Des applications de Cesàro et/ou Abel et/ou Silverman–Toeplitz
Bonjour à tous et à toutes.
Ce fil a pour objectif de présenter un recueil d'exercices sous formes d'énigmes autour de "Cesàro, Cesàro généralisé, Stolz-Cesàro, Sommations d'Abel et Silverman–Toeplitz". Certaines énigmes sont originales qui viennent de mes discussions sur le forum, d'autres sont classiques ou trouvées sur le net. Vous pouvez aussi enrichir ce forum en ajoutant des énigmes que vous jugez intéressantes sur le thème ( en respectant le numéro alloué à l'énigme), je donnerai avec plaisir un lien dans cette première page ciblant l'énigme. Vos propositions de solutions originales vont être gravées dans la mémoire de ceux qui vous lisent. Ce fil peut constituer pour un colleur en prépa (qui se doit avoir assez de recul ) une caverne d'Ali Baba sur Césaro et compagnies. C'est un travail collectif et un plaisir partagé
Avertissement : Chercher les solutions de ces énigmes sur le net pour donner un lien est un peu con !
Echauffement 0 Cesàro pour calculer une limite.
Soit $a>0$. Calculer la limite de $\prod_{k=1}^n (1+\frac a k)^{\frac kn}$
Preuve par Calli
$$\log\left(\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{a}{k}\right)^{k/n}\right)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k\log\left(1+\frac{a}{k}\right)$$Comme
$k\log\left(1+\frac{a}{k}\right)\rightarrow a$ par Cesaro direct on a
$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k\log\left(1+\frac{a}{k}\right)\rightarrow
a\Rightarrow\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{a}{k}\right)^{k/n}\rightarrow
e^{a}$$
Echauffement 1 Silverman–Toeplitz
Soit $a_n$ une suite réelle qui converge vers $a \in \mathbb{R}$. Soit une double suite $c_{k,n}$ avec ( $1\le k \le n$) vérifiant : \begin{align*} \forall k,\qquad& \lim_{n \to \infty}c_{k,n} = 0 \\ &\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n c_{k,n} = 1\\ \exists M>0,\ \forall n,\qquad& \sum_{k=1}^n |c_{k,n}| \le M
\end{align*} Alors $\lim_{n \to \infty}s_n =a$, où $s_n \equiv \sum_{k=1}^n
c_{k,n} \cdot a_k.$
Preuve par Calli
\end{align*} Alors $\lim_{n \to \infty}s_n =a$, où $s_n \equiv \sum_{k=1}^n
c_{k,n} \cdot a_k.$
Preuve par Calli
Soit $\varepsilon >0$. Soient $m>0$ un majorant de $(|a_n|)$ et $n_0$ tel que : $\forall n>n_0, |a-a_n|<\frac{\varepsilon}{3M} \text{ et } \Big|1-\sum\limits_{k=1}^n c_{k,n}\Big| <\frac{\varepsilon}{3|a|+1} $. Soit $n_1>n_0$ tel que : $\forall n>n_1, \forall k\in[\![1,n_0]\!], |c_{k,n}|<\frac\varepsilon{6mn_0} $. On a $\forall n>n_1$, $$\begin{eqnarray*} \left|a-\sum_{k=1}^n c_{k,n} a_k \right| &\leqslant & \left|\sum_{k=1}^n c_{k,n} (a-a_k) \right|+ \left| a-\sum_{k=1}^n c_{k,n}a \right|\\
&\leqslant& \sum_{k=1}^{n_0} |c_{k,n}| |a-a_k| + \sum_{k=n_0+1}^{n} |c_{k,n}| |a-a_k| + |a| \left| 1-\sum_{k=1}^n c_{k,n} \right|\\
&\leqslant& \sum_{k=1}^{n_0} \frac\varepsilon{6m n_0}\, 2m + \sum_{k=n_0+1}^{n} |c_{k,n}| \frac\varepsilon{3M}+ |a| \frac{\varepsilon}{3|a|+1}\\
&\leqslant& \frac\varepsilon3 + \frac\varepsilon3 + \frac{\varepsilon}3 \\
&=& \varepsilon
\end{eqnarray*}$$
&\leqslant& \sum_{k=1}^{n_0} |c_{k,n}| |a-a_k| + \sum_{k=n_0+1}^{n} |c_{k,n}| |a-a_k| + |a| \left| 1-\sum_{k=1}^n c_{k,n} \right|\\
&\leqslant& \sum_{k=1}^{n_0} \frac\varepsilon{6m n_0}\, 2m + \sum_{k=n_0+1}^{n} |c_{k,n}| \frac\varepsilon{3M}+ |a| \frac{\varepsilon}{3|a|+1}\\
&\leqslant& \frac\varepsilon3 + \frac\varepsilon3 + \frac{\varepsilon}3 \\
&=& \varepsilon
\end{eqnarray*}$$
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Échauffement 2 ( Lemme de l’escalier pour la moyenne de Cesàro)
Soit $(a_n)$ une suite réelle ou complexe et notons $M_n=\frac 1n \sum_{k=1}^n a_n$ . Si $M_{n+1}-M_n\to 0$ , alors $\frac{a_n}n\to 0$ ( On peut s'aider par le lemme de l'escalier classique)
Preuve par Boécien
On a $nM(n)=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ et donc par différence on obtient
$$(n+1)M(n+1)-nM(n)=a_{n+1}$$
Soit
$$\frac{a_{n+1}}{n}=M(n+1)-M(n)+\frac{M(n+1)}{n}$$
D'après Cesàro comme $M_{n+1}-M_{n}\rightarrow0$ il en va de même de $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(M_{k+1}-M_{k}\right)=\frac{M_{n+1}}{n}$ et donc $\frac{a_{n+1}}{n}\rightarrow0$ ce qui permet de conclure.
