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MartialMartial
Modifié (January 2022) dans Fondements et Logique
@Tous : A la demande de FrançoisD, et pour ceux que ça intéresse, j'ouvre un fil avec les liens vers tous les chaps de mon livre. Ainsi, ce sera peut-être plus facile de s'y retrouver.

@François : ce n'est pas très grave que tu aies commencé par le chap 23, car à un niveau élémentaire la théorie descriptive c'est plus de la topologie que de la théorie des ensembles.

Voici donc les liens :

Préface et Table des matières :
https://sites.google.com/view/martial-leroy/théorie-des-ensembles

Chap.0 : Introduction générale – Le raisonnement mathématique
https://drive.google.com/file/d/1qzjkEaKtTObasd3o9o6oUZoFmOuVkwU-/view

Avertissement au lecteur
https://sites.google.com/view/martial-leroy/théorie-des-ensembles/introduction

Partie A : Insuffisance de la théorie naïve – Prérequis de logique élémentaire
Chap.1 : Notion d’ensemble – La théorie naïve
https://drive.google.com/file/d/112stMBA-E2vN-HfWwugxO-lWgLp2zCi7/view
Chap.2 : Première approche naïve de l’infini
https://drive.google.com/file/d/1t5E1L9vpjzG7BiKbX-FXLE8AGTMIAYsl/view
Chap.3 : Premières difficultés de la méthode axiomatique
https://drive.google.com/file/d/1JGYy8cDX00xI8MHPbaDh-dYvqKxkPGgV/view
Chap.4 : Le cadre général – Vocabulaire de la logique
https://drive.google.com/file/d/1X62egewSGbhsmyo5nYZt_T6PYFqXRclL/view

Partie B : La théorie basique des ensembles
Chap.5 : Le système Z_fini. Notion d’ordinal
https://drive.google.com/file/d/1GspK6k-pCHTn-OOssS_3O3ZlguOsVnEC/view
Chap.6 : Le système de Zermelo Z* - L’ensemble des nombres entiers naturels
https://drive.google.com/file/d/1oTMJ5Gq6EPCIO93GmSAbbaFGPLM45FvV/view
Chap.7 : Les ensembles de nombres Z, Q, R, C
https://drive.google.com/file/d/1D2jaQCZYQ1Pk8wbXJXNsBWQQh1eRrv8X/view
Chap.8 : Le système de Zermelo-Fraenkel ZF* - Arithmétique ordinale – Topologie sur les ordinaux
https://drive.google.com/file/d/15vXbGMExIKdwlkBnkCiPuuDH5AiDWs32/view
Chap.9 : Cardinaux
https://drive.google.com/file/d/1VNOrzxo6F0oqxi_qORjtah6B9elPHnMa/view
Chap.10 : Diverses variantes de l’axiome du choix – Applications classiques
https://drive.google.com/file/d/1J8CNydU0YF3UeIs2G73YWFWKYBdShLn9/view
Chap.11 : Filtres – Ultrafiltres – Compacité
https://drive.google.com/file/d/1PWmzzhY7NUMWM9HPK_Dmd-8VN7xknsis/view
Chap.12 : La hiérarchie des cardinaux infinis sous AC
https://drive.google.com/file/d/11cehw7KMpPrfqO_tpptUNg3p8BcGMR8H/view
Chap.13 : La hiérarchie cumulative – L’axiome de fondation – Le système ZFC – Le schéma de réflexion
https://drive.google.com/file/d/1QTtXnBmGZJpNNCnPFsPstT1hdLpPvecC/view

Partie C : Logique avancée – Modèles de ZFC – Modèles intérieurs
Chap.14 : Les théorèmes de complétude et de compacité
https://drive.google.com/file/d/1R0r2wNcQjQ1UHqIB6sZA5vsn3-QTIJMj/view
Chap.15 : Les théorèmes d’incomplétude de Gödel
https://drive.google.com/file/d/1FihzC33FJJsb4usaHTskRgZEBUl-E0UL/view
Chap.16 : Les modèles de ZFC
https://drive.google.com/file/d/1F7MDPxsiknT7s5Gia1UYtEA32c_zGMzJ/view
Chap.17 : Notions techniques – Complexité des formules – Absoluité – Le collapse de Mostowski
https://drive.google.com/file/d/1HkX2WhSHm5E3TTwcZameSBEj3_hKXaVj/view
Chap.18 : L’univers des ensembles constructibles de Gödel
https://drive.google.com/file/d/17qHwr-X8zpEbgPHqZTFqA8_jE5wdAZax/view

