Bricolage de limite d'intégrale

Soit $f:[0,1]\rightarrow\R$ continue.
Pouvez-vous m'aider à nettoyer ma démonstration pour la convergence de la suite $\left(I_n:=\int_0^1 f(t^n)\text{d}t\right)_{n\in\N}$ ? Car je veux faire par $\epsilon$ et non par convergence dominée.

Soit $\epsilon\in\R_+^*$
Par continuité en $0$, il existe $\eta\in ]0,1[$ tel que pour tout $t\in [0,\eta[,\ \lvert f(t^n)-f(0)\rvert\leqslant\dfrac{\epsilon}{2}$. 
Puis on découpe avec Chasles et on majore pour obtenir $\lvert I_n-f(0)\rvert\leqslant \int_0^{\eta} \lvert f(t^n)-f(0)\rvert\text{d}t+\int_{\eta}^1\lvert f(t^n)-f(0)\rvert\text{d}t$.
Or, $\int_0^{\eta} \lvert f(t^n)-f(0)\rvert\text{d}t\leqslant\dfrac{\epsilon}{2}$.
C'est pour la seconde intégrale que je galère. J'ai essayé le changement de variable $x=t^n$ pour obtenir $\int_{\eta}^1\lvert f(t^n)-f(0)\rvert\text{d}t=\int_{\eta^n}^1\lvert f(x)-f(0)\rvert\left(\frac{1}{nx}\right) e^{\frac{1}{n}\mathrm{ln}(x)}\text{d}x$ mais la borne $\eta^n$ m'emmerde.