$$(n+1)M(n+1)-nM(n)=a_{n+1}$$
Soit
$$\frac{a_{n+1}}{n}=M(n+1)-M(n)+\frac{M(n+1)}{n}$$
D'après Cesàro comme $M_{n+1}-M_{n}\rightarrow0$ il en va de même de $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(M_{k+1}-M_{k}\right)=\frac{M_{n+1}}{n}$ et donc $\frac{a_{n+1}}{n}\rightarrow0$ ce qui permet de conclure.
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Échauffement 3 (Démontrer qu'une suite n'est pas Cesàro sommable)
Montrer que la suite u définie par $\forall n\in\mathbb N,\, u_n=(-1)^n n\, $ n'est pas Cesàro sommable.
(Penser à utiliser l’échauffement 2)
Preuve par
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Soient $\lambda_n$ une suite de réels strictement positifs avec $\sum_{k=1}^{n} \lambda_k \to +\infty$ et $(a_n)$ une suite réelle . Montrer que si $a_n\to l\in \mathbb R$ alors $\frac 1{\sum_{k=1}^{n} \lambda_k}\sum_{k=1}^{n} \lambda_ka_k\to l$.
Le résultat reste-il vrai si $l$ est infinie?
Preuve par Boécien
Soit
$a_{n}\rightarrow\ell$ et $\lambda_{n}>0$ avec
$\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\rightarrow\infty$ alors
$\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}a_{k}\rightarrow\ell$.
Preuve :
Preuve :
$\forall\varepsilon>0$
il existe $n_{\varepsilon}$ tel que $n\geq
n_{\varepsilon}\Rightarrow\left|a_{n}-\ell\right|<\varepsilon/2$ et
alors
$$\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\left|\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|\leq\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}+\varepsilon/2\frac{\left|\sum_{k=n_{\varepsilon}}^{n}\lambda_{k}\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\leq\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}+\varepsilon/2$$
Comme $\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\rightarrow0$ il existe $n'_{\varepsilon}$ tel que $n\geq\max(n_{\varepsilon},n'_{\varepsilon})\Rightarrow\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}<\varepsilon/2$, il s'ensuit que pour $n\geq\max(n_{\varepsilon},n'_{\varepsilon})$ on a
$$\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\left|\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|\leq\varepsilon$$
$$\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\left|\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|\leq\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}+\varepsilon/2\frac{\left|\sum_{k=n_{\varepsilon}}^{n}\lambda_{k}\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\leq\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}+\varepsilon/2$$
Comme $\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\rightarrow0$ il existe $n'_{\varepsilon}$ tel que $n\geq\max(n_{\varepsilon},n'_{\varepsilon})\Rightarrow\frac{\left|\sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}-1}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}<\varepsilon/2$, il s'ensuit que pour $n\geq\max(n_{\varepsilon},n'_{\varepsilon})$ on a
$$\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\left|\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\left(a_{k}-\ell\right)\right|\leq\varepsilon$$
et donc $\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}}\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}a_{k}\rightarrow\ell$.
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Échauffement 5 (Application directe de Cesàro généralisé)
1-Soit $(a_n)$ une suite réelle. Montrer que si $a_n\to l\in\bar \R$, alors $\frac 1{n^3}\sum_{k=1}^n k^2a_k \to \frac l 3$.
