Une fonction avec quelques propriétés...
Bonjour,
Je cherche une fonction $f(a,b)$ qui a les propriétés suivantes :
- croissantes pour $a$ et $b$
- si $a=0$ et $b=0\Rightarrow f(a=0,b=0)=0$
- si $a=1\Rightarrow f(a=1,b)=1$
- si $b=1\Rightarrow f(a, b=1)=1$
Voici mes quelques recherches
Selon moi, cela équivaut à dire que :
$\dfrac{\partial f(a,b=1)}{\partial a} = 0$ et $\dfrac{\partial f(a=1,b)}{\partial b} = 0$
Pour "respecter" cette dérivée, je suis parti de la fonction $a + b - a*b - 1$ qui a la propriété de valoir 0 si a=1 ou b=1. Peut-être y a-t-il mieux comme fonction ?
Pour respecter la propriété de "croissance", je pensais la rendre positive en la mettant au carré ou en faisant une exponentielle...
$(a+b-ab-1)^2$
$ \dfrac{\partial f}{\partial a} = (a + b - a.b - 1)^2 $
$ \dfrac{\partial f}{\partial b} = (a + b - a.b - 1)^2 $
Le problème est que lorsque j'intègre je dois obtenir les deux mêmes réponses et on peut observer que c'est impossible dans ce cas...
Est-ce correct de dire ceci :
$$ \int \frac{\partial f}{\partial a} da = \int \frac{\partial f}{\partial b} db .$$
Il faut que j'ajoute des paramètres à ma fonction...
Je suppose qu'il y a une meilleure méthode que d'y aller par tâtonnement.
Pourriez-vous m'aider, svp ?
Je cherche une fonction $f(a,b)$ qui a les propriétés suivantes :
- croissantes pour $a$ et $b$
- si $a=0$ et $b=0\Rightarrow f(a=0,b=0)=0$
- si $a=1\Rightarrow f(a=1,b)=1$
- si $b=1\Rightarrow f(a, b=1)=1$
Voici mes quelques recherches
Selon moi, cela équivaut à dire que :
$\dfrac{\partial f(a,b=1)}{\partial a} = 0$ et $\dfrac{\partial f(a=1,b)}{\partial b} = 0$
Pour "respecter" cette dérivée, je suis parti de la fonction $a + b - a*b - 1$ qui a la propriété de valoir 0 si a=1 ou b=1. Peut-être y a-t-il mieux comme fonction ?
Pour respecter la propriété de "croissance", je pensais la rendre positive en la mettant au carré ou en faisant une exponentielle...
$(a+b-ab-1)^2$
$ \dfrac{\partial f}{\partial a} = (a + b - a.b - 1)^2 $
$ \dfrac{\partial f}{\partial b} = (a + b - a.b - 1)^2 $
Le problème est que lorsque j'intègre je dois obtenir les deux mêmes réponses et on peut observer que c'est impossible dans ce cas...
Est-ce correct de dire ceci :
$$ \int \frac{\partial f}{\partial a} da = \int \frac{\partial f}{\partial b} db .$$
Il faut que j'ajoute des paramètres à ma fonction...
Je suppose qu'il y a une meilleure méthode que d'y aller par tâtonnement.
Pourriez-vous m'aider, svp ?
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Réponses
Merci pour ta réponse. Oui, je suis conscient que je manque de rigueur... C'est pour ça que je cale un peu.
Je voudrais que la fonction soit valide sur $\R^2$ et qu'elle soit différentiable (min $C^2$ dans $\R^2$). Passer par des exponentielles permettrait d'avoir $C^{\infty}$ ? Je ne connais pas le bon terme mais je souhaiterais obtenir une réponse "calculable" (pas une intégrale indéfinie), svp.
Quelque chose m'échappe : $a+b-ab-1$ ne convient pas $f(0, 0)=-1$ et non $0$ ; la fonction $\max(a, b)$ sur $\mathbb R$ ne convient pas non plus $\max(1, 2) =2$ et non $1$.
$f(a, b) = (a-1)(1-b) +1$ devrait convenir.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Soit $h$ et $k$ des fonctions de $\mathbb R \to \mathbb R$ telles que $h(0) \neq h(1)$ et $k(0) \neq k(1)$, alors
$f(a, b) ) = \dfrac{h(a) - h(1)}{h(0)-h(1)} \times \dfrac{k(1) - k(b)}{k(0) - k(1)} + 1$ devrait convenir, et en choisissant bien $h$ et $k$ on doit pouvoir forcer les propriétés que l'on veut.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Cela va me permettre d'avancer un peu plus sur mon problème.