Partie D : Combinatoire et forcing – Applications diverses
Introduction à la Partie D :
https://drive.google.com/file/d/1Xoqm6SX8O_hdmx9jbewnnDGfLmpOu_fZ/view
Chap.19 : Quelques principes combinatoires
https://drive.google.com/file/d/1hGo-FW65Lo3N9minfrFm99HuoGFwCc8C/view
Chap.20 : La machinerie du forcing – Applications à des preuves d’indépendance
https://drive.google.com/file/d/18ALDLCo_PgspxrS_BS9Mu6sC6hbOAnGb/view
Chap.21 : Forcing itéré – Consistance de l’axiome de Martin
https://drive.google.com/file/d/1wqC73H2h1_Lj-uhGT5pHk_6-OwqcH5x_/view
Chap.22 : Forcing propre – Les axiomes de forcing – Quelques applications de PFA
https://drive.google.com/file/d/1CI1guoiJUUrk1p2Boeddw2_t6IrXSlCW/view

Partie E : Au-delà de ZFC
Chap.23 : Théorie descriptive des ensembles
https://drive.google.com/file/d/1qZtWE2kiyCT0JGzHEB6zzjLiS3GtDcAB/view
Chap.24 : Grands cardinaux – Les idées fondatrices
https://drive.google.com/file/d/1zzEJ72Ckvp0rpDCLt2B7bvRQE5xPOTPI/view
Chap.25 : La hiérarchie des grands cardinaux – Hypothèses strictement plus fortes que ZFC
Chap.26 : Quelques théories alternatives

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Réponses

  • FrançoisDFrançoisD
    Modifié (November 2021)
    Merci Martial !
    j'ai voulu chercher sur le forum mais je n'y suis pas arrivé (et puis je devrais bosser depuis lundi... bon... on n'en parlera pas à mes élèves?)
    Amicalement,
    F.D.
  • MartialMartial
    Promis : motus et bouche cousue.
  • HéhéhéHéhéhé
    Si je peux me permettre une remarque esthétique, la police non vectorielle que tu utilises fait vraiment vieillot, on dirait que ton livre sort du vieux TeX des années 90.

    L'utilisation des packages 
    \usepackage{lmodern} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
    devrait te simplifier la vie !

    Une autre remarque, normalement les guillemets français ne sont pas obtenus avec " mais avec $\og$ (\og) et $\fg{}$ (\fg{}).
  • HéhéhéHéhéhé
    Pour contraster avec mon message précédent, j'ai lu le chapitre 3, très intéressant et l'écriture est très fluide !
  • MartialMartial
    @Héhéhé : Merci pour ces indications et pour tes commentaires.

    Poirot m'avait déjà fait une remarque du même genre, à propos de l'esthétique.
    Je vais faire un essai.

    Question subsidiaire : c'est quoi une police vectorielle ?
  • MrJMrJ
    C’est une police qui est construite géométriquement : chaque fois que tu agrandis, le lecteur pdf va recalculer chaque lettre : elles ne seront jamais pixelisées.

    De même les figures faites en Tikz ne sont jamais pixelisées : tu peux zoomer autant que tu le souhaites.

    Si tu souhaites plus de détails : Wikipédia.
  • MartialMartial
    Merci, MrJ.

    @Héhéhé : sur un exemple j'ai tenu compte de tes conseils concernant les packages. (En fait il me manquait seulement le lmodern).

