Bonjour tout est dans le titre, j’aimerais comprendre pourquoi le fait que L^p est un evn n’est valable que pour p>=1. j’ai beau chercher un contre exemple, je n’en trouve pas … Merci.
Bonjour, Je pense que c'est bien de commencer par le cas plus simple suivant : pourquoi $\Bbb R^2$ muni de $N((x_1,x_2)) := (x_1^p+x_2^p)^{1/p}$ n'est pas un e.v.n. quand $p\in{]0,1[}$ ? Ça donnera des idées pour le cas $L^p$.
Cette question m’intéresse. Précisons les choses ( je traite exprès le cas où
$\Omega=[0,1]$, pour laisser à l'auteur de la question un travail et p=1/2)
Pour $p=1/2$, considérons $L^p[0, 1]$ l’ensemble des fonctions mesurables $f \, [0, 1] \to \R$ telle que $\int_0^1 |f (x)|^p dx < +\infty$
Montrons d'abord que $| · |_p$ ( par définition $|f |_p=(\int_0^1 |f (x)|^p dx)^{\frac 1p}$) viole l'inégalité triangulaire ; posons $f = χ[0,1/2]$, et $g = χ[1/2,1]$. on a $|f + g|_p = 1$ , mais $|f |_p + |g|_p = 2^{1−\frac 1p} < 1$; donc $|f + g|_p > |f |_p + |g|_p. $
Maintenant, question pourquoi on ne peut pas munir $L^p$ , $0 < p < 1$ d'une norme $|.|$ , à reflechir!
Si tu crois en l'axiome du choix c'est toujours possible. Il suffit de munir $L^p$ d'une base en tant que $\mathbb R$-espace vectoriel et de considérer la norme infinie associée. Ou encore d'utiliser un isomorphisme d'espace vectoriel avec $L^1$ par exemple.
Réponses
Je pense que c'est bien de commencer par le cas plus simple suivant : pourquoi $\Bbb R^2$ muni de $N((x_1,x_2)) := (x_1^p+x_2^p)^{1/p}$ n'est pas un e.v.n. quand $p\in{]0,1[}$ ? Ça donnera des idées pour le cas $L^p$.
\R$ telle que $\int_0^1 |f (x)|^p dx < +\infty$