Ta question est différente de ton titre. La fonction n'est pas intégrable au sens de Lebesgue, mais l'intégrale de $\pi$ à +oo de la fonction converge.
Preuve de la convergence : l'intégrale de $\pi$ à $A$ est décomposable en une somme d'intégrales sur des intervalles de longueur pi, plus un petit complément. La somme est la somme partielle d'une série semi convergente (critère des séries alternées) et le complément tend vers 0.
Le premier terme à droite, puisque $\sigma-1<0$, tend vers $\cos(1)$ et le second converge, car $|t^{\sigma-2}\cos(t)| \leq t^{\sigma-2}\in L^1\left( [1;+\infty[\right)$.
Réponses
J'ai un doute, par exemple pour $\sigma = 0$.
Qu'entends-tu exactement par " intégrable au voisinage de $+\infty$ " ?
Paco.
Une IPP te permet de passer de l'exposant $\sigma-1$ à $\sigma-2$.
l'intégrale de L2M est telle que $\int_0^{+\infty}t^{a-1}sint.dt=sin(\frac{\pi}{2}a).\Gamma(a)$
d'après les applications intégrales de la fonction eulérienne Gamma
lorsque a tend vers 0 le résultat de l'intégration est équivalent à
$\frac{\pi}{2}a.\Gamma(a)$ soit $\frac{\pi}{2}$ (on retrouve l'intégrale de Dirichlet)
l'intégrale de L2M converge pour $a > - 1$
Cordialement