issue de ce code pourrait donc permettre d'explorer l'arbre avec un bon confort d'utilisation pour d'éventuels chercheurs. Et d'espérer qu'un jour une loi s'en dégage. Loi qui serait en soi indépendante des entiers. Sauf qu'en revenant vers les entiers armé de cet loi, on pourrait peut-être plus facilement régler le sort d'une certaine conjecture.
Exemple : codage sans recours à l'algorithme des lignées de longueur 2 issues du premier ancêtre pour 35 itérations (attention le 1 indiqué n'est pas l'entier 1 )
Francis Blanche à Pierre Dac s'adressant au fakir au nom que j'ai oublié pose la question au fakir = j'ai dans la main les papiers de Monsieur, pouvez vous me dire quel est son age et Pierre Dax répond oui je peux le dire.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Si on peut construire un arbre de Collatz en inversant l'algorithme, on n'est pas sûr pour autant qu'il contienne tous les entiers.
Pourtant si on construit un arbre avec les premiers comme ceci :
Mais l'arbre des premiers ressemble pourtant beaucoup en tant que STRUCTURE à celui de Collatz :
De croissance infinie pour son tronc (nbr infini de premiers et de leurs combinaisons), à un moment donné de sa croissance, l'arbre contient une infinité d'entiers (les branches sont infinies), et aussi une infinité de trous (tous ce que l'on ne trouvera ni dans les branches, ni dans le tronc)
Tous les trous apparus à un moment t seront comblés à un moment t+n, mais à ce même t+n des myriades de nouveaux trous seront apparus.
Dans cet arbre des premiers, n'importe quel entier trouve son chemin vers 1 au travers de l'arborescence. Si on construit un petit arbre dans une figure, il suffira de choisir un entier sur sa périphérie et de suivre du doigt son chemin vers 1 sans faire aucun calcul.
Enfin on peut aussi substituer les valeurs des entiers de l'arbre des premiers par un codage spécifique à l'arborescence. Les premiers sont remplacés par leur rang d'apparition, et on code les lignes par simple incrémentation :
Ta réponse a au moins le mérite d'être argumentée. Elle contient donc son pour (tout n'est pas faux dans ce que tu dis) et son contre (ô combien ta réponse montre tes a priori) sur lesquels une réponse peut se faire (c'est la dialectique).
Je passerai rapidement sur les Francis Blanche, Pierre Dac et autres citations à la Audiard lues sur ce post depuis quelques jours. Il y a eu, faut-il le dire, des millions de films produits depuis les années 60, et mêmes ces années-là étaient plus riches en création cinématographique (la nouvelle vague) que ce gentil genre de polar gouailleur à la française. De même que le tout aussi gentil Pierre Dac n'a jamais dépassé le stade d'un poil à gratter bien convivial auquel tout le monde peut se référer sans grand risque. Parce que l'humour un peu plus moderne nomme bien plus explicitement ces cibles : Coluche se faisait virer en moquant les marques de lessive qu'il nommait clairement. De nos jours enfin, les spectacles de Blanche Gardin ou de Gaspard Proust sont aussi bien plus engagés et on sait donc si l'imbécile visé est un homme ou une femme, un jeune ou un vieux, un homo ou un hétéro, de droite ou de gauche, etc... Donc si les citations de ce forum censées servir de piques ou de saillies pouvaient passer le stade Blanche, Dac, Audiard ça ne serait pas plus mal. Je veux bien être traité de crétin à plumes, mais mettez-y les formes.
Pour le fond, je suis, même si cela t'étonnera, d'accord avec toi . Néanmoins, je défends la possibilité de confronter les mathématiques que l'on qualifiera de professionnelles (étudiants, chercheurs, enseignants, maths appliquées...) à celles qui peuvent être dites récréatives, ou différentes, voire alternatives (ouh, là là). Peut-on poser un problème connu comme mathématique et le traiter via une logique généraliste, avec d'autres compétences (ouh, là, là, là, là, là) ? Pourquoi pas ? Qu'allez-vous y perdre à discuter et échanger un peu ?
Quand Jean-Paul Delahaye et consorts écrivent leurs livres, ils ne sont pas destinés aux mathématiciens mais aux gens comme moi qui font preuve de curiosité. On va au cinéma sans être cinéaste, on refait le film que l'on a vu dans le bistro du coin sans être un critique professionnel. Cela s'appelle une ouverture d'esprit. On peut donc comprendre des choses sans être "pro" parce que l'intelligence et les compétences sont génériques et universelles. Je sais coder en VBA et je peux faire des tableurs bien compliqués. L'arbre de Collatz que produit mon script est correct. Il est aussi pertinent de dire que l'on peut construire un arbre en se basant uniquement sur des règles, et sans jamais avoir recours à l'algorithme.
Je connais mes défauts mais comprends-tu les tiens ? A quoi ça sert que tu répètes à l'envi que "les gens comme moi" veulent prouver quoi que ce soit. C'est juste un jeu intellectuel. Ce n'est pas un irrespect des mathématiques, c'est même plutôt le contraire. Et qui dit qu'une idée ou une méthode ne puisse être un jour féconde ? Et à qui cela cassera une jambe si par le plus grand des hasards ce serait cas ?
Faire des mathématiques « avec d’autres compétences »: d’accord mais lesquelles ? Magasinier ?
Tu veux pratiquer une opération à cœur ouvert avec des compétences de naturopathe ?
Jean-Paul Delahaye parle à des non-mathématiciens comme moi mais il parle « mathématiques ».
On peut discuter de tout mais il faut s’accorder sur le sens de la discussion.
Intéressant comme réponse. Je te laisse cependant t'expliquer un jour avec les magasiniers et les naturopathes.
Reste que ton argumentaire reste d'autorité et c'est toujours le plus mauvais des arguments dans ce que tu nommes justement la base de règles de discussion.