Question de parenthèses

Sn · January 2022

Bonjour,

Si je comprend bien, $\mathbb{N}^{(P_A)}$ est l'ensemble des applications de $P_A$ dans $\mathbb{N}$.
Ainsi, pourquoi ne pas noter cela sans les parenthèses : $\mathbb{N}^{P_A}$ ?

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bisam · January 2022

En général, si l'ensemble $E$ possède un $0$, on note $E^{(F)}$ l'ensemble des applications presque nulles de $F$ dans $E$, c'est-à-dire l'ensemble des applications qui envoient toutes les valeurs sur $0$, sauf éventuellement un nombre fini d'entre elles.

Évidemment, cela n'a d'intérêt que si $F$ est infini.

Peut-être que c'est cela dont on parle.

GaBuZoMeu · January 2022

Bonjour

Oui, je confirme, $\mathbb N^{(\mathcal P_A)}$ est le monoïde abélien libre sur $\mathcal P_A$, autrement dit le monoïde des applications à support fini de $\mathcal P_A$ dans $\mathbb N$.

Dans un anneau factoriel $A$, pour tout élément non nul $a$ de $A$, l'application $$\begin{aligned}\mathcal P_A&\longrightarrow \mathbb N\\ p&\longmapsto v_p(a)\end{aligned}$$

(où $v_p(a)$ est la plus grande puissance de $p$ divisant $a$) est bien à support fini : elle est nulle sauf pour un nombre fini d'éléments de $\mathcal P_A$, ceux qui interviennent dans la factorisation de $a$ en produit d'irréductibles.

Sn · January 2022

Merci beaucoup pour vos réponses d'une grande clarté.

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