Preuve par @Boécien
Si $a_n\to l$, alors si $\frac{a_n}3\to \frac l3$. On applique alors Cesàro généralisé à la suite $\lambda_k= 3k^2$
2-Pour toute suite
$a=(a_n)$, on note $M_n^{(m)}(a) $ sa moyenne de Cesàro d'ordre
$m\in\N$: $M_n^{(m)} (a)= \frac{(n-1)!(m+1)}{(n+m)!} \sum_{k=1}^n
\frac{(m+k-1)!}{(k-1)!} a_k$ ( La moyenne de Cesàro d'ordre 0 est la
moyenne de Cesàro classique). Montrer que si $a_n\to \alpha$, alors
$\forall m\in\N,\, M_n^{(m)}(a)\to \alpha$
Preuve par @raoul-s
On a
$\frac{(n-1)!(m+1)}{(n+m)!} \sum_{k=1}^n
\frac{(m+k-1)!}{(k-1)!}a_k=\frac 1{\binom {n+m}{m+1}}\sum_{k=1}^n \binom
{m+k-1}{m} a_k$. De plus $\sum_{k=1}^n \binom
{m+k-1}{m}=\sum_{i=m}^{m+n-1}\binom {i}{m} =\binom {n+m}{m+1}$ d’après
l'identité de Hockey-stick . On conclut par Cesàro-généralisé
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Énigme 1
Soit $(a_n)$ une suite réelle. Montrer que si
$\ \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}k \to l\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \to 0$.
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Énigme 2
Soient $(a_n)$ une suite réelle et $(b_n)$ une suite de nombres positifs croissante vers +$\infty$. Montrer que
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k} \to l\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1{b_n} \sum_{k=1}^n a_k \to 0$
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Énigme 3
Soient $(a_n)$ une suite de réelles et $(b_n)$ une suite de nombres positifs croissante vers +$\infty$.
Montrer que si $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} a_kb_k\ $ converge alors $\ \displaystyle b_n\sum_{k=n}^{+\infty} a_k → 0$.
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Énigme 4
Soit $(a_n)$ une suite réelle. Montrer que si
$ \displaystyle \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \to 0\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1{n^2} \sum_{k=1}^n ka_k \to 0$.
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Énigme 4 bis réciproque de l'énigme 4 Soit $(a_n)$ une suite croissante de nombres réels. Montrer que si
$\ \displaystyle \frac 1{n^2} \sum_{k=1}^n ka_k \to 0$, alors $ \displaystyle \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \to 0\ $
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Énigme 5 (Proposée par Calli)Soit $(u_n)$ une suite développable en puissances de $n$ au sens suivant
: il existe une suite $(a_n)$ telle que $\sum a_n$ converge et :
$\forall n\in\Bbb N^*,\; u_n = \sum\limits_{k=0}^\infty
\frac{a_k}{n^k}$. Trouver les 4 premiers termes du développement
asymptotique (limite comprise) de $\frac1n \sum\limits_{k=1}^n u_k$.
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Énigme 6Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $(u_{2n})$ converge vers $a$ et $(u_{2n+1})$ converge vers $b$ . En appliquant Cesàro, montrer que la moyenne de la suite $(u_n)$ tend vers la moyenne de a, b
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Généralisation 1 de l"énigme 6
Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $(u_{3n})$ converge vers $a$ , $(u_{3n+1})$ converge vers $b$ et $(u_{3n+2})$ converge vers $c$. En appliquant Cesàro, montrer que la moyenne de la suite $(u_n)$ tend vers la moyenne de a, b, c
Lien vers une solution
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Énigme 7
Soient deux suites réelles convergentes $(a_n)$ et $(b_n)$. Soit
$c_n=\frac 1n \sum_{k=1}^n a_kb_{n-k}$. On suppose que $a_n\to a$ et
$b_n\to b$ . Montrer que $c_n\to ab$
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Généralisation 1 de l'énigme 7 ) :
Soient trois suites $a_{n},b_{n},c_{n}$ convergeant respectivement vers $a,b,c$. Alors on a
$$\frac{2}{n^2}\sum_{i+j+k=n} a_i\,b_j\, c_k\, \rightarrow abc$$
$$\frac{2}{n^2}\sum_{i+j+k=n} a_i\,b_j\, c_k\, \rightarrow abc$$
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Généralisation 2 de l'énigme 7 ) :
Pour tout
couple $(p,n)$ d'entiers naturels non nuls, on note $\Delta_p(n)$
l'ensemble des $p$-uplets d'entiers naturels non nuls dont la somme vaut
$n$.
Soit $p$ un entier, et soit $(a_{m,n})_{m \in \{1,\cdots,p\}, n \in \mathbb{N}^*}$ une famille de réels et supposons que pour tout $m \in \{1,\cdots,p\}$, $(a_{m,n})_{n}$ est convergente.
