Composantes irréductibles d'un ensemble algébrique

Julia Paule
Julia Paule
Modifié (January 2022) dans Algèbre
Bonjour et bonne année 2022 à tous !
Mon cours obtient le résultat que tout ensemble algébrique a un nombre fini de composantes irréductibles (fermés irréductibles maximaux de l'espace topologique $A_n(k)=k^n$, muni de la topologie de Zariski).
J'essaie de rapprocher ce résultat du fait que l'anneau $k[X_1, \ldots, X_n]$ est factoriel, i.e. tout polynôme non nul s'écrit $P=uP_1 \cdots P_r$, $u \neq 0$, les $P_i$ étant irréductibles.
Alors $V(P)=V(P_1) \cup \cdots \cup V(P_r)$, et j'essaie de montrer que les $V(P_i)$ sont les composantes irréductibles de $V(P)$ (si c'est vrai).
On a $(P_i) \subset I(V(P_i))$ pour tout $1 \leq i \leq r$, et $V(P_i)$ est irréductible ssi $I(V(P_i))$ est un idéal premier.
Les $(P_i)$ sont premiers (car les $P_i$ sont irréductibles et $k[X_1, \ldots, X_n]$ est factoriel).

Du coup, je me pose 2 questions (simples) :
1) dans un anneau $A$ factoriel (ou non d'ailleurs), $I,J$ deux idéaux, $I$ premier, tels que $I \subset J \neq A$, a-t-on $J$ forcément premier (cela est vrai dans un anneau principal car premier => maximal) ? Sinon, contre-exemple ?
2) si $P$ est irréductible, a-t-on $I(V(P)) : = \{ Q \in k[X_1, \ldots, X_n] \mid Q(x)=0,\ \forall x \in A_n(k),\ P(x)=0 \} = (P)$ ?
Merci d'avance (j'ai peut-être fait des erreurs dans le raisonnement initial).

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Modifié (January 2022)
    La réponse est oui pour ta seconde question. Plus généralement, on a que $I(V(a))$ est égal au radical de l'idéal $a$ de $k[X_1,\ldots,X_n]$.

    Édit : Si k est algébriquement clos (Merci NoName).
  • NoName
    NoName
    Modifié (January 2022)
    La 1) est fausse, déjà dans $\mathbb Z$ par exemple (mais en général, géométriquement on "voit" bien que ça ne peut pas être vrai).
    Pour la 2), il faut supposer $k$ algébriquement clos quand même, sinon c'est faux en général aussi.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (January 2022)
    @NoName : Il me semble que le 1) est vrai dans $\Z$, puisque un idéal premier est automatiquement maximal.

    Par contre, c'est faux en général. On peut par exemple considérer $I=(X+Y^2)$ et $J=(X, Y^2)$ dans $K[X,Y]$.
  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (January 2022)
    Autre contre-exemple pour la 1) : dans $K[X,Y]$, en prenant $I=(X)$ et $J=(X,Y^2)$.
  • NoName
    NoName
    Modifié (January 2022)
    MrJ a dit :
    @NoName : Il me semble que le 1) est vrai dans $\Z$, puisque un idéal premier est automatiquement maximal.
    Un ideal premier non nul est maximal.
    Du coup $(0)\subset I$ avec $I$ ton ideal non premier favori fourni un contre-exemple.

    La encore géométriquement, cet exemple se "voit" on prend une réunion finie de points ($I$) dans une courbe ($(0)$).
  • MrJ
    MrJ
    @NoName : Tu es taquin  :D. Je m'avoue vaincu.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Modifié (January 2022)
    Merci beaucoup pour vos réponses.
    1) est fausse : merci beaucoup pour les contre-exemples (c'est une question que je me posais confusément depuis longtemps).
    Sinon, j'essayais de montrer que si $P$ est irréductible, alors $I(V(P)=(P)$ (pour montrer que $I(V(P))$ est premier, donc que $V(P)$ est irréductible), donc je supposais implicitement que $I \subset J$ était premier non nul.
    2) est fausse : si $k$ est algébriquement clos, alors $I(V(P))= \sqrt {(P)}$ : je ne l'ai pas (encore) vu dans mon cours.
    3) cela ne veut pas dire que les composantes irréductibles de $V(P)$, pour $P=uP_1 \cdots P_r$, ne sont pas $V(P_1), \cdots, V(P_r)$. Par exemple, dans $k[X,Y]$, $V(XY)=V(X) \cup V(Y)$.
    A-t-on quand même $P$ irréductible $\Rightarrow V(P)$ irréductible ?
    Les composantes irréductibles de $P=uP_1^{m_1} \cdots P_r^{m_r}$ (décomposition en éléments irréductibles) sont-elles quand même $V(P_1), \cdots, V(P_r)$ ?
  • NoName
    NoName
    Si $I$ est premier, alors $I$ est égal à son propre radical.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (January 2022)
    2) C'est le théorème des zéros de Hilbert.

    3) On a la propriété suivante : si $a$ est un idéal de $k[X_1,\ldots,X_n]$ avec $k$ un corps algébriquement clos, alors $V(a)$ est irréductible si et seulement si l'idéal $a$ est premier.

    Édit : Erreur dans l’énoncé. Voir messages ci-dessous.

  • NoName
    NoName
    Modifié (January 2022)
    MrJ a dit :
    3) On a la propriété suivante : si $a$ est un idéal de $k[X_1,\ldots,X_n]$ avec $k$ un corps algébriquement clos, alors $V(a)$ est irréductible si et seulement si l'idéal $a$ est premier.
    L'implication directe n'est pas vraie, même en supposant $k$ algébriquement clos ($V(T^2)$ est irréductible dans $\text{Spec}(k[T])$) , mais la réciproque (qui est la seule chose dont on a besoin ici) est vraie.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (January 2022)
    @NoName : Bien sûr! Décidément, je n’aurai pas brillé dans cette discussion. Merci d’avoir rectifié.

    Le bon résultat que je voulais indiqué est (normalement) le suivant : si $k$ est un corps algébriquement clos et $V$ un ensemble algébrique de $k^n$, alors $V$ est irréductible si et seulement si l’idéal associé $I(V)$ est un idéal premier de $k[X_1,\ldots,X_n]$.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci beaucoup NoName.
    Ok, je viens de voir de manière générale : si $k$ est algébriquement clos, alors $I(V(I)) = \sqrt {I}$.
    $P$ irréductible $\Rightarrow$ $(P)$ premier $\Rightarrow$ $\sqrt {(P)}=(P)$ $\Rightarrow$ $I(V(P))= \sqrt {(P)}=(P)$ premier $\Rightarrow$ $V(P)$ irréductible.
    Réciproque fausse : $V(X^2)=V(X)$ irréductible.
    Donc (si $k$ est algébriquement clos) les composantes irréductibles de $V(P)=V(uP_1^{m_1} \cdots P_r^{m_1})=V(P_1) \cup \cdots V(P_r)$ sont bien $V(P_1), \cdots, V(P_r)$ (cela me parait intuitivement vrai).
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