Problème de construction

Bonsoir.

J'espère que tu es conscient que généralement, la construction n'est pas possible. A moins que N et S soient sur les droites BC et AD.
Je n'ai pas trop compris ce que viennent faire ici P, Q et R; mais un grand classique avec les triangles équilatéraux c'est d'utiliser une rotation adaptée au triangle, par exemple de sommet M.

Bon travail !

Ce problème me semble très intéressant d'un point de vue pédagogique.
On s'aperçoit vite que les points $C$ et $D$ n'interviennent pas directement dans la construction du triangle équilatéral $MSN$ mais ne servent qu'à éliminer du circuit ceux des triangles équilatéraux dont certains des sommets ne seraient pas sur les côtés du carré comme:

Bonjour,

Voilà une construction:

Les éléments de preuve de la propriété de Pappus
(enveloppes des côtés du triangle MNS)
Tout est dans le cercle Γ
[J'ai encore effacé la cinquantaine de lignes cryptées (en html géogébra ?). AD]
Mais le plus simple du point de vue conceptuel est tout de même la méthode "Gerard0" !
Cordialement.

Pas sûr que tout ça serve beaucoup à Neyaj dont on ne connait pas le niveau, et qui n'a d'ailleurs plus donné signe de vie depuis.
Rappelons que la construction la plus élémentaire, sans calculs, ni similitudes et autres enveloppes, a été signalée par Gerard0 :
N est le transformé de S dans une rotation de centre M et d'angle 60°.
M'enfin, on a aussi le droit de se faire plaisir en cherchant des extensions au problème d'origine (juste construire).
Tant qu'à généraliser, autant le faire avec des droites quelconques.
Soit donc trois droites AB, BC, AC
Chercher les enveloppes des côtés d'un triangle MNP équilatéral, avec M sur BC, N sur AC et P sur AB
Dans l'applet A, B, C définissent les droites
P est déplaçable sur AB pour choisir un triangle équilatéral MNP.
[J'ai encore une fois effacé la cinquantaine de lignes cryptées (en html géogébra ?). AD]
On reconnaîtra des paraboles de même foyer F qui est un centre isodynamique de ABC, les directrices sont les côtés du triangle équilatéral FaFbFc (symétriques de F par rapport aux droites données)
Les tangentes aux sommets sont les côtés du triangle podaire de F.
F est ici construit comme conjugué isogonal du centre isogonal S (d'où on "voit" les côtés de ABC sous le même angle 60/120°)
Une généralisation ultérieure définit MNP comme directement semblable à un triangle quelconque donné M'N'P'.
Cordialement.

Rappelons que les centres isodynamiques ne sont pas des notions euclidiennes mais circulaires
De ce point de vue il vaudrait mieux parler de centres isodynamiques d'un triplet de points $\{p,q, r\}$ plutôt que de centres isodynamiques d'un triangle puisqu'il n'y a pas de triangles sur la sphère!
Par exemple dans le triplet $\{p,q, r\}$, l'un des trois points peut très bien être le point à l'infini!!!
Et c'est ce qui se passe dans la configuration de Neyaj!!!
J'ai refait un peu ma construction en faisant apparaitre en pointillé bleu les cercles classiques pour bien montrer que le point $O$ est un centre permanent de similitude des triangles $MSN$.

Mon cher gérard
Je ne comprends pas ta réaction!
Pourquoi faudrait-il se taire quand une configuration même élémentaire permet de montrer toutes les facettes de la géométrie.
Par exemple mes figures ont été systématiquement faites en respectant ta construction et ce faisant, je me suis aperçu de l'existence du centre permanent de similitude $O$.
Fallait-il cacher ce point important?
Puis chephip a cru bon de généraliser au cas d'un triangle quelconque, pourquoi pas?
Et ce faisant, il a montré que les centres permanents de similitude étaient les centres isodynamiques.
Et enfin, j'ai rappelé que les centres isodynamiques étaient une notion circulaire.
Concrètement cela veut dire que si $W$ est un centre isodynamique d'un triplet $\{A, B, C\}$ et si $f$ est une transformation circulaire du plan, alors $f(W)$ est un centre isodynamique du triplet $\{f(A), f(B), f(C)\}$.
Et j'ai simplement montré ce que cela entrainait pour la configuration de Neyaj!
Quel que soit son niveau, j'espère que tout le monde a été intéressé par ce fil!
Amicalement
Pappus

Mon cher gérard
C'est vrai, je viens de m'apercevoir que personne n'a aidé ce pauvre Neyaj!
Je croyais que tu l'avais fait!
Alors je vais m'y coller à l'ancienne:

Je suis entièrement d'accord avec Gerard0 : la discussion a dérapé complètement, et même c'est une sortie de route !

La question de Neyaj se situait clairement à un niveau élémentaire, et les toutes premières interventions se sont bien placées à ce niveau.