Alors \[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\vert \Delta_p(n) \vert} \sum_{(n_1,\cdots,n_p) \in \Delta_p(n)} \prod^p_{m=1} a_{m,n_m} = \prod^p_{m=1} \lim_{n\to \infty} a_{m,n}.\]
Soit $p$ un entier, et soit $(a_{m,n})_{m \in \{1,\cdots,p\}, n \in \mathbb{N}^*}$ une famille de réels et supposons que pour tout $m \in \{1,\cdots,p\}$, $(a_{m,n})_{n}$ est convergente.
Alors \[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\vert \Delta_p(n) \vert} \sum_{(n_1,\cdots,n_p) \in \Delta_p(n)} \prod^p_{m=1} a_{m,n_m} = \prod^p_{m=1} \lim_{n\to \infty} a_{m,n}.\]
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Énigme 8 Cesàro pour calculer une limite. Calculer la limite de $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{k.2^{k-n}}{k+1}$.
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Énigme 9 (Lorsque Cesàro et Cesàro généralisé échouent )Soit $(u_n)$ une suite réelle .
Si $ u_n \to L\in \R$ , alors $\frac 1{2^n} \sum_{k=1}^n\binom{n}{k} u_k \to L$
Si $ u_n \to L\in \R$ , alors $\frac 1{2^n} \sum_{k=1}^n\binom{n}{k} u_k \to L$
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Énigmes 10,11 et 1210. Inversion très faible de Cesàro
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}$ croissante alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
11. Inversion faible de Cesàro
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}-a_{n-1}=o\left(n^{-1}\right)$ alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
12. Inversion forte de Cesàro
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}-a_{n-1}=O\left(n^{-1}\right)$ alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}$ croissante alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
11. Inversion faible de Cesàro
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}-a_{n-1}=o\left(n^{-1}\right)$ alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
12. Inversion forte de Cesàro
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}-a_{n-1}=O\left(n^{-1}\right)$ alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
lien vers une solution de l'énigme 10, lien vers une solution de l'énigme11; lien vers une solution de l'énigme12;
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Énigme 13 (Cesàro pour chercher un équivalent)
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Soit
$a_{n}$ une suite de réels . On suppose qu'
il existe une suite $\lambda_n$ de réels strictement positifs avec
$\sum_{k=1}^{n} \lambda_k \to +\infty$ et notons $L_n = \sum_{k=1}^n \lambda_k$. On suppose
1- $a_n - a_{n-1} = o(n^{-1})$
2- $\frac n{L_n}=O(1)$
( Condition de Boécien)
ou bien
1- $a_n - a_{n-1} = O(n^{-1})$
2-$\exists c > 0$ tel que $\frac{L_{n+1}}{L_n}
\geq 1 + \frac{c}n$ APCR
(condition de Pomme de terre)
Alors pour tout $\ell \in \R$,
$$\frac1{L_n}\sum_{k=1}^n \lambda_k a_k \xrightarrow[n\to+\infty]{} \ell \ \implies\ a_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} \ell.$$
Soient $a\ge 0$, $l\in\R^*$ et $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_n-u_{n-1}\sim {n^a} l$.
Chercher un équivalent de $u_n$ .
( Pour a=0, on retrouve le résultat classique $u_n\sim ln$
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Énigme 14
Soit (u_n) une suite réelle. On suppose $ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n u_k $ tend vers $\ell \in \mathbb R$.Montrer que $ \frac{1}{\mathrm{ln}(n)}\sum_{k=1}^n \frac{u_k}{k} $
Preuve par Boécien
Soit $U(n)=\sum_{k=1}^{n}u_{k}$ avec $U(0)=0$ alors on a avec Abel (1)$$\sum_{k=1}^{n}U(k)\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{k}-\frac{u_{n}}{n+1}$$D'un autre côté comme par hypothèse $U(k)=k\ell+o(k)$ et qu'on a $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}=\log(n)+o\left(\log n\right)$, par sommation des équivalents on obtient (2)$$\sum_{k=1}^{n}U(k)\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\sum_{k=1}^{n}\frac{k\ell+o(k)}{k(k+1)}=\ell\log n+o\left(\log n\right)$$Et donc (1) = (2) donne$$\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{k}=\ell\log n+o\left(\log n\right)+\frac{u_{n}}{n+1}$$Comme $\frac{u_{n}}{n}\rightarrow0$ on a finalement$$\frac{1}{\log n}\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{k}\rightarrow\ell$$
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Preuve par BobbyJoe
Il suffit de faire une transformée d'Abel en notant pour $x\geq 1,$ $\displaystyle S(x)=\sum_{1\leq k\leq x}u_{k}.$
L'hypothèse s'écrit : $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{S(x)}{x}=\ell.$
Pour $x>1,$ on obtient par une IPP (ou par une transformation d'Abel) $$\frac{1}{\ln(x)}\int_{1^{-}}^{x}\frac{dS(t)}{t}=\frac{1}{\ln(x)}\left[\frac{S(t)}{t}\right]_{1^{-}}^{x}+\frac{1}{\ln(x)}\int_{1^{-}}^{x}\frac{S(t)}{t^2}dt=\frac{1}{\ln(x)}\frac{S(x)}{x}+\frac{1}{\ln(x)}\int_{1^{-}}^{x}\frac{S(t)}{t}\times \frac{dt}{t}.$$
Je ne gère pas le termes de bords... mais le résultat s'obtient alors en passant à la limite et par intégration des relations de comparaison.