    Franchement, ça ne change pas grand-chose. Je te joins l'exemple en pdf, ainsi que le fichier tex pour que tu voies le préambule.
  • PoirotPoirot
    Très franchement Martial, la différence me saute aux yeux dans mon lecteur pdf, et je trouve la nouvelle police bien plus agréable.
  • HéhéhéHéhéhé
    Moi aussi je trouve ça infiniment mieux !
  • MartialMartial
    Merci à tous deux. Maintenant au moins je sais ce qu'il me reste à faire !...
  • MartialMartial
    Je fais remonter ce fil pour vous informer que je viens de publier l'intégralité de la section 9 du chap 25, consacrée à I0. J'ai laissé beaucoup de choses de côté, et je ne suis pas sûr que ce que je raconte soit très clair.
  • MartialMartial
    Je pense qu'on peut même intervertir les quantificateurs dans ma dernière phrase : "..., et je suis sûr que ce que je raconte n'est pas très clair".
  • MartialMartial
    Modifié (November 2021)
    Je viens de publier la section 10 du chap 25, consacrée aux renforcements de I0. Deux remarques.
    1) Ça devient un peu la jungle.
    2) Il faut vraiment avoir la foi (en particulier en Woodin).
  • MartialMartial
    Je viens de rajouter le récapitulatif général de la hiérarchie des grands cardinaux, en ordre décroissant de consistency strength. Les extrêmes sont très simples : ça commence par "$0=1$", et ça finit par "$0$ existe". Bon, au milieu ça se complique un peu...
  • juggleforlife0juggleforlife0
    Modifié (December 2021)
    Super CV en ligne, merci pour ce partage ! Je suis dans le Krivine un peu aride mais très beau à lire, avec un papier et un crayon à coté bien sûr !
    J'ai adoré la présentation et "l'honnêteté". Peut être un brin humble parce que bcp aimeraient bien avoir ton CV...
    Si j'envisage d'être PRAG un jour on peut s'appeler pour en parler ?
  • MartialMartial
    @juggleforlife0 : Merci pour tes commentaires. Bon courage pour le Krivine.
    Oui, pas de pb. Je te contacte demain en MP. (Fatigué ce soir).
  • MartialMartial
    Modifié (December 2021)
    Je fais remonter ce fil pour vous informer que la section 12 du chapitre 25, consacrée aux "choiceless cardinals", est désormais disponible.
    Cela surprendra tout le monde, on y parle beaucoup d'un certain Monsieur Woodin.
  • MartialMartial
    Modifié (December 2021)
    @Tous : La conclusion générale du chap 25 est maintenant disponible, pages 273 à 282 (ouch !).
    @Christophe : Tu devrais lire "En guise de conclusion", à partir de la page 279. Tu vas te marrer !
  • MartialMartial
    Modifié (January 2022)
    D'abord, bonne année à tous !
    Je viens de mettre un point (provisoirement) final à mon chap 25. Maintenant il y a même une bibliographie complète sur les grands cardinaux et quelques sujets connexes.
  • umrkumrk
    Modifié (January 2022)
    Merci Martial pour la référence à Paul Corazza. La "Maharishi Vedic Science", ça décoiffe !

    Je me permets d'indiquer un pointeur, puisque tu n'en donnes pas encore (sauf erreur) dans ton ouvrage (Biblio à finaliser).

    https://www.miu.edu/academic-departments/mathematics/about-us/faculty-and-staff/paul-corazza
  • MartialMartial
    Modifié (January 2022)
    Merci umrk. Tu as raison, je suis nul en biblio latex. Il faudra que je prenne des cours pour apprendre à faire ça correctement.
    Dans le cas de Paul Corazza c'est d'autant plus important qu'il a mis tous ses papiers sur son site, ce que je trouve personnellement très sympa.
    Puisque cela semble t'intéresser, connais-tu par hasard une référence en français sur la "Maharishi Vedic Science" ? (Autant les maths en anglais ne me posent pas de problème, autant pour la philo ça devient un peu plus hard).
  • umrkumrk
    Modifié (January 2022)

    La « Marahishi International Unversity » (MIU) est, comme tout aux USA (y compris la religion …) un business, principalement centré sur les cours de Méditation Trancendentale.

    https://www.miu.edu

    Parmi les adeptes célèbres : David Lynch, Ringo Starr ….

