Matrice stochastique

Je prends la norme que je veux pour $BF$ car on est en dimension finie ? Je suis habitué à utiliser la norme infinie sur $K^n$ et $M_n(\R)$ est isomorphe à $\R^{n^2}$
Ok merci pour la référence.
Soit $X$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$. Notons $|x_i|= \max \{ |x_k| \ k \in [|1,n|] \}$
On a $(\lambda -a_{ii}) x_i = \displaystyle\sum_{j \ne i} a_{ij} x_j$
Donc $| \lambda -a_{ii}| \times |x_i| \leq  \displaystyle\sum_{j \ne i} a_{ij} |x_j|$ car $\forall i,j \ a_{ij} \geq 0$
Comme $|x_j| \ne 0$ car $X$ est non nul alors $| \lambda -a_{ii}| \leq   \displaystyle\sum_{j \ne i} a_{ij} = 1- a_{ii}$
On a montré $\boxed{| \lambda -a_{ii}| \leq  1- a_{ii}}$
Montrons l'inclusion ensembliste.
Soit $\lambda \in Sp_{\C} (A)$. Alors il existe $i \in [|1,n|]$ tel que $| \lambda -a_{ii}| \leq  1- a_{ii}$
Or $BF(a_{ii} ,1-a_{ii})= \{ M \in M_n(\R) \ | \  ||M - a_{ii} || \leq 1- a_{ii} \}$ je n'ai pas trop compris avec la boule fermée, car $E=M_n(\R)$ comment je peux soustraire une matrice et un coefficient dans la norme ?