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Énigme 16enigme 15 Bibix
Soit $(\alpha_k)_k$ une suite de termes positifs et $(S_k = \sum_{i = 1}^k \alpha_i)_k$ la suite des sommes partielles associées. Si $f(n) = \sum_{k = 1}^n \frac{\alpha_k}{S_k} \to +\infty$, on a pour toute suite réelle $(u_n)_n$ le résultat suivant :
$\underset{n \to +\infty}{\liminf} \frac{\sum_{k = 1}^n \alpha_k u_k}{S_n} \leqslant \underset{n \to +\infty}{\liminf} \frac{\sum_{k = 1}^n \frac{\alpha_k}{S_k} u_k}{f(n)} \leqslant \underset{n \to +\infty}{\limsup} \frac{\sum_{k = 1}^n \frac{\alpha_k}{S_k} u_k}{f(n)} \leqslant \underset{n \to +\infty}{\limsup} \frac{\sum_{k = 1}^n \alpha_k u_k}{S_n}$
Preuve par Bibix
Voici la preuve : on commence par prendre une suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, utilisons l'astuce de @JLT en posant $v_n = \frac{1}{S_n} \sum_{k = 1}^n \alpha_k u_k$ pour $n \geqslant 1$, $v_0 = 0$. On a :
$\alpha_{k+1} u_{k+1} = v_{k+1} S_{k+1} - v_k S_k = v_{k+1} S_{k+1} - v_k (S_{k+1} - \alpha_{k+1})$
Donc :
$\frac{\alpha_{k+1}}{S_{k+1}} u_{k+1} = v_{k+1} - v_k + \frac{\alpha_{k+1}}{S_{k+1}} v_k$
En passant à la somme pour $k$ allant de $0$ à $n-1$, puis en divisant par $f(n)$, on obtient :
$\frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} u_{k} = \frac{v_n}{f(n)} + \frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} v_{k-1}$
D'où :
$\underset{n \to +\infty}{\limsup}\frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} u_{k} \leqslant \underset{n \to +\infty}{\limsup} \left(\frac{v_n}{f(n)}\right) + \underset{n \to +\infty}{\limsup} \left(\frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} v_{k-1}\right) \, (1)$
(car $\limsup(a_n + b_n) \leqslant \limsup a_n + \limsup b_n$)
On fait la même chose avec $\liminf$ (qui possède la même propriété dans l'autre sens) ce qui donne :
$\underset{n \to +\infty}{\liminf}\frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} u_{k} \geqslant \underset{n \to +\infty}{\liminf} \left(\frac{v_n}{f(n)}\right) + \underset{n \to +\infty}{\liminf} \left(\frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} v_{k-1}\right) \, (2)$
On utilise ensuite le théorème de Stolz-Cesàro qui donne (car $f(n) \to +\infty$ et $\alpha_k > 0$ pour tout $k$) :
$\underset{n \to +\infty}{\liminf} v_{n-1} \leqslant \underset{n \to +\infty}{\liminf} \left(\frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} v_{k-1}\right) \leqslant \underset{n \to +\infty}{\limsup} \left(\frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} v_{k-1}\right) \leqslant \underset{n \to +\infty}{\limsup} v_{n-1}$
Ce qui peut se réécrire évidemment en :
$\underset{n \to +\infty}{\liminf} v_{n} \leqslant \underset{n \to +\infty}{\liminf} \left(\frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} v_{k-1}\right) \leqslant \underset{n \to +\infty}{\limsup} \left(\frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} v_{k-1}\right) \leqslant \underset{n \to +\infty}{\limsup} v_{n}$
On en déduit avec $(1)$ et $(2)$ que :
$\underset{n \to +\infty}{\liminf} \left(\frac{v_n}{f(n)}\right) + \underset{n \to +\infty}{\liminf} \left(v_n\right) \leqslant \underset{n \to +\infty}{\liminf}\frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} u_{k} \leqslant \underset{n \to +\infty}{\limsup}\frac{1}{f(n)}\sum_{k = 1}^{n} \frac{\alpha_{k}}{S_{k}} u_{k} \leqslant \underset{n \to +\infty}{\limsup} \left(\frac{v_n}{f(n)}\right) + \underset{n \to +\infty}{\limsup} \left(v_n\right)$
Or par hypothèse, on a $f(n) \to +\infty$, donc :
$\underset{n \to +\infty}{\liminf}\left(\frac{v_n}{f(n)}\right) + \underset{n \to +\infty}{\liminf}\left(v_n\right) = \underset{n \to +\infty}{\liminf}\left(v_n\right)$$\underset{n \to +\infty}{\limsup}\left(\frac{v_n}{f(n)}\right) + \underset{n \to +\infty}{\limsup}\left(v_n\right) = \underset{n \to +\infty}{\limsup}\left(v_n\right)$
