Et si $\alpha$ n'est pas réel ?
- Déterminer le développement en série entière $\displaystyle\sum_{n\geq 0} a_n x^n$ de la fonction $x\mapsto (1+x)^{\alpha}$.
- Montrer qu'il existe $C\in \R_+^*$ tel que $|a_n|\underset{+\infty}{\sim} C n^{-\alpha-1}$. On pourra poser $b_n =|a_n| n^{\alpha+1}$ et étudier $v_n=\ln(b_{n+1})-\ln(b_n)$.
- Déterminer les valeurs de $\alpha$ telles que la série $\displaystyle\sum_{n\geq 0} a_n$ converge, et calculer sa somme dans ce cas.
La première question est une question de cours. On trouve classiquement que pour tout $n\in\N$ : \[a_n=\binom{\alpha}{n}=\frac{1}{n!}\prod_{k=0}^{n-1} (\alpha-k)\]L'indication de la deuxième question permet de prouver que la série $\displaystyle\sum_{n\geq 0} v_n$ converge et de conclure pour obtenir l'équivalent de $|a_n|$.
On en déduit alors que la série de la troisième question est absolument convergente lorsque $\alpha >0$ (et bien sûr lorsque $\alpha=0$), qu'elle est grossièrement divergente lorsque $\alpha\leq -1$. On arrive ensuite à prouver qu'elle vérifie le critère des séries alternées lorsque $\alpha\in \left]-1,0\right[$ et que la série entière converge uniformément sur $\left[0,1\right[$, ce qui permet de conclure.
La question qui m'est alors venue est : "Qu'en est-il si $\alpha \in \C$ ?"
Ma réflexion jusque là.
- Le développement en série entière est encore valable, quelque soit la valeur de $\alpha \in\C$.
- La même technique que la question 2) permet de prouver qu'il existe $C\in \R_+^*$ tel que $|a_n|\underset{+\infty}{\sim} C n^{-\Re(\alpha)-1}$.
- On en déduit de la même façon les résultats suivants :
- si $\Re(\alpha) >0$, la série de la dernière question est absolument convergente et donc la série entière uniformément convergente sur $[0,1]$, ce qui permet de conclure ;
- si $\Re(\alpha) \leq -1$, cette même série diverge grossièrement.
Réponses
Maintenant si \alpha\in]-1,0] on a \alpha+1\in]0,1] et 1-\frac{\alpha+1}{k}>0. Ensuite
\log\left(\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=\sum_{k=1}^{n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)
Comme
\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\frac{\left(\alpha+1\right)}{k}+O\left(k^{-2}\right)\Rightarrow\sum_{k=1}^{n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\left(\alpha+1\right)\log(n)+O(1)
\exp\left(\sum_{k=1}^{n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)\right)\ll\frac{1}{n}
Ainsi a_{n}=(-1)^{n}b_{n} avec b_{n}>0 et b_{n}\ll\frac{1}{n} donc \sum a_{n} converge.
1) Si $\sum a_{n}z^{n}$ converge vers $f(z)$ pour tout $z$ vérifiant $\left|z\right|\in[0,1[$
2) $\lim_{z\rightarrow1}f(z)=\ell$ avec $z$ dans un secteur de Stoltz (ici $z$ réel $\rightarrow1^{-}$ marche)
3) $\sum a_{n}$ converge
Alors on a nécessairement $\sum a_{n}=\ell$
$$a_{n}=(-1)^{n}\prod_{k=1}^{n}1-\frac{\alpha+1}{k}$$
on a $\sum a_{n}=\sum b_{n}$ avec
$$b_{n}=\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}-\prod_{k=1}^{2n+1}1-\frac{\alpha+1}{k}=\frac{\alpha+1}{2n+1}\left(\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)$$
En prenant le logarithme complexe
$$\log\left(\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=\sum_{k=1}^{2n}\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)$$
comme $\log\left(1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\frac{\alpha+1}{k}+O\left(k^{-2}\right)$ on obtient
$$\log\left(\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}\right)=-\left(\alpha+1\right)\log2n+O(1)\Rightarrow\prod_{k=1}^{2n}1-\frac{\alpha+1}{k}=(2n)^{-\Re\alpha-1}f(n)$$
où $\left|f\right|$ est bornée. On a donc
$\left|b_{n}\right|\ll\frac{1}{n^{2+\Re\alpha}}$ et comme $2+\Re\alpha>1$ on conclue que $\sum a_{n}$ converge.