Une question sur les idéaux principaux

Kapor DE
Kapor DE
Modifié (January 2022) dans Algèbre
Salut
S'il vous plaît j'aurais besoin d'aide.
Comment démontrer que si $J$ est un idéal premier de $\mathbb{Z}[X]$ tel que $\mathbb{Z}\cap J=0$,  alors $J$ est principal ?

Réponses

  • noradan
    noradan
    il y a un problème avec ton énoncé : si $J$ est principal alors il est principal !
  • Kapor DE
    Kapor DE
    Modifié (January 2022)
    Pardon, je l'ai rectifié.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (January 2022)
    Je pense que tu voulais écrire $\Z\cap J = \{0\}$?

    Je n’ai pas écrit le raisonnement en entier, mais si l’idéal $J$ n’est pas principal, alors il contient deux polynômes de degré minimal $P\in J$ et $Q\in J$ qui ne se divise pas dans $\Z[X]$. En supposant que $P$ et $Q$ ne sont pas constants, essaye de construire un troisième polynôme dans $J$ avec un degré plus petit à partir de $P$ et $Q$.
  • Pea
    Pea
    Une indication: tu peux essayer de montrer que $J=\mathbb{Z}[X]\cap J\mathbb{Q}[X]$, où $J\mathbb{Q}[X]$ désigne l'idéal engendré par $J$ dans $\mathbb{Q}[X]$, et tirer parti du fait que $\mathbb{Q}[X]$ est principal.

    Remarque: le résultat n'est pas vrai sans l'hypothèse que $J$ est premier, par exemple $J=(2X,X^2)$ n'est pas principal.
  • LOU16
    LOU16
    Modifié (January 2022)

    Bonsoir
    Il me semble bien que le seul idéal premier $J$ de $\Z[X]$ tel que $J \cap \Z = \{0\}$ est $J =X\Z[X],\:$(C'est faux) et donc que $J$ est principal.
    Soient $k :=\inf \Big\{\mathrm {Val} (P) \mid P \in J \Big\},\quad A\in J \text{ tel que }\:\mathrm{Val }(P) =k, \quad A=X^kB, \ B \in \Z[X], \ \mathrm{Val}(B) =0.$
    Alors $k\neq 0$ ( ?? voir le message suivant) et $k\geqslant 2$ est impossible, car dans ce cas on aurait $X^{k-1}(XB)\in J, \ X^{k-1}\notin J, \: XB \notin J,$ ce qui contredit le fait que $J$ est premier.
    Ainsi $k=1, \ J\subset X\Z[X].\quad $ D'autre part:  $\:B\notin J, \: A=XB\in J \implies X \in J, \ $  car $J$ est premier : $\:\:\: X\Z[X]\subset J.$
  • b.b
    b.b
    Salut LOU16

    $k=0$ est possible aussi, $(X^2+1)$ est un idéal premier de $\Z[X]$.
  • LOU16
    LOU16
    Modifié (January 2022)
    @b.b.
    En effet, tu as bien raison. J'ai dû avoir une hallucination ($J\cap\Z=\{0\} \implies k\neq0$) et j'ai écrit une ânerie.
    Pardon pour cette intervention inopportune et merci pour le signalement de mon erreur.
  • Zig
    Zig
    Modifié (January 2022)
    Bonjour
    J'avais fait cette démo pour un cas plus général.
    Soit $A$ un anneau unitaire commutatif principal.
    On considère $\mathcal{G}$ un idéal premier de $A\left[X\right]$ tel que $\mathcal{G}\cap A=\left\{ 0\right\} $.
    Alors $\mathcal{G}$ un idéal principal.
  • b.b
    b.b
    Modifié (January 2022)
    Ton raisonnement montre que $k\in\{0,1\}$. C'est juste une mini-erreur d'inattention, je ne vois pourquoi tu t'excuses pour ça.  :o
  • LOU16
    LOU16
    Modifié (January 2022)
    Bonjour,
    Voici un argument un peu moins expéditif mais que je pense plus convaincant que mon précédent.
    Pour tout $P$ non nul dans $\Z[X],\:\:\: c(P) := \text{ PGCD des coefficients de }P, \quad d(P) :=  \text{coefficient dominant de } P.$
    Soient $r:= \inf\left \{\text{deg}P \mid P\in J,\:P\neq 0 \right \}, \:\: A \in J$ tel que $\text{deg}A = r. $
    Les hypothèses "$J$ est premier" et "$J \cap \{\Z\} = \{0\}$" font que l'on peut choisir $A$ tel que $c(A) =1.\quad $ Notons $a=d(A).$ 
    Soit $P\in J$ tel que $\text{deg}P\geqslant r.\:\: $ On définit la suite $(P_0,P_1, \dots P_n) $ d'éléments de $J$ de la façon suivante:
    $$P_0 =P, \quad \text{tant que }\: \text{deg}P_k\geqslant  r, \:\: P_{k+1} = aP_k-d(P_k)X^{\text{deg}P_k-r}A . \quad (\bigstar) $$
    La suite des $\text{deg}P_k $ est strictement décroissante. $\quad \exists n \in \N^*$ tel que $\text{deg}P_n<r. \:\:$ Or $\:\: P_n\in J. \:\:$ Donc $\: P_n=0.$  
    Le système formé par les égalités $(\bigstar )$ pour $k$ allant de  $0$ à $n-1$  conduit alors à: $  \:\exists Q \in \Z[X]\:$ tels que $a^nP =QA.$
    On déduit: $\:a^n \:\text{divise}\: c(QA) =c(Q)c(A)=c(Q).\quad $ Ainsi: $ \:\:  \dfrac Q{a^n} \in Z[X], \quad P =\left( \dfrac Q{a^n}\right)A.\:\:$ On a donc prouvé: $\:J=A\Z[X].$




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