CQFD.---------------------------------
Soit $(a_n)$ une suite réelle à termes strictement positifs. Montrer que si
$ \displaystyle \frac 1{na_n} \sum_{k=1}^n a_k \to L\in\R\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1{n^2a_n} \sum_{k=1}^{n} ka_k \to \frac L{L+1}$
$ \displaystyle \frac 1{na_n} \sum_{k=1}^n a_k \to L\in\R\ $ alors $\ \displaystyle \frac 1{n^2a_n} \sum_{k=1}^{n} ka_k \to \frac L{L+1}$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Énigme 17 ( modifiée)Soient $\alpha >0$ et $(a_n)$ une suite réelle à termes strictement positifs. Montrer si $\sum_{k=1}^n a^{\alpha}_k\sim \frac 1 {a_n}$ alors $a_n\sim (n(\alpha +1))^{-\frac 1{\alpha +1}}$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Énigme 18
Soient deux suites réelles $(a_n)$ et $(b_n)$. On suppose
1- $a_n \to 0$
2- $\frac 1n\sum_{k=1}^n k|a_{k+1}-a_k| \to 0$
3-$\exists M>0; \forall n>0, |\frac 1n\sum_{k=1}^n b_k|\le M$
Montrer que $\frac 1n\sum_{k=1}^n a_kb_k \to 0$-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Énigme 19 modifiée Soit $(a_n)$ une suite réelle et $\alpha\in]-1,1[$.Montrer que $a_n\to 0\, \iff \,a_{n+1}-\alpha a_n\to 0$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Énigme 20 ( Quelques propriétés utiles (indépendantes) de la moyenne de Cesàro)Pour toute suite $u=(u_n)$, on note $M_n(u) = \frac1n\sum_{k=1}^n
u_k$ sa $n$-ième moyenne de Cesàro. Soient deux suites $a=(a_n)$ et
$b=(b_n)$ strictement positives.
1- Montrer que $\forall n, M_n(a)\cdot M_n(\frac 1{a})\geqslant 1$
2- Si $a_n\to \alpha>0$ et $M_n(b)\to \beta$, alors $a_n \cdot M_n(\frac{b}{a})\to\beta$
2- Si $a_n\to \alpha>0$ et $M_n(b)\to \beta$, alors $a_n \cdot M_n(\frac{b}{a})\to\beta$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Énigme 21 (modifiée)-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Énigme 22 (Une généralisation de l'énigme 16)Soit $(a_n)$ une suite réelle avec $\forall n\ge 1, a_n\neq 0$. Soit $L>0$. Montrer que si
$ \displaystyle \frac 1{na_n} \sum_{k=1}^n a_k \to L\ $ alors $\forall p\in \N, \displaystyle \frac 1{n^{p+1}a_n} \sum_{k=1}^{n} k^p a_k \to \frac L{1+pL}$
$ \displaystyle \frac 1{na_n} \sum_{k=1}^n a_k \to L\ $ alors $\forall p\in \N, \displaystyle \frac 1{n^{p+1}a_n} \sum_{k=1}^{n} k^p a_k \to \frac L{1+pL}$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Énigme 23 (Cesàro et matrices) On
note $E=O_n(\mathbb R)$ l'ensemble des matrices orthogonales d'ordre n à
coefficients réels muni d'une norme subordonnée. Soit $A\in E$ telle
que $I_n-A$ est inversible. En utilisant Cesàro montrer que la suite
$(A^n)$ des puissances de $A$ ne peut converger vers une matrice B
lien vers une solution de l'énigme
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Énigme 24montrer que la moyenne de Cesàro d'une suite $(a_n)$ périodique est convergente. Exemple $a_n=(-1)^n$
lien vers une solution de l'énigme24 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Énigme 25Soit $(a_n)$ une suite réelle. Montrer l'équivalence
$\sum_{k=1}^{+\infty}
|a_k|$ est convergente $\iff$ pour toute suite réelle $(b_n)$
convergente, on a $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k b_k, $ est convergente
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Énigme 26 (Généralisation de Cesàro dans le cadre positif, on retrouve Cesàro classique pour $a=0 $)Soit $(a_n)$ une suite réelle positive et décroissante. Soit $\ell>0,\ a\in[0,1[$ et $M_n$ sa moyenne de Cesàro. Montrer l'équivalence $n^a a_n \to \ell \iff n^a M_n \to \frac \ell{1-a}$
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Énigme 27 ( Comparaison entre les règles de d'Alembert et de Cauchy)
Soit
$(a_n)$ une suite réelle strictement positif et $l\in [0,+\infty]$.
