Finitude d'une intégrale ?
Bonjour,
j'ai trouvé dans un livre que pour $A>0$, $\quad\displaystyle\int_{0}^{A}\frac{\vert \sin x\vert}{x}dx <+\infty\qquad (*)$
Je ne comprends pas pourquoi. En effet, je sais que $x \mapsto \frac{\sin x }{x}$ n'est pas intégrable sur $[0,+\infty[$ car on peut majorer $\int_{0}^{N\pi} \vert \frac{\sin x}{x}\vert dx$ par la somme partielle de la série harmonique.
Mais alors je ne vois pas pourquoi $(*)$ serait vrai.
Merci.
j'ai trouvé dans un livre que pour $A>0$, $\quad\displaystyle\int_{0}^{A}\frac{\vert \sin x\vert}{x}dx <+\infty\qquad (*)$
Je ne comprends pas pourquoi. En effet, je sais que $x \mapsto \frac{\sin x }{x}$ n'est pas intégrable sur $[0,+\infty[$ car on peut majorer $\int_{0}^{N\pi} \vert \frac{\sin x}{x}\vert dx$ par la somme partielle de la série harmonique.
Mais alors je ne vois pas pourquoi $(*)$ serait vrai.
Merci.
Réponses
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Bonjour,
L'intégrale $\int_0^{+\infty} {\sin x\over x} dx$ existe.
Pour ton problème, pourquoi ne pas essayer de découper l'intégrale par Chasles pour connaître le signe du sinus sur chaque intervalle puis majorer ? Ou alors essayer une intégration par parties ? -
Bonjour, merci de votre réponse
oui mais ce qui me dérange, c'est le A, on ne sait rien à part qu'il est >0
je ne sais pas comment découper l'intégrale -
Il n'y a rien à découper : cette $\int_0^A$ est l'intégrale d'une fonction continue (après prolongement en $0$) sur un segment.
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on prolonge $\sin x/x$ en 0 mais est-ce aussi valable pour $\vert \sin x \vert /x$ ?
Merci -
Bonjour,
J'ai corrigé la borne, l'intégrale avec $\infty$ existe. -
Pour toute fonction continue sur [0,A] l'intégrale de 0 à A existe et est finie. Rien à voir avec une intégrale sur [0,+oo[.Cordialement.
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Au voisinage à droite de $0$ on a $|\sin x| = \sin x$, donc il est évident que $x \mapsto \frac{|\sin x|}{x}$ se prolonge par continuité à droite en $0$.PS. J'ai l'impression que les intervenants de ce fil n'ont pas vraiment lu la question.
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Merci Poirot d'avoir enfoncé cette porte ouverte (Fifi21 aurait pu résoudre tout seul sa question s'il avait voulu, il est classique que $x\to 0$ est équivalent à $|x|\to 0$.Cordialement.
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Bonjour Poirot et gerard0
Merci en effet, je n'ai pas pensé à cette égalité stupide à droite de 0. Mon problème est maintenant résolu merci ! -
Faudrait pas laisser croire à fifi qu'il a correctement montré $ \int_0^{\infty}\frac{|\sin x|}{x}dx=\infty.$
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Effectivement, d'autant qu'il n'a rien montré ici.
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Bonjour!
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