    Elle délivre cependant également un BS mathématiques ! :

    https://www.miu.edu/bs-in-mathematics

    Le site français équivalent pourrait être :

    https://www.meditation-transcendantale-paris.info/science-vedique-maharishi/

    Mais on reste exclusivement dans le thème de la médiation transcendentale ….

    En cherchant bien, on trouve quand même une référence au « champ unifié de la physique quantique (article assez vague, non signé).

    https://www.meditation-transcendantale-paris.info/dossier-champ-unifie-physique-quantique/

    Il y a aussi une (petite) biblio en français :

    https://www.meditation-transcendantale-paris.info/livres-meditation-transcendantale/

    Mais Paul Corazza semble être celui qui a été le plus loin dans l’application de la Maharishi Vedic Science aux maths, et il ne semble pas avoir d’équivalent francophone ….

  • MartialMartial
    Modifié (January 2022)
    Merci umrk pour toutes ces références précieuses.
    Je dois dire que Paul Corazza m'impressionne sur bien des points. Au premier abord il m'a fait l'impression d'un "illuminé notoire", mais je peux te dire, pour avoir lu une partie de son œuvre, qu'il sait de quoi il parle. J'ai été en particulier très impressionné par son papier "Magical Origin of the natural numbers" (enfin, surtout le début, parce que dès que ça cause de catégories je me mets aux abonnés absents), où il réalise ce qui fut pour moi un rêve de jeunesse : partir de l'axiome de l'infini "à la Dedekind" : il existe un ensemble $X$ et une bijection $\varphi:X \to Y$ avec $Y \subsetneqq X$, et en déduire l'existence et les propriétés de $\omega$.
  • umrkumrk
    Modifié (January 2022)
    Le mysticisme en maths, c'est à priori suspect, mais il y a des exceptions, Corazza en est une , mais aussi ... Grothendieck
    Il y a une Vedic Math School, basée à New Delhi (normal ...)
    https://vedicmathschool.org
    J'ai trouvé dans leur biblio (mais c'est en anglais, bien sûr, une "histoire des vedic maths" !
    https://vedicmathschool.org/history-vedic-mathematics/
    (c'est on-line)
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    La Méditation transcendentale est considérée comme secte en France, et les Beatles ont même dédié une chanson saignante à son gourou.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • umrkumrk
    Modifié (January 2022)
    Exact, voir :
    Union nationale des Associations de Défense des Familles et de l’Individu victimes de secte
    https://www.unadfi.org/mot-clef/meditation/
    Mais tout est parti de P. Corazza, qui lui ne fait que des maths ...
  • MartialMartial
    @Nicolas et umrk : Bonnes remarques. A ce sujet je tiens à préciser que je ne m'intéresse à la Maharishi Vedic Science et à la MT que dans le but de mieux comprendre les travaux et la philosophie de Corazza.  Loin de moi l'idée d'adhérer à quelque secte que ce soit.
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    Je m’en doute, je vise plutôt le lecteur qui ne serait pas très au courant de qui est la Méditation transcendantale.
    J’ajoute qu’elle est à l’origine du Parti de la loi naturelle qui a présenté Benoît Frappé à la présidentielle de 1995.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • MartialMartial
    @Nicolas : Benoît Frappé, ce nom ne me dit rien du tout, il a dû faire 0,04% des voix, non ?
    Par ailleurs, si je saisis correctement ton propos, voilà quelqu'un qui porte bien son nom...
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    C’était celui qui volait sur son matelas et qui proposait de faire méditer un tant pour cent de la population pour la paix mondiale.
    Benoît Frappé, le bien nommé comme on l’appelait alors.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • MartialMartial
    @Nicolas : "C’était celui qui volait sur son matelas et qui proposait de faire méditer un tant pour cent de la population pour la paix mondiale."
    Oui, cela rejoint ce que dit Corazza dans son papier "An Introduction to Maharishi Vedic Science", 1993. Selon lui, si, dans une région donnée, 1% de la population pratique la MT, alors la criminalité diminue de je ne sais plus combien de pour cent dans la même région. A voir...
  • MartialMartial
    Petit rectificatif : un collègue me signale à l'instant que le "bien nommé" n'a pas été candidat à la présidentielle de 1995, mais seulement aux législatives de 1993. Il aurait également voulu se présenter en 95, mais n'a pas obtenu les 500 signatures requises.
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    umrk a dit :
    Mais tout est parti de P. Corazza, qui lui ne fait que des maths ...
    Que des maths, mais quand même dans le cadre de la MT.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • MartialMartial
    Modifié (January 2022)
    @Nicolas : pas exactement dans le cadre de la MT, plus exactement dans le cadre de la science védique. Il y relie, avec une certaine dextérité, diverses approches de l'infini, en particulier le wholeness axiom. Il a quand même réussi l'exploit de trouver un axiome strictement intermédiaire entre "il existe une classe propre de cardinaux super n-huge pour tout n" et I3.
    À ce titre, qu'il soit adepte de la MT ou pas, je lui tire mon chapeau. Et je répète que je n'ai rien à voir avec la MT !
    Tout ceci étant dit en toute cordialité.
    Martial.
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    Modifié (January 2022)
    Je sais bien que tu n’as rien à voir avec la MT !
    Je parlais de Corazza dont je ne connaissais pas le nom (ni dans le cadre des mathématiques ni dans celui des sectes). En fait, je m’étonne qu’il ait réussi à faire rentrer des maths dans le système de sa secte : les sectes ne sont pas connues pour être compatibles avec les sciences et avec leurs méthodes.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • MartialMartial
    Modifié (January 2022)
    Je vais t'expliquer : Maharishi était tellement blindé de thunes qu'il a créé plusieurs universités dans le monde, dont une aux States, qui de façon très surprenante s'appelle la Maharishi University. C'est là que Corazza enseigne... les maths.