Montrer en utilisant Cesàro que si $\frac{u_{n+1}}{u_n}\to l $ alors
$u_n^\frac 1n\to l$.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Énigme 28 ( Une application de la convergence au sens de Cesàro)On considère des suites strictement positives $(a_n),\, (b_n)$et $(c_n)$ vérifiant $a_n=b_n c_n$. On suppose que
1- $a_n\to a$.
2- $b_n\to b$ au sens de Cesàro.
3- $c_n\to c$ au sens de Cesàro.
4- $ (b_n-b_m)(c_n-c_m)\ge 0 ,\quad \forall n,m\ge 1$.
Montrer que $a=bc$.
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Énigme 29Soit $f:\, \R\to\R$ une fonction continue, $2\pi$-périodique. Montrer que la moyenne de Cesàro de la suite $(f(n))$ converge vers la moyenne de f sur une période
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Énigme 30 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Énigme 31 (Cesàro-continuité) Quelles sont les fonctions
$f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour toute suite $(x_n)$
Cesàro-convergente, la suite $(f(x_n))$ est aussi Cesàro-convergente ?
Énigme 31bis :
lien vers une solution de l'énigme31 et 31bisPareil que la 31, mais on s’intéresse
aux fonctions qui envoient toute suite Cesàro-convergente sur une suite
Cesàro-convergente et qui préservent la moyenne de Cesàro limite.
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Énigme 32
Pour toute série
convergente $\sum a_{n}$ pour laquelle la fonction $f(x):=\sum
a_{n}x^{n}$ converge si $0\leq x<1$ montrer qu'on a, en notant
$A(n)=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$
:$$\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{A(0)+A(1)+\cdots+A(n)}{n+1}\leq\liminf_{x\rightarrow1}\
(1-x)\sum A(n)x^{n}$$et$$\limsup_{x\rightarrow1}\
(1-x)\sum_{n=0}^{\infty}A(n)x^{n}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{A(0)+A(1)+\cdots+A(n)}{n+1}.$$
Lien vers une solution
Lien vers une solution
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Énigme 33 Soit $(a_n) $ une suite positive avec $a_0\neq0$. Trouver une
condition nécessaire et suffisante sur $(a_n) $ pour que : pour toute
suite réelle $(u_n) $, $u_n$ converge si et seulement si
$$\frac1{\sum_{k=0}^n a_k} \sum_{k=0}^n a_ku_k $$ converge.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Enigme 34
Soit $f:\mathbb{N\rightarrow\mathbb{R^{*+}}}$ Montrer l'implication
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(n)}{n}=l\in
[0,+\infty]\Longrightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\frac
1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{f(k)}n}=\frac{\ln(1+l)}{l}$$
Si $f$ est croissante ou décroissante , a-t-on la réciproque ?-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Enigme 35 Soit $f:\, [0,1]\to \mathbb R$ une continue, monotone et $(a_n)$ une suite réelle. Si $a_n\to a$ au sens de Cesàro, montrer que $\frac 1{n}\sum_{k=1}^n f(\frac kn) a_k=a\int_0^1 f(x) dx$
On retrouve les sommes de Riemann si $a_k=1$ pour tout k
Ensuite remplacer f continue sur [0,1] pat f bornée sur [0,1] puis par f continue sur ]0,1] non bornée d'intégrale généralisée $\int_0^1 f(x) dx$ convergente
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Énigme 36
Soit une suite réelle positive $u$ avec $M_n(u)=O(n^{-a})$ et $a>0$. Montrer que la série $\sum \frac{a_n}n$ converge.
Le 😄 Farceur
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Réponses
(Ah! ça a été corrigé)
En posant $b_n:=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}k$, on a $$\frac1n \sum_{k=1}^n a_k = \frac1n \sum_{k=1}^n k(b_k-b_{k-1}) = \frac1n \left( (n+1)b_n - \sum_{k=1}^n b_k\right) = \frac{n+1}n b_n - \frac1n\sum_{k=1}^n b_k \longrightarrow l-l=0$$ par Abel puis Cesàro.