Le hic est que le sujet étant plus riche qu'il n'y parait, on s'est tous laissé entrainer par la passion bien loin de ce sujet initial !

Recentrons donc l'histoire au niveau élémentaire initial :
- la méthode "traditionnelle" élémentaire par rotation de centre M. explicitement suggérée par Gerard0
En l'absence de réaction de Neyaj, la discussion sur ce point n'a pas été plus loin.
Merci donc à Pappus d'avoir "mis les points sur les I" sur ce point là. Mais est-ce encore utile ?
comme je le disais Neyaj est resté muet. A-t-il/elle compris la suggestion de Gerard0 ou pas ?
était-il toujours bloqué ou pas ? personne ne le saura sans doute jamais.

J'ai juste précisé à l'époque que le "généralement impossible" était à tempèrer, en fournissant une applet où c'est "généralement possible" ( i.e. si BC > AB )

D'autres constructions sont possibles, au niveau toujours élémentaire.
- la construction "découverte" par Pappus, mais revue à la baisse (de niveau) en prouvant juste que le milieu de NS est un point fixe
Que Pappus mentionnait comme "enveloppe de NS", certes, et que j'ai requalifié de "lieu du milieu de NS"

J'ai donc fourni une figure/applet permettant de prouver cette propriété de façon élémentaire :
Je la remets ici (en figure) avec les explications.

est dans la discussion, et de façon légitime.
Le seul défaut est les "à côtés" (les histoires d'enveloppe, de calculs avec des affixes, voir pire les horreurs isodynamiques et Cie, mea culpa d'avoir jeté ce pavé dans la mare et d'y avoir déclenché une tempête)

Pas facile de les séparer dans un forum linéaire où toutes les interventions sont à la queue leu leu.
La décision de scinder la discussion en deux : "le problème initial" et "les extensions" peut aussi être prise par un modérateur, à défaut d'autodiscipline des intervenants...

Cordialement.

Bonsoir bs,

Si tu as suivi, tu sais que le point F, milieu de NP est fixe quand M parcourt la portion "autorisée" de CD ...
[J'ai effacé la cinquantaine de lignes cryptées (en html géogébra ?). AD]
Cordialement.

Bonjour.

Je reviens sur le message de gerard0. Mes chers collègues, je ne comprend pas pourquoi vous vous dégonflez devant cet intervenant. Gerard0 est un spécialiste du ton bravache à l'égard des lycéens et il est donc le plus mal placé possible pour parler de maltraitance à l'égard d'un malheureux lycéen égaré.

Par ailleurs, Neyaj est un utilisateur inscrit. Si le niveau mathématique de Neyaj préoccupait réellement gerard0, il lui aurait suffi de lire attentivement les messages déjà postés par l'utilisateur Neyaj. Neyaj est en M2, et prépare un concours de recrutement. Autant dire que la tirade de gerard0 sur le "pauvre lycéen Neyaj" tombait un peu à plat.

Pour ce qui est de ne pas noyer le fil sous des considérations étrangères, gerard0 devrait, par politesse, poster "ailleurs" ses paradoxes à deux balles : je ne lis plus le forum de géométrie, mais j'y poste quand même. Quelle pyramide !

Cordialement, Pierre.

Bonjour, Comme cela ?
[J'ai effacé la cinquantaine de lignes cryptées (en html géogébra ?). AD]
Cordialement, Pierre.

Comme quoi je n'avais pas tout faux !!

Pierre, je t'ai cru intelligent, tu n'es que bon en maths ! Ton message méprisant à mon propos et ton incompréhension de la différence entre répondre à une question de géométrie et lire un fil de géométrie montrent bien que tu "planes".
Dommage !

Bonjour,

Chechip a écrit:

merci pour l'animation Geogebra.
J'ai pu l'extraire de la page et la remettre dans Geogebra pour la décortiquer.

Comment fais tu ? Je n'ai jamais pu récupérer que des images fixes.

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir,

(tu) et merci pour toutes vos animations du centre des triangles équilatéraux inscrits dans un carré.

Quelques prolongations éventuelles: je ne suis pas à la maison et n'ai pas l'énoncé du problème sous les yeux, mais on demandait également (et sans animation) la longueur du côté du petit carré lieu de G...et aussi l'aire du plus grand et du plus petit triangle équilatéral inscrit dans le carré.

chephip, content que tu aies ajouté cette animation en exercice sur ton site.

Pour le problème initial, pour quelles valeurs de $\dfrac{\ell}{L}$ est-il donc possible d'inscrire un triangle équilatéral dans un rectangle de largeur $\ell$ et de longueur $L$ ?

Amicalement.

Bonjour,

Juste une petite remarque.

Un problème un peu semblable a été abordé ici
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,359901,page=1
cf. construction 2.

Sincèrement

Promeneur