    Côté recherche Corazza a créé un paradigme : le wholeness axiom, qu'il justifie à l'aide de la science védique, de la théorie quantique des champs et encore d'autres trucs. En fait depuis 1993 il a consacré toute sa carrière à l'étude des liens entre la Maharishi Vedic Science d'une part, et le wholeness axiom et d'autres sujets connexes d'autre part.

    Ceci explique donc cela.
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    Modifié (January 2022)
    J’ai toujours du mal à accoler une religion et une science, comme science védique, science chrétienne, sociologie marxiste ou économie libérale. Je n’en connais aucun qui ne soit pas une pseudo-science même si, évidemment, on doit bien y trouver de temps en temps des trucs exacts et des gens intéressants.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • umrkumrk
    Tout ceci est de ma faute : la Maharishi University aborde plein de sujets. C'est en essayant de trouver une référence francophone pour Martial que j'ai ressorti des sites de Méditation Transcendantale francophones, plus douteux ....
  • MartialMartial
    Modifié (January 2022)
    @umrk : tu ne vas quand même pas culpabiliser pour m'avoir rendu service, lol !
    @Nicolas : tu as raison dans un sens. Tout ce que fait Corazza en maths est parfaitement juste. Dans la hiérarchie de consistency strength, le wholeness axiom est situé strictement entre "il existe une classe propre de cardinaux qui sont super-$n$-huge pour tout entier $n$" et I3. Et rien n'interdit d'étudier les conséquences et les applications de cet axiome. Donc, au plan technique, il assure.
    Ce qui gêne les gens ce sont ses motivations pour justifier WA, en particulier tout ce qui touche à la science védique. Il faut bien reconnaître par ailleurs que Corazza est un peu seul dans son univers. Il n'a pas d'étudiant connu, et quand tu parles de lui à un settheorist il te regarde d'un oeil torve, l'air de dire "mon p'tit gars, pourquoi tu te casses la tête à étudier les délires de ce bonhomme ?". Cependant, Patrick Dehornoy reconnaissait bien volontiers que, sous couvert de paraître un "illuminé notoire", Corazza avait une bonne vue d'ensemble de la TDE, et une haute technicité dans ce domaine.
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    Modifié (January 2022)
    Est-ce que tu comptes retoucher les chapitres déjà écrits ?

    À propos du chapitre 26, Jean-Jacques Szczeciniarz a dit qu’il existait des logiciens qui travaillaient sur la seconde idéographie de Frege (celle des Grundgesetze der Arithmetik) et notamment sur la correction de la loi V pour en donner une version qui ne fait pas tomber l’édifice.