Tu aurais mieux fait de ne pas dire que c'était du Cesàro ; ç'aurait été un peu moins facile. Mais c'est vrai que c'est une jolie application (et un bon futur exo de colle
(Je dois faire mes devoirs j'en ai pleins !! ._.' Bonne nuit
@MrJ : Et ta méthode passe aussi par Cesàro ?
---------------------------------
J'ai une solution pour l'énigme n°3, mais elle n'utilise pas Cesàro. Notons $s_n = \sum\limits_{k=1}^n a_kb_k$ et $\ell=\lim s_n = \sum\limits_{k=1}^\infty a_kb_k$. Alors, pour tous entiers $n<m$, $$\sum_{k=n}^m a_k = \sum_{k=n}^m \frac{a_kb_k}{b_k} = \frac{s_m}{b_{m+1}} -\frac{s_{n-1}}{b_n} + \sum_{k=n}^m s_k\left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right)$$ par transformation d'Abel. Or $$\sum_{k=1}^\infty\left| s_k\left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right)\right| \leqslant \sup_{j\in\Bbb N^*}|s_j| \sum_{k=1}^\infty \left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right) = \sup_{j\in\Bbb N^*}|s_j| \,\frac1{b_1} <\infty$$ car $(s_k)$ est bornée et $\frac1{b_k}$ tend vers 0 en décroissant, donc $\Big( s_k\big(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\big)\Big)_{k\in\Bbb N^*}$ est une suite sommable. Ainsi, on peut faire tendre $m$ vers $+\infty$ dans l'égalité précédente, ce qui donne : $$b_n \sum_{k=n}^\infty a_k = 0 -s_{n-1}+ b_n \sum_{k=n}^\infty s_k\left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right).$$ Or : $\forall \varepsilon >0$, $$\left|\ell - b_n \sum_{k=n}^\infty s_k\left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right) \right| \leqslant b_n \sum_{k=n}^\infty |\ell -s_k|\left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right) \leqslant b_n \sum_{k=n}^\infty \varepsilon \left(\frac1{b_k}-\frac1{b_{k+1}}\right) = \varepsilon$$ quand $n$ est assez grand, car $\frac1{b_k}$ tend vers 0 en décroissant. Donc $b_n \sum\limits_{k=n}^\infty a_k \longrightarrow- \ell+\ell =0$.
Comme
• $\frac{2k}{n^{2}}\rightarrow0$ pour tout $k$ fixé
• $\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{n^{2}}\rightarrow1$
• $\sum_{k=1}^{n}\left|\frac{2k}{n^{2}}\right|\leq2$
et on peut appliquer le théorème de Toeplitz qui donne
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{n^{2}}a_{k}=0=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\Rightarrow\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\rightarrow0$$
Le n°6 est je pense l'application la plus connue de Cesàro. Le n°7 a déjà été donné : c'est le n°2 !
Il me semble qu'avec Toeplitz (cf plus haut) la question est "vite répondue".
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
• $\sum_{k=1}^{n}2^{k-n-1}\rightarrow1$
• $\sum_{k=1}^{n}\left|2^{k-n-1}\right|$ borné
On peut donc appliquer le théorème de Toeplitz qui donne$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1}2^{k-n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}=1$$
Si $ u_n \to L\in \R$ , alors $\frac 1{2^n} \sum_{k=1}^n\binom{n}{k} u_k \to L$
Il se fait directement ( assez difficile) , je ne sais pas si on peut appliquer Cesàro ou compagnies)
Il est très fort ce théorème
10. Inversion très faible de Cesàro
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}$ croissante alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
11. Inversion faible de Cesàro
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}-a_{n-1}=o\left(n^{-1}\right)$ alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
12. Inversion forte de Cesàro
Soit $a_{n}$ une suite de réels tels que $\frac{a_{1}+a_{2}+..+a_{n}}{n}\rightarrow\ell$ avec $a_{n}-a_{n-1}=O\left(n^{-1}\right)$ alors on a $a_{n}\rightarrow\ell$
Comme on s'en doute la démonstration de 10 est plus facile que celle de 11 qui est moins dure que celle de 12.
Silverman–Toeplitz
Soit $a_n$ une suite réelle qui converge vers $a \in \mathbb{R}$. Soit une double suite $c_{k,n}$ avec ( $1\le k \le n$) vérifiant :\end{align*} Alors $\lim_{n \to \infty}s_n =a$, où $s_n \equiv \sum_{k=1}^n
c_{k,n} \cdot a_k.$
Montrer que $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac {1}{n^2}\sum\limits_{k=0}^{n}\ln\binom{n}{k}=1/2$ en utilisant Stolz-Cesàro ou Silverman-Toeplits.