Séries de fonctions

Bonjour,
je suis en train de chercher cet exercice .
Soit $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} .$ Pour $n \in \mathbf{N}$, soit $u_{n}: x \in \mathbf{R} \mapsto \dfrac{(-1)^{n} f(x)}{\sqrt{1+n^{2} f^{2}(x)}} .$ Soit $S=\sum_{n\geq0} u_{n} .$

a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $S$.

b) La convergence est-elle uniforme sur $D\ ?$

c) On suppose que $f$ est continue. Montrer que $S$ est continue. Étudier la réciproque.

Les questions a, b ne me posent pas de problème. Dans la question c, $f$ continue alors $S$ continue OK. Mais je ne vois pas comment traiter la réciproque : elle me semble fausse mais je ne trouve pas de contre-exemple. 
Merci pour votre aide,
bestM.