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            -- Schnoebelen, Philippe
  • umrkumrk
    Martial, ton anecdote à propos de P Corazza et de P Dehornoy me fait rêver à ce que pourrait être un autre livre de toi (ou un nouveau chapitre) expliquant tes déambulations dans le monde des settheorists, avec des portraits et des anecdotes concernant ceux qui t'ont marqué.
  • MartialMartial
    Modifié (January 2022)
    @Nicolas : 1) Oui, il y a encore quelques bricoles à revoir, notamment au chap 12, il faut que je rajoute quelques compléments d'arithmétique cardinale, et le chap 22 est à ch...
    2) Là, ce que tu dis m'intéresse. Je suis justement en train de travailler sur Frege, et en particulier sur la loi V. As-tu des références par rapport à ce que tu dis ?

    @umrk : ce serait tout au plus un chap, ou un addendum. J'ai hélas fréquenté peu de settheorists. En voici une liste probablement non exhaustive, que je compléterai éventuellement plus tard : Jean Saint-Raymond, Alain Louveau, René Cori, Gabriel Sabbagh (pour avoir suivi ses cours), Boban Velickovic, Patrick Dehornoy, Victoria Gitman (par mail), Paul Corazza (idem), et surtout... CC.
    Pour la petite histoire j'ai aussi un jour serré la pince à Matthew Foreman, mais c'était pur hasard.
    Mais tu as raison, dans cette liste il y a quand même quelques amecdotes (comme disait Coluche) à raconter. Je vais y réfléchir...
  • MartialMartial
    Ah oui, j'oubliais : j'ai un jour déjeuné avec Paul Rozière (qui était dans ma classe en Terminale et en spé), Jean-Louis Krivine et un MCF dont je ne me souviens plus du nom. Au milieu d'une discussion sur la pertinence des radars fixes, Krivine nous a expliqué en 3 mots pourquoi le truc des suites de Goodstein n'est pas démontrable dans Peano.
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    Martial a dit :
    2) Là, ce que tu dis m'intéresse. Je suis justement en train de travailler sur Frege, et en particulier sur la loi V. As-tu des références par rapport à ce que tu dis ?
    Malheureusement non, demande-lui directement.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • MartialMartial
    OK, c'est ce que je vais faire.
  • MartialMartial
    Modifié (January 2022)
    @Tous. Je viens de publier l'introduction et la première section de mon chap 26, consacré aux théories alternatives à ZFC. Voici le lien
    À noter que ça parle beaucoup de Frege.
    @Nicolas. Comme tu sembles être beaucoup plus spécialiste que moi de la question, je veux bien, si tu as quelques minutes, que tu me dises si j'ai écrit des énormités (et où). Merci d'avance.
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    Je dois avouer que je suis un peu rouillé en idéographie mais je n’ai pas lu d’énormité qui me saute aux yeux. De mémoire, j’ai relevé deux erreurs mineures dans l’Idéographie parue chez Vrin. Oui, j’ai suivi ce bouquin avec un papier et un crayon.
    Si tu pouvais montrer, juste une pour faire peur, à quoi ressemble une courte preuve dans le langage de l’idéographie et quelques exemples de définitions (0, 1 et un ou deux autres idéogrammes centraux) dans ce langage.
    P.S. : Je pense que tu connais QED ?
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • MartialMartial
    Modifié (January 2022)
    OK, merci. Hélas je ne suis pas suffisamment expert en latex pour pouvoir y taper de l'idéographie. Dommage, car l'idée était bonne...
    Non, je ne connaissais pas QED.
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    Modifié (January 2022)
    Fais comme moi dans mon mémoire, en utilisant des glyphes d’UTF-8 avec une police à chasse fixe.
    ┬┬┬ A
 └─ B
    Avec un peu de bol, il existe un module de $\LaTeX$ qui permet d’écrire de l’idéographie. Ah tiens, il y en a. Parmi des gens qui ont développé ça, il y a peut-être des gens qui connaissent des gens qui travaillent encore sur l’idéographie.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • MartialMartial
    Merci pour ces infos
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