Ben pour ce genre de choses, il vaut mieux que ce soit précisé... Il y a des algèbres qui n'ont pas d'unité, et pour celles-ci on ne peut donc pas exiger d'envoyer l'unité sur l'unité.
Mais un exemple intéressant est celui de $A:= M_n(\mathbb{K})$, avec $n\geq 2$. Un morphisme de $A$ vers $\mathbb{K}$ qui envoie la matrice identité sur $1$, si ça existait, ce serait connu ! A toi de démontrer qu'il n'y en a pas.
Pour prolonger la réflexion et partir dans la métaphysique :
1) Soit $X$ un espace compact, et $A$ l'algèbre des fonctions continues de $X$ vers $\mathbb{R}$. Soit $\phi : A \rightarrow \mathbb{R}$ un morphisme d'algèbres (en fait, morphisme d'anneaux suffit) qui envoie $1$ sur $1$ (hypothèse en fait inutile). Montrer qu'il existe $x \in X$ tel que pour toute $f \in A$, $\phi(f) = f(x)$.
2) Si $A$ est une algèbre sur $\mathbb{K}$, appelons "point" un morphisme d'algèbres $A \rightarrow \mathbb{K}$. "Justifier" (méditer suffit) la terminologie. Combien $M_n(\mathbb{K})$ a-t-